A=(A’-64B) ! — 2“(2AC + D
(*) L’expression de F* en fonction de A, B, C, D, E a été donnée par M. Salmon ( Pftifosop/iicat Transactions , 18G0, p. a 33 ).
Le discriminant est du trente-deuxième ordre, de même que l’invariant D ( ’).
213. Passons à l’étude des covarianis et des contrevariants. Nous avons déjà, outre la forme elle-même, un covariant; c’est le üessien (210) : pour en déduire d’autres par la méthode des n°* 151 et 152, il est nécessaire d’avoir un contrevariant. Nous en obtiendrons un en exprimant que le plan ax-h^+yz + du-hev coupe la surface suivant une courbe du troisième degré pour laquelle l’invariant S esl égal à zéro. Ce contrevariant est du quatrième degré par rapport aux variables et sous la forme à quatre lettres Je coefficient du terme a* est égal à l’invariant S de la forme cubique ternaire que l’on obtient en faisant x =o dans la forme quaternaire donnée. Les autres termes peuvent s’en déduire ensuite au moyen de l’équation différentielle; le calcul, bien qu’un peu long, ne présente point de difficultés. Ayant obtenu ce covariant G, sous la forme à quatre lettrés, on passe ensuite à la forme à cinq lettres, en remplaçant a, (3, . . . par a — e, |3 — s,..., et l’on a
G, = 2 abcd(a. — e) ( (3 e’Jfy — e)(3 — e).
Nous aurons aussi un covariant mixte 2 cdezvu(tx — (3 )=!,
(*) Une méthode semblable conduirait à la valeur du discriminant d'une forme cubique ternaire en adoptant la forme canonique ax % -\- by % -\- cz* -+- du 9 ; les expressions des deux invariants S et T deviennent dans ce cas
S = nbcdy T =* 2 a'b'c* — labcdlab.
Pour obtenir le discriminant A, nous avons 'à égaler à zéro les dérivées ax\ — du\ by x — du x t cz * — du * et à substituer les valeurs de T t y f z , « dans l'identité x-+-jy-h z-+- u = o, et il vient comme ci-dessus
y bed y facd -+- \fâbd -H sfnbc = O, d’où, en faisant disparaître tes radicaux,
23a SEIZIÈME LEÇON.
en formant le contrevariant (201) de la polaire du second degré
axx -+- byy n -4- czz' 1 -+- dvv 11 -+- euu
dont le Hessien 'Labcdxyzu est le discriminant.
Désignons maintenant par U„ U,,. . . les covariants, U, étant la forme primitive, U, son Hessien, et par G,, G,, . . . les contrevarianls, dont le premier G, est donné ci-dessus. En opé-. rant avec G, sur U„ nous retrouvons l’invariant A; mais, en opérant sur le carré de U„ nous avons un nouveau covariant
U 3 = tXax 2 .
t désignant comme ci-dessus le produit abcde.
En opérant avec U 3 sur G,, on obtient un contrevariant
à l’aide duquel on déduit de U, le covariant linéaire U , = t , 2ax.
En combinant G 3 et U„ on retrouve l’invariant B.
Si l’on opère maintenant sur U 3 avec le covariant mixte 2 cdezvu (a — (3 )’, on a un covariant cubique
U 3 = /2(« -+■ b) cdezvu,
avec lequel, opérant sur G„ on parvient à un contrevariant linéaire
G 3 ^= /2 {a — b) (a — P) [(a •+• b) c*d*e ' ! — - t (cd 4- de -t- ec)].
Il est facile de poursuivre ainsi, et nous nous contenterons de mentionner les principaux résultats.
214. La forme cubique admet quatre covariants linéaires fondamentaux des onzième, dix-neuvième, vingt-septième et quarante-troisième ordres (*) par rapport aux coefficients.
(") Il n’y a pas do covariants linéaires distincts du trente-cinquième ordre, ces covariants pouvant s’exprimer en fonction de L,, L„ L a et des invariants.
savoir
L, = <’2n.r, L, = l 3 2bcdex, L 3 = t l 'Là 1 x, L, = t*'£a : 'x.
Tout autre covarîant, y compris la forme primitive, peut en général s'exprimer en fonction de L„ L,, L 3 , *L 4 ; en effet,
si l’on joint aux quatre équations
0{ax + by-y ) = L,,
( bcdex ■+■ acdey -f- . . ) = L 3 ,
l’identité
on pourra en tirer les valeurs de x, y, z, u, v en fonétion de a, b, c, d, e ; le dénominateur commun de ces valeurs se réduira (21, ex. V) à
c’est-à-dire à l’invariant gauche F. En substituant dans un covariant les valeurs de x, y, z, u, v, les coefficients du développement seront des fonctions symétriques de a, b, c, d, e, et par suite des cinq invariants fondamentaux A, B, C, D, E.
215. Nous avons donné plus haut le plus simple contrevariant linéaire
tl(a — b) (a — P) [(a -+- b)c 3 d’e 3 — t(ce -+- de -+■ ec)];
les autres sont des vingt et unième, vingt-neuvième , . . . ordres, savoir :
l‘2(a — A)(«— (3), l i 1cde(a — b)(oc — (3),
Le covariant quadratique le plus simple est du sixième ordre, et sa valeur est
tl.ax 3 .
■i34 SEIZIÈME LEÇON.
On obtient ensuite, l'ordre croissant toujours par huit, ceux des quatorzième, vingt-deuxième,. . . ordres :
t'2ab{cd -I- de -+- ec ) xy,
Les conlrevariants du second degré sont des dixième, dixhuitième, . . . ordres :
t>I(a — p)\ t 3 2cde{ix — (3)’,
Les covariants cubiques sont des neuvième, dix-septième, . . . ordres :■
t 2cde(a -+- b)zuv, t'Sa'x 3 ,
Ce dernier est important, car il permet, en effectuant sur un covariant quelconque l’opération
, d ,,d (l a da^ b db + C de
dd
de
d r en déduire immédiatement un nouveau covariant dont l’ordre est plus élevé de seize unités. C’est pour ce motif qu’il nous suffit de donner deux covariants de chaque degré par rapport aux variables.
Le plus simple contrevariant cubique est du septième ordre
— t2de{ix — j3 — y) ( 2 $— y — a)(zy — * — (3),;
c’est l’évectanl de l'invariant A : vient ensuite celui du quinzième ordre
t'2bcde(a — b){a — y)(oc — â)(a — e),
APPLICATIONS AUX FORMES QUATERNAIRES. a35
Le covariant du quatrième degré le plus simple après le Hessien 2 abcd xyzu est celui du douzième ordre
Nous avons déjà mentionné plus haut le plus simple conlrevariant du quatrième degré
2 bcde (a — (3 ) ( a — y ) ( a — o ) ( a — e ).
216. Parmi les covariants de degré plus élevé, nous indiquerons seulement :
i° Un covariant 0 du cinquième degré et du septième ordre par rapport aux coefficients
<î> = 1 2 abx'y^z,
que l’on obtient en opérant sur le Hessien avec le covariant mixte 2cdezvu(a — (3)’; on peut le remplacer par un autre covariant de forme plus simple
lia' x\
qui n’en diffère que par le produit de la forme primitive et du plus simple des covariants quadratiques.
a 0 Un second covariant du cinquième degré
t s xyz uv,
que l’on peut appeler le covariant canonique de la forme, puisqu’il a comme facteurs les cinq quantités x, y, z, u, v de la forme canonique.
3° Enfin un covariant du neuvième degré 0 dont l’expreslion se déduirait de celle du contrevariant d’une forme quadratique à quatre variables, en remplaçant les coefficients a, b, c,... par les secondes dérivées de ïa forme cubique U, et les variables a, (3, y, S par les dérivées de son Hessien H.
