HOTE

Quant à la substitution l ' J? elle donne pour résultats :

» | fi f' y f' f' f' \ .

) fj #>, f*» h»' g* r ■

0 1 f S 1 S x y éf 3 * fr» 8* | .

* • f g, K f» f> ht V

D’où l’op. voit que les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, sauf certains changements de signes, quand on effectue les mêmes permutations sur les racines dé la proposée. Mais le lien que nous établissons entre elles se justifie plus complètement, d’abord par ces relations où, pour abréger, on fait 1

/ = ( o I ) ( OÔL ) ( o3 ) ), .

savoir ’

H’— F* ==4fc> f j -g 5 ^4//i,

et ensuite par celte remarque, que les divers produits

LL 1 K fT .

tf’G,/,,

rt ! H,/ v ,

cr’lU g.,

a étant le coefficient du premier terme de la forme, xlu cinquième degré, sont des invariants. -Ces produits donnent lieu à ce fait algébrique, que neuf d’entre eux, correspondant à la même valeur de l'indice v, suffisent pour cm déduire linéairement tous les autres. On a, enréffet, les relations qui suivent:

ih\f =F/-‘fi/i + HA, ' ^ '

2 H, /», ±=Fh—Gg—; H/;

SUR LES FORMES DU CINQUIÈME DEGRÉ

2 F,/, = — F A -t- Gg— H/,

2 G, g, = — F/ -+- GA -h Hg,

2H, A 2 = — Fg\ — G/ H A;

2F,/ 3 =-FA + G ff -H/,

«G.g-, = -+- F/-t- GA — Jltf,

2 F,/, = -t-F/-t-GA ■+■ 11 g-,

2G,^,=- Fg + G/ — HA,

Toutes les autres sont d’une forme presque aussi simple, et en voici le type :

2 F, A, = FA G g- + H ( /* — g),

2G, A, — F (/— g) — Gg—Hf,

2H, g, = F {/— A) — Gf - 4 - HA,

De là résulte la possibilité d’exprimer au moyen de F, G, II, d’une part, f, g, A, de l’autre, des fonctions des racines de la forme proposée qui sont des invariants. Considérons par exemple l’expression

qui est évidemment cyclique. En vertu des relations précédentes, elle prendra cette forme très-simple

Les fonctions FF, F 3 F 3 F„ HH,H 3 H 3 H„ qui sont également cyclyques, s’expriment d’une manière analogue. En faisant, pour abréger,

A' = A 5 +fg,