JK — 768L — A

4- F* /’ (g* 4- 4g’ A 4- 12g 6 A 7 4- 6g 5 A 7 — 5g 4 A 4 4- 6g 5 /i 5 4- 12g 7 A 6 4- 4gA 7 4- A*)

— 2 / 7 gA ( g — A ) ( g s 4- 3g s A 4- 8g 4 A 1 4- 1 1 g 3 A 7

Or ces expressions sont des fonctions homogènes de F’ et /, dont les coefficients sont des polynômes entiers en g et A, et il en sera de même par conséquent de leurs combinaisons entières qui représentent tout invariant de la forme du cinquième degré dont l’ordre est multiple de quatre. J’ajoute qu’un invariant donné ne peut être obtenu de deux manières différentes, comme nous venons de le dire, car en égalant deux expressions de cette nature, on arrive à une équation

homogène entre F-' et /, qui pouvait donner y en g et A, c’est-

à-dire une fonction de la racine x,, et par conséquent cette racine au moyen des quatre autres, puisque g et A 11e contiennent pas x ,.

Je terminerai celte Note par ce qui concerne au même point de vue l’invariant gauche, et à cet effet, en posant comme plus haut

f —P ■+■ gAf

A' = A* 4 -fg,

j’emploierai les relations suivantes qu’il est aisé de vérifier, savoir :

2(2-,— ^,)F,Gj = Hg'4- GA', z(x t — x,)H,H,= FA' 4- H f , i{x, — x,)H s G 4 = G/' 4-Fg',

246 NOTE I. — SUR LES FORMES DU CINQUIEME DEGRÉ

2 (.r, — -r s ) G, F, = II g' — G A',

2 (*, — a?,) F, F, = FA' - H/',

2 (ar, — ar 3 ) G, H, =- G/' — F g'.

On en déduit, en les multipliant membre à membre,

64/g-A K = a'‘ FGH ( H J g -' 1 — G ! A" )

Écrivant ensuite

F’ h' 1 - H 3 /'>= F 1 ( A ' 1 —/'«) — 4 Igf 1 ,

et observant qu’on a

S ’' 1 — A” = ^fgh(g— A),

A'*-/'* = 4/gA(A-/), f' — g" = 4 fg h if~ g)>

on en conclut immédiatement

K = a"FGH[F’(A-/)/A -//’’]

X[G J (/~ te' 1 ]

X [H 2 (g — h)gh— Ih’ 1 },

et on reconnaît que la quantité par laquelle est multipliée FGH peut encore être mise sous forme d’une fonction homogène de F’ et I.

NOTE II. — SUR L’INVARIANT GAUCHE DES FORMES, ETC. ï.ltf