PM* — ’/)(* — *)(P~ -7)(É
En effet, s’il ne lui est pas égal, il le contient au moins comme facteur; mais il ne peut admettre d’autres facteurs renfermant a, p ,. . ., puisque le produit contient déjà a"-‘, p* - ',. . . et que ces quantités ne peuvent pas se trouver à une puissance plus élevée dans le déterminant; en comparant les coefficients de a" -1 , on voit en outre que le déterminant ne peut contenir de facteur numérique. Cet exemple peut aussi être traité comme le suivant.
Exemple VI. — Calculer la valeur du déterminant
= 1944oo.
RÉDUCTION ET CALCUL DES DÉTERMINANTS. 17
Retranchant la dernière colonne de chacune des trois autres, le déterminant devient divisible par (a — S)(p — Æ)(y — 3) et le quotient est 1 1 1
a 3 4- a’Æ + aJ 3 4- S 3 p> + p'S 4- p3'- + <î 3 y 3 4- 7 ><f + yf 3 4- P
Retranchant de môme la dernière colonne des deux premières, le déterminant devient divisible par (a — y) (P — y), et l’on trouve immédiatement pour sa valeur
Exemple VU. — La solution d'un problème île Géométrie exige que l'on détermine X à l'aitlc de l’équation
(aa-(-X) 3 (ai-)-X) 3 (ar4-X) 3
Retranchons la première ligne de la deuxième et divisons par X; retranchons huit fois la première ligne de la troisième et divisons par X; puis retranchons la deuxième ligne de la troisième et divisons par 3 , et enfin retranchons cette dernière de la deuxième et divisons par X, le déterminant devient
an-+-X ai-f-X ac-4-X =0.
3 a 3 4-aX 3 b' + b\ 3 c 3 -f- cX
Retranchons maintenant la première colonne de la deuxième et de la troisième, puis la deuxième de la troisième, et divisons par b — a, c — a, c—b; retranchons de la première coloune la deuxième multipliée par a et ajoutons la troisième multipliée par ai; enfin retranchons de la deuxième colonne la troisième multipliée par a 4- b, et il vient abc — (ab -j-bc + ca) a-\~b + c ,X a 0=0,
ou, en réduisant
(a-+-6-t-c)X 3 4- 3(ab -{-bc + ca)\-\-6abc =: o.
Exemple VIII.
b 1 (e + aj 3 b 3 = iabc{a 4- b-\- c) 3 .
Exemple IX.
sina sinp siny = 4sini(a — p)sin j(P — y)sin^(x — y), cos a cos p cos 7
Exemple X.
cos i ( « — p ) cos^(P-y) cos^(y-x) cosi(a-t-p) COS^(P-Hy) C 0 si(y 4 -a) sini(x-f-p) sin ^ ( P H- 7 ) sin^(y-t-x)
= asini(a-p)8in^(p-y)sini(a-y).
Exemple XI.
sinx sin p sin y
cos a cos p cos y
sinacosx sin p cos p sinycosy >
= xsin i ( a — p) sin i ( p — y) sin ^ ( x y)
x [sin (x 4- p) -f-sin(p 4 - y) + sin (y 4- a)].
Exemple XII. — Plusieurs de ces exemples peuvent s’appliquer au calcul de l’aire des triangles, en se rappelant que le double de l’aire du triangle
formé par trois points ayant pour coordonnées x', /, , est
et par trois lignes ayant pour équations ax 4- by 4- c = o, . . . , abc 1
a' b’ c' divisé par ( ab ‘ — a'b ) [a 1 b" — a" b') [a" b — ab"). a' b ” c"
Ainsi l’aire du triangle formé par les centres de courbure de trois points d’une parabole ^les coordonnées du centre de courbure étant ^/> + 3x',
RÉDUCTION ET CALCUL DES DÉTERMINANTS
4.vn F )
est
jn
= y (y -y) [y - y) iy -y) (y y +yy +yyy
On peut calculer de même l'aire du triangle formé par trois normales ou trois autres lignes ayant une relation connue avec la courbe.
Exemple XIII.
= irtbc\
n’d’ 4 - i’c’ + r\f 3 — yabde — a bref — a adcf.
Exemple XIV. — Démontrer l’égalité
Exemple XV. — L’expression
dans laquelle tous les éléments sont égaux, excepté ceux de la diagonale, se réduit à <p(X) — ?(^) étant le produit (a — >)(é — .
• MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS
22. Nous allons, dans celte Leçon, faire voir que le produit de deux déterminants peut être mis sous la forme d'un déterminant, ayant pour éléments les sommes des produits des éléments de chaque ligne de l’un des deux déterminants par les éléments correspondants des lignes de l’autre.
Ainsi, le produit de (aïkcj) par (aij^yj) est
a, a, -f- 6, (3i -t- c,y, «,aj i.p, -+ c,y, a,a 3 -4- 6, (3 S ■+■ e,y 3
dict\ -t- b\ (3, -f- diCtj -+- èj|3j -4- c 3 y 3 ciiz s -4- b 3 fi 3 -4- c 3 y 3 •
rtj«i -4- A>(3, -t- c 3 y, a 3 a 3 -+■ b, fi, -h c,y 2 a 3 x 3 -f- b s fi 3 ■+■ c 3 y 3
Les démonstrations que nous allons donner pour ce cas particulier s’appliqueront au cas général. Puisque les éléments du déterminant ci-dessus sont chacun la somme de trois termes, le déterminant peut (19) se décomposer en la somme de vingt-sept déterminants que l’on obtiendrait en prenant une colonne partielle dans chacune des trois colonnes cidessus. 11 est inutile d’écrire ces vingt-sept déterminants, et il suffira d’indiquer les deux ou trois premiers :
fli
11 faut remarquer maintenant que, dans tous, chaque colonne
MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS
a un facteur commun qui (15) peut être isolé comme facteur du déterminant. Les termes donnés ci-dessus peuvent donc s’écrire
a.Pjy,
mais le premier de ces déterminants se réduit à zéro, puisqu’il a deux colonnes identiques; le deuxième n’est autre que (a,6,c,), et le troisième (13) est — (a,b,c 3 ). De même, tout autre déterminant partiel ayant deux colonnes identiques s’évanouira, et l’on reconnaîtra que tous ceux qui ne s’évanouissent pas sont égaux à (a,6,Cj), tandis que les facteurs qui les multiplient sont les termes du déterminant (a.^yj).
On aurait pu, de la même manière, décomposer le déterminant en une série de termes égaux au déterminant ( «,(3» y 3 ) multiplié par l’un des termes de (a,6,c,).
23. En raison de l’importance de ce théorème, nous en donnerons une autre démonstration, fondée sur notre première définition du déterminant.
Le déterminant que nous avons considéré au numéro précédent est le résultat de l’élimination des variables entre les équations
Si nous faisons maintenant
|3,a: 4- fry 4- |3 3 z = Y,
les trois équations précédentes peuvent s’écrire
U\ X -f- b t Y 4- Ci Z ~ o, a 2 X 4- è 2 Y 4- c 2 Z = o,
En éliminant X, Y, Z, on voit immédiatement que (a,è 2 c 3 ) doit etre un facteur du résultat. Mais on peut aussi trouver, pour x, y, z, un système de valeurs satisfaisant aux trois équations données, pourvu que l’on en trouve un satisfaisant aux équations X = o, Y = o, Z = o. Donc (atfi 3 y 3 ) = o, qui représente la condition nécessaire pour que ces dernières équations soient possibles, est également facteur du résultat. Et, puisque l’on voit sans difficulté que le degré du résultat par rapport aux coefficients est exactement le même que celui du produit de ces deux quantilés, ce résultat n’estautre que (a,6 2 c 3 )(a,[3 2 '/ 3 ).
Il résulte de ce qui précède que le théorème concernant la multiplication des déterminants peut s’exprimer sous la forme suivante, que nous emploierons souvent.
Si un système d’équations
ci t X 4- b i Y 4- Ci Z ~ o ,
« 2 X 4- AjY 4- c 2 Z — o,
est transformé à l’aide des substitutions
X = otiX 4- cc,y 4- a 3 z,
Y = fi,x 4- fi 3 y 4- {3 3 z,
le déterminant du système transformé est égal à («,è 2 Cj), dé-
MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS. 23
terminant du système primitif multiplié par (os, (3, y 3 ), que nous appellerons module de la transformation.
24. Les théorèmes des numéros qui précèdent peuvent être généralisés ainsi qu’il suit. Nous pouvons avoir deux séries d'éléments, le nombre des lignes horizontales étant différent de celui des colonnes, par exemple :
&2 b 2 Cî
et nous pouvons en composer, comme au numéro précédent, le déterminant
a, a, -H 6,(3, -+- c,y, fl 2 a, -I- -t- c,y, rt,«j -t- 6,(3j -t- c,y. a 2 «j -+- è 2 (3, -+- c 2 y,
dont nous nous proposons de trouver la valeur.
Supposons d’abord, comme dans l’exemple ci-dessus, le nombre des colonnes plus grand que celui des lignes horizontales, de sorte que chaque élément du nouveau déterminant soit la somme d’un nombre de termes supérieur à celui de ces lignes. En procédant comme au n° 22, la valeur de ce déterminant est
rr, oc, a, a,
U\ oc. 1)2 (3,
c’est-à-dire que le nouveau déterminant est la somme des produits de tous les déterminants que l’on peut former avec l’une des séries d’éléments multipliés chacun par le déterminant correspondant formé avec les éléments de l’autre série.
25. Supposons maintenant, en second lieu, le nombre des lignes horizontales supérieur à celui des colonnes. Ainsi, à l’aide des deux séries d'éléments
formons le déterminant
a, a, 6, (3, tf 2 a, -t- 6 2 (3, « 3 a, 4 - 6 3 (5i
fli oc 2 6,(3, (I 7 OC 1 b 3 fi 3 “I - b) •
a, «3-+-6,(3 j a 2 a 2 - 1 - 6 2 (3 3 ûr 3 a 2 - 1 - &j(3 2
Si nous le décomposons de même en déterminants partiels, nous reconnaîtrons qu’il est impossible d’en former un seul qui n’ait deux colonnes identiques. Le déterminant se réduit donc identiquement à zéro. On aurait encore pu s’en convaincre immédiatement en ajoutant à chaque série une colonne de zéros et multipliant, ce qui donne le déterminant ci-dessus comme produit de deux facteurs égaux tous deux à zéro.
26. Un cas particulier fort utile du n° 22 consiste en ce que le carré d’un déterminant est un déterminant symétrique (10). Ainsi le carré de (a, 6 2 c 3 ) est
aj •+- b] c\ a t a 3 -+- b,b 3 -+■ c,c, a,a 3 -t- b,b 3 -f- c,c 3 a, a, -+- b,b, -4- c,c 3 aj+èj+c] a 3 a 3 4- b 3 b 3 -+- c,c 3 • a,a 3 -4- b t b 3 -+- c,c, a 3 a 3 -4- b 3 b 3 -+■ c 3 c 3 aj -+• b\ - 4 - c]
Il résulte aussi du n° 24 que la somme des carrés des déterminants
est le déterminant
Exemple I. — Si l’on désigne par a „ b t , r„ a „ b „ r, les cosinus des trois angles qui fixent la direction de deux lignes dans l’espace, et par 0 l’angle , de ces deux lignes, on sait que l’on a
cos0 = a,a 2 + b x b 2 + c t c 7 ,
et l’identité que nous venons de démontrer plus haut donne sin’0= (flA)’+( *, «•,)’ + K",)’.
MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS
Exemple II. — Dans la théorie des équations, il est utile d’exprimer, sous forme de déterminant, le produit des carrés des différences des racines. Le produit des différences de n quantités a été mis sous forme de déterminant, exemple V, n° 21 ; si nous l’élevofis au carré, il vient
x f désignant la somme des puissances p des quantités a, (5, Exemple III. — Le n° 24 prouve de même que
Nous formons ainsi une série de déterminants dont le dernier est le produit des carrés des différences de a, tous les déterminants ana-
logues au delà de ce dernier s’évanouissent identiquement (25). Cette série de déterminants est d’une grande importance dans la théorie des équations algébriques.
Exemple IV. — Prenons l’origine des coordonnées au centre du cercle circonscrit à un triangle; soient R son rayon et M l’aire du triangle, on a
