Décomposer un nombre donné en ses facteurs premiers

Le procédé le plus naturel pour résoudre celte question est d'essayer la division du nombre proposé, successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, etc. Ainsi on essayera d'abord de diviser le nombre proposé par 2 : si la division réussit, on essayera de diviser par 2 le quotient qu'on aura trouvé ; si celte seconde opération réussit, on essayera de diviser ce second quotient par 2, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient qui ne soit plus divisible par 2. On essayera alors de le diviser par 3, et autant de fois de suite par 3 qu'il sera possible; on parviendra ainsi à un quotient qui ne sera plus divisible par 3 : on essayera de le diviser par 5, et autant de fois de suite par 5 qu'on le pourra ; et l'on continuera ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient qui soit un nombre premier, ce qui aura nécessairement lieu, sans quoi la décomposition du nombre proposé en facteurs n'aurait pas de fin ; et ce nombre étant ainsi le produit d'une infinité de facteurs, tous plus grands que l'unité, serait par conséquent infini. On divisera le dernier quotient par lui-même, ce qui donnera pour résultat l'unité, et alors l'opération sera terminée.

Soit pour exemple le nombre 4725.

Ce nombre, étant impair, n'est pas divisible par 2, mais il l'est par 3, et le quotient de cette division est 1575, qui est encore divisible par 3. En effectuant celte division, on trouve pour quotient 525, nombre divisible par 3; le quotient de celle troisième division est 175, nombre qui n'est plus divisible par 3 , maLs qui l'est par 5. Le quotient de 175 par 5 est 35, nombre

PROPRIÉTÉS DES PiOMBRES. 61

qui est encore divisible par 5 et donne pour quotient le nombre premier 7. Il résultede là que 4725 = 3. 1575; que 1575=3,525, donc 4725 = 3». 525; que 525=3. 175, donc 4725 = 3». 175; que 175 = 5. 35, donc 4725 = 3'. 5. 35; enfin que, 35 étant le produit de 5 par 7, on aura 4725= 3». 5». 7. Ainsi, 4725 est le produit de 3 facteurs 3, de 2 facteurs 5 et du facteur 7.

Quoiqu'on n'ait essayé la division du nombre proposé par aucun facteur plus grand que le dernier de ceux que Ton a trouvés, on ne peut point craindre de n'avoir pas mis en évidence tous les facteurs premiers de ce nombre; car nous avons vu qu'un nombre ne peut être décomposé qu'en un seul système de facteurs premiers (Bô).

*89. Proposons-nous actuellement de former tous les diviseurs dCun nombre.

Nous décomposerons d'abord ce nombre en ses facteurs premiers (88); et si Ton suppose, pour fixer les idées, qu'il ait été divisé p fois de suite par a, q fois de suite par b, r fois de suite par c, son expression sera de la forme n=a''.6«.c'".

Gela posé, il en résultera que le nombre n sera divisible par toutes les puissances de a, de b, de c, depuis la première jusqu'à la p'*"* pour a, jusqu'à la g'*"' pour fe, jusqu'à la r**"* pour c : de plus, comme ces différentes puissances de a, de 6 et de c sont premières entre elles deux à deux (83), le nombre w sera divisible par leurs produits deux à deux et trois à trois (84). D'ailleurs le nombre n n'aura pas d'autres diviseurs, en vertu du principe du n*» 80. En conséquence, pour former tous les diviseurs du nombre n, on écrira sur trois lignes horizontales respectivement

1 et les puissances de a jusqu'à lap**"*,

1 àeb g^*"*,