S I- DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

67. On dit qu'un nombre en divise un autre, ou est un diviseur de cet autre, lorsque leur division ne laisse pas de reste. Arnsî 4 est un diviseur de 12.

S8. Lorsqu'un nombre en divise plusieurs, il divise leur somme.

En effet, chacun des nombres proposés vaut un certain nombre de fois le diviseur dont il s'agit; donc leur comme vaudra un certain nombre de fois ce même diviseur; donc il en sera un diviseur exact. Par exemple 6, qui divise les nombres 18, 42, 90, divise leur somme 150.

&0, Tout nombre qui en divise un autre 4^vise ses multiples.

Ce principe est une conséquence du précédent : car un multiple d*un nombre n'est autre chose que la somme de plusieurs nombres égaux à celui-là (40).

Exemple. 6 divisé 18, et par suite il divise 18 X 13=234.

60. Lorsqu'un nombre en divise deux autres, il divise leur différence.

En effet, chacun des nombres proposés vaut un certain nombre de fois le diviseur dont il s'agit : donc leur différence vaut un certain nombre de fois ce diviseur; donc il en est un diviseur exact.

61 . Un nombre est divisible par 2 quand il est terminé par un zéro ou par un des chiffres pairs 2, 4, 6, 8*.

* On appelle nombre pair un nombre exactement divisible par 2, parce qu*il peut être partagé en deux portions pareilles ou égales; par opposition^

raOPniÊTËS DES NOMBRES. 41

U Si le nombre est terminé par un 0, il est un multiple d(^ 10 (26); mais 10, qui égale S X 5, est divisible par 2; donc le nombre proposé Test aussi (SU).

St!" Si le nombre est terminé par un chiffre pair, ou pourra lé eoneevoir décomposé en dizaines et unités. La partie des dizaines est, comme nous venons de le voir, divisible par 2 ; la partie des unités Test aussi, par hypothèse : donc les deux parties du nombre proposé étant divisibles par 2, ce nombre Test aussi (^).

62. On démontrerait de la même manière qu'wn nombre est dimsible par 5 quand U est terminé,par un ou par un 5.

65. Un nombre est divisible par 4 quand le nombre représenté par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 4.

En effet, concevons le nombre proposé décomposé en centaines et en unités : la partie des unités est, par hypothèse, divisible par 4; la partie des centaines Test aussi, car tout nombre de centaines est un multiple de 100. Mais 100 = 10. 10 : or dans 10 il y a un facteur 2, donc dans 100 il y aura deux facteurs 2, donc 100 est divisible par 2.2 = 4, et par conséquent tout nombre de centaines l'est aussi : donc les deux parties du nombre proposé étant divisibles par 4, le nombre lui-même le sera aussi.

On verrait de la même manière qu'un nombre sera divisible par 8=2^ par 16 = 2*, etc., quand le nombre exprimé par ses 3,4, etc., derniers chiffres sera divisible par 8, 16, etc.

C4. Un nombre est divisible par 9,: quand la somme de ses chiffres, considérés comme représentant des unités simples^ est ellemême divisible par 9.

Nous allons d'abord démontrer qu'une unité d'un ordre quel-

on nomme nombre invpair un nombre qui n'est pas exactemen.t divisible par 2. Si donc on divise un nombre impair par 2, on aura pour reste un^.upité: de sorte qu'wn nombre impair est égal à un nomlre pair augmenté ou diminué d'une unité.

42 piiOPRiATÉs DES iraiimBH;

eonqm estimmuitipU de 9 auffménUéNinéwn^simpUi SEiï^us muUîplioûs en effet par 9 Jûn itbmbTé «xprMiè p»r tant dé chiffres 1 que l'on voudra, il és\ clair qile lè produit nesem coDE^posé que de chiffres 9, et q[u'aiiisi, en y ajoutant utie tin^ité, le résttUat sera exprimé par ruidlé smiie d'autant dé zérd» quil y avait de chiffres 1 estai tenitihipiicande : donc onêuiiftèd^un ordre quehronqae est tm multiple de neicfàxigmetùè d'uni imilè^ etr par coiisé(|uent â^ 8, 4.... Unités de cet ordre Taudtoul tin multiple de 9 augmenté de 2,3,4.... unités simple».

On voit d'après cela que, si l'on conçoit le nombre proposé décomposé enr ses diverses collecttOEis d^utrités^ehàbuuè d^^èHes sera égale à un multiple de 9 augmenté de son-ehiffre^signi-A ficatif considéré comme représentant des unités simples : donc ce nombre est égal à un multiple de 9 augcnentâ de lasomaie de ses chiffres significatifs^ Si donc cetle somuie e^ divisible par 9, le nombre le sera aussi (ô8).

Rçmar(]uez que cette démonslr«ilion prouve queUreste^ deUik division, d'un ncmbre quelconque par .9 e^st cekiimêmt ^^^ ïon obtient en divisant par .^ la somme de ses. -ckiffr es additionnés, comme s* ils représentaient des unités simpleè. v

^8* On démontrerait de la môme mnnièrô' qo'tinnowdre f«^ divisible par ^ qiMmd ia scf^mme de eescfnffrés sî^ifiMifs^ co/i-sidérés (^mme repfésetHani des unités simples^ esi eUe^-mêm» ditiaible par 3. Seulement) pdUr prouver q\x*un6 unité dtnjbn ^drequelconque est un multipte dé ^'Ougmmté d'une unUé.smpk^ il faudra multiplier par 3 un nombre exprimé par tant de chiffres 3 queJ'<)n ¥ou4rai et ajouter uixe unité au preduit; ~

66. Un nombre est divisible par 6 lorsqu'il e^ petit y et que la somme de is.es chiffres^ considéra iiçmmétepréWdem^des unités simples j est divisible par 3.

Puisque la somme des chiffres du nombre proposé est un multiplede 3, eenombre sera divisible par 3 (6ë). Or je dis que le quotient de cette division sera divisible par 2. En effet, si Qe quotient était un nombre impair, en le nmllipliant par 3 an

tr&dfBmtvtÊi rÊOfàibt^ impiit^ car le pro^doit dé êen% Ti(Mhv^ impairs est éécessairement impair* : misî^ en friQUiptiaiif le dSvi^emr par te qâoti^it, on ne tettonretà^i pas le ditidonde^ puisque lioos àyotirsutyposé que cedividetide était nû imtnhre pair. Le qoàtiëAt ie te division dtt nombre propx)sé par 3 edl donc divisible par % : donc le nombre proposé ser^ égâi au ^(tioffent de celte seéoiMie ^Hriston multiplie par' 2, pais par 3» e'est^à-dife lïînltiplîé |»ar 6^ (59)$ donc il e^ divisiMe par i.

*«7/ i^ W(WW*r^ eiï éitîsliiô p4r 1 1 çtitfntf là diffêHnàé entre kê somme d& hs ^ifftes de rafng impair et là smme de êès ôMffres d& rang pair m eU^ntémê diviêibhpifr Ili

Pour le démontrer, nets allons oberc^her quel est lé resté qne donne une :m1ité d'un ordre qtt^êonqne divisée pâf il,- ce q&i se fera en divisant par 1 1 le nombre Représenté par l'unité suivie d^Qn nombre ioriéfinî de zéros ; car^ suivant que Ton aura employé un, deux, trois, etc<, de ceé zéros, te reste corresfioBâsÉtit écr-A évidemment celui que donne drte dizaine, une centaine, un mille, etc., divilè pan* 11; d'ailleui^ une tinifé divisée par 1 1 donne 1 pour reste" :

On voit qu'en divisaintdh imitèspftr il-on a pour quotient et 10 pour reste; qu'en divisant 100 unités par 11, on a 9 pour quotient et 1 pduf reste; et oommie en abaifii^fît m 6 hla droite de ce reste, on retombe stfr le premiei- dividende par-^ tie) 10; il s'ensuit que leS' mêmes quotients et lès méméd rentes

* JÈn effet, uji nombre impair est égal à un nombre^ pair. augmwité d'une uiiité : donc te prbduH de deux nôiatrës impairs est égal au prddiiit du multil^ihsimdf par OQ noMJSr^ pair, plVâ mk mv\é àitiltipHeaàde , c'ësi-à-diré est égal à un nombre pair augmenlé d'une uoité^ ç^im.cft prpdiilt mk impair.

44 PRORAIËTÉS DES NOMBRES»

se reproduiront périodiquement et à Tinfini. Puis donc qu'une unité divisée par 1 1 donne pour reste 1, qu'une dizaine donne pour reste 10» on voit que toute unité (Tordre impair est un mut-' tiple de II augmenté d'une unité simple j et que toute unité d'ordre pair est un multiple de 1 1 diminué d*u7ie unité simple. Donc, si Ton conçoit un nombre quelconque décomposé dans ses diverses collections d'unités, chacune d'elles sera un multiple de 1 1 augmenté ou diminué de son chiffre significatif, consi* déré comme représentant des unités simples, suivant qu'elle sera d'ordre impair ou d'ordre pair; donc ce nombre est égal à un multiple de 1 1 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair et diminué de la somme de ceux qui sont de rang pair; donc il sera un multiple de 11, si la différence de ces deux sommes est elle-même un multiple de 1 1 ; donc un nom* hre sera divisible par 1 1 quand la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair sera elle-même divisible par 1 1 .

Le nombre 987654321 est-il divisible par 11, et s'il ne Test pas, quel sera le reste de la division?

La somme des chiffres de rang impair est

celle des chiffres de rang pair est

donc le nombre propasé est un multiple de 1 1 plus 25 moins 20 ; donc le reste de la division est 5.

On peut simplifier ces calculs, en ayant soin de retrancher 1 1 de la somme des chiffres que l'on additionne, chaque fois que l'on obtient une somme partielle plus grande que 11 ; car il est clair que l'on aura ainsi diminué la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair, chacune d'un multiple de 11, et qu'en conséquence leur différence aura été altérée seulement d'nn pareil multiple.

Ainsi dans l'exemple ci-dessus nous dirons : 1 et 3, 4 : et 5 9; et 7, 16; moins 11, 5; et 9, 14 ; moins 1 1, 3. En opérant de même sur les chiffres de rang pair, on dira : 2 et 4, 6; et 6, 12 : moins 11, 1; et 8, 9. Ainsi le nombre proposé se compose d'un multiple de 11, plus 3 mmns 9, c'est-à-dire d'un multiple de n moins 6; ou, ce qui revient au même, d'un multiple de 11 plus 11 moins 6, c'est-à-dire d*un multiple de 11 plus 5; donc le reste de la division est 5.

* 68. Cherchons maintenant les caractères de divisibilité d'un nombre quelconque par un nombre donné.

Pour fixer les idées, nous supposerons que le diviseur donné soit 7.

U est évident que si, sans effectuer la division du nombre proposé par 7, nous pouvions cependant trouver le reste de cette division , nous verrions à l'inspection de ce reste si le nombre proposé est ou n'est pas divisible par 7. Tâchons donc de découvrir ce reste.

On sent que si l'on divise 2, 3, 4,.... unités d'un ordre quel-conque par un certain diviseur, le reste que l'on obtiendra sera 2, 3, 4,... fois plus grand que si Ton divisait une unité du même ordre par le même diviseur. Par conséquent, si nous pouvons déterminer le reste que donne une unité d'un ordre quiconque divisée par 7, nous aurons facilenient les restes respectifs qu'on trouvera eu divisant par 7 les diverses collections d'unités .du nombre proposé, et la somme de ces restes sera celui même de la division de ce nombre par 7.

Cherchons donc quel est le reste que donne une unité d^un ordre quelconque divisée par 7. Pour cela il n'y a qu'à diviser par 7 le nombre représenté par l'unité suivie d'un nombre indéfini de zéros, ce qui donne le calcul suivant :

♦ Dans toute cette théorie, nous entendrons par reste d'une division Texcès du dividende sur un multiple quelconque du diviseur.

R0PKIP.T$8

,PB8 WHWMa.

l«D»Mft*Op... -1 7 .

MO

En examinant le tableau ci-dessus, on reconnaît : 1* que une unité ^ une dizaine ^ une centaine sont des multiples de 7 augm^n^ n^eoHvefmnt :d*tAney'ÈrôiSy4$uxmfHtés vimph^^^"^ ^\iie un mille, une dizaine de miiUe, une cenlaiHieâ^ >mUk donnent pour xeales isiso^ quc^tm^ dnq^nitéSy jet:qix*>ainsi JunnUlk^ wie dizaine de mille y une centaine de mille sont des muUipleé- dêf dimmàés respf&ctivement deMne^ trois, dêux^umpés ^mpl^jStOïMae )as jcest£s.obieims>daiifi la division -d^efiBufi %e refroduisent périodiquement À Xiiiii«)i,:la loi qiue nous^vei^pns de^i'eeos-> QatlEepoufLles \ui:dtéSiMismne»M tmtêi'ms^ûei'éfim preffîiem ordres d'unités ternaires se soutiendra pour^cedles àwkOFdres suimxits; par conséquent,, ai. l'on partage Je nofiilH'e>propdsé enitrancbës de trois chiffre^, enaOânt de droite^ gapc^, on \»rca.que dluzie. quelconque de ces traiiches^«arami:tiiiiltt{Ae die 7 aBgin£iDtë oucdimmué^^selon qu'elle sera de TMgâ«)f»»Hr Ottjde rang pair, de.ntieiois sestinâ^, trois ton^sdigûims^i d^swtoist ses û0tUati2^.Si<lonc^o&aiuUipUe les unités, n/SoeÀ^a^^ cQnlaifi<i& de jehaiiue trancha respectivem^U par i^, a, 'S» -le ii<9i|iMrj^;pi^Qfiié.â6mJgiftl à;iinBM|ltipleide 7 augmenté de4a somme des4)rQduit^.qulpraYienQant£kiii6ide&traiiûbes.de^cang i^fiair, .0t dk^ijubé deja 6<difime de eepx jquiinésuUcnt des traQc}ie»d^vaQg:pw;<du>;Ce qui.reviieatâu itt^me^iaugamilé au jdiWiiiAé:tle kdUfénQnûe^d:^oe&ideu&^pfnmes^;8eiDaîque la première sera plttSigEi^ilou, plus; petite {qiK ]^jsefiûBda.ik>Eic, suivant que cette différence sera ou ne sera pas divisible par 7, , le nombre lui-même sera ou ne sera pas divisible par 7.

£a;empZcs. 1* Quèl.est.Je rçste .q^!e-^>AiQ^.b,ti^^4^1a»<e^.4iYi»»t

PHOPaiÉlififl^ D£S nOMBBBS. i^.

4487:$»a»L6Sa£ipâr 7? L'an^atiim dis k règle pièeédealè conduit aux calculs suivants :

Tranches

branches ] 3. 1 = 3'

de rang

pair.

ic î^ng impâlï-.ys; 3 =15'

- ffo-

i^ÎDailenombre proposé es! égal.àun multiple de 7 augmaillé .de* fiB uni|^^.âiaiimi6de'6ô junités, c'est^^Artdire à un lUIiUiple de 7r:augmeDtéde (ôB^^ôd^^s^S unitéa; donc leréste 46Jâdîtisîim;est:3.

^^2<«^Q4lû^@&t.lexefiteâeladWi6idn deâ7Bi457ê9aâi par 7?

" Tranchés

Tranches

de rang impair.

de raqg pair.

Ainsi le nonibre:pi»»p^é est égal ;àtiiii:imilti|Bè&de i7 augmenté de 34 unités et diminué de 80 unités,' c'est-à-dire à un multiple de 7 diminué»de.08O— c34) = 46 unités.

^aisen appliquant •ia^.uiëihotle au nombre .46, ioa-lrouve qiï'll est égal à un multiple de 27 augmenté de 18 unités; que 18: Wt de même un multiple de f(jpios 1 1; et qu'enfin 1 1 est un multiple de 7 plus 4. Ainsi 46 se compose d'un multiple de 7, I^s^4'r*cmc'le nombre proposé 'es t^l à un multiple de 7 dcmitniè de'4 imités,* wt bien- à tm: mùkiple de 7 plw 7 movns 4,

c'est-à-dire à un mulliple de 7 plus 3 : donc le reste de la division sera 3.

* 69. Si Ton se rapporte au tableau de la division de 10000..., par 7 (page 46), on reconnaît que une unités un milles un mil- Hon, un billion, etc., donnent respectivement pour restes 1, 6, 1, 6, etc., unités; qu'ainsi touk unité ternaire de rang impair est un multiple de 7 augmenté d'une unité simple^ et toute unité ternaire de rang pair e^t un multiple de 7 diminué d'une unité simple. Par conséquent, si Ton conçoit le nombre proposé partagé en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche, chacune d'elles sera un multiple de 7, augmenté ou diminué de sa valeur absolue, selon qu'elle sera de rang impair ou de rang pair :'donc ce nombre est un multiplexe 7, augmenté de la somme de ses tranches de rang impair, et diminué de la sbmme de ses tranches de rang pair; donc il sera divisible par 7, si la différence de ces deux sommes l'est aussi; donc, pour qu'tm nombre soU divisible par 7, il faut U il Suffit que, si on le partage en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche j la différence entre la somme de ses tranches de rang im" pair et la somme de ses tranches de rang pair soit elle-même divi-sibleparT.

Cette seconde règle, beaucoup plus simple que la première, n*cst applicable cependant qu'à des nombres composés de plus de trois chiffres, de sorte qu'il -faudra les appliquer successivement toutes les deux.

Reprenons les deux exemples traités dans le numéro précédent. Le premier conduit aux calculs suivants :

mil 235

Tranches \ ^^^

de rang impair.) ^^

Tranches ( , . l 246

de rang pair. 1 ^^^

Ainsi le nombre proposé est un multiple de 7 augmenté de (1 5>3o— 1 122; = 108, ou, ce qui revient au même, du reste de

Calcul du second exemple.

Tranches

de rang pair.

PROPRIËTËS DES NOMBRES. 49

la division de 108 par 7, lequel est 3 d'après la première méthode ; donc le reste demandé est 3.

Tranches de rang impair.

Ici le nombre proposé est un multiple de 7 augmenté de 566 et diminué de 1067, c'est-à-dire diminué de (1067 — 566)=50l, ou du reste de la division de 501 par 7, lequel est 4 : donc le

reste demandé est 7 — 4 = 3.

*70. Les méthodes que nous venons de développer peuvent s'appliquer avec succès à tout autre diviseur que 7. En répétant sur cet autre diviseur tous les raisonnements qui précèdent, on parviendra toujours à des caractères de divisibilité qui seront plus ou moins siniples. Ainsi, par exemple, on trouvera que, pour qu'rni nombre.soit divisible par 37, il faut et iljsufpt que^ si on le partage en tranches composées alternativement de deux et d'un chiffre^ en allant de droite à gauche^ la différence entre la somme des tranches de deux chiffres et le produit par \\ de la somme de celles d^un chiffre soit divisible par 37.

71. La facilité avec laquelle on trouve le reste de la division d'un nombre par 9 fournit une méthode très-simple pour faire la preuve de la multiplication. Cette méthode, connue sous le nom de preuve par 9, est fondée sur le principe suivant :

Le reste que Von trouve en divisant par 9 le produit de deux nombres est égal à celui que Von obtient en divisant par 9 le produit des deux restes que donne la division des nombres proposés par ce même diviseur 9 *. <

Remarquons que cette propriété ii*est pas particulière au nombre 9^ mais

50 PAOPhlfitÉS DES NOMBRE».

En elkU eMcUn des déUx nombres propôsêà peut être coti* sidéré comme un multiple de 9 augmenté du reste de la dît!* sion dece nombre par 9 : si donc on multiplie ces deux nombres entre eux, ce qui se fefft en lutiitipllâht eba(|ue partie du multiplicande successivement par chacune de celles du multipli- . cateur, le produit que l'on trouvera sera composé dé quatre ])arti65^ dont trois seront des \hulllples de 9, et dont là qua- Iriètfré sera le produit des restes que Ton aura trouvés en divisant les nombres proposés par 9. Donc le reste de la division du protîuît de tes hombri^s par 9 sera le même qxjtt celui que Toii obiiendra en diviî?atit par 9 le produit de ce» rééies : il est d'ailleurs évident que, ai ce dernier produit était moindre que 9, il serait lui-uiônie le rest^ dont il s*agit»

Soient, par exemple, les nombres 43 et 35. En les divisant par 7^ onliouve que433=9.4 4-7> et que 36 3*3948 4- 8; donc leur produit se compose de la somme

dont les trois premières parties sont évidemment desmultiple» de 9; maifi là quatrième^ divisée par 9, donne pour quotient 6 et pour reste S, de sorte qu'elle vaut 9.6 + 2 * donc le produit

donc le reste de la division de ce produit psu: 9 est â»

Cela posé, pour faire la pi^euVe de la miUtiplication^ addUion^ nez sticcessivement les chiffres du mylivplicaiidey considérés comme représentant des unités simples^ et diminuez chaque somme parùelle d» 9 qiumd la chose sera possible ; vous obtiendrez ainsi le reste que donnerait la division de ce i lUiplicande par 9 (64). Opérez de la même manière sur U mulUpUcateur; multipliez entre

que tout autre nombre en jouit également : aussi fait-on quelquefois la preuve par 11, à cause de la facilité avec laquelle on peut calculer le reste de la division d'un Boâbté ^ n (9V).

PHO^MÉtÉS DES KOUBRËS. 51

eux les deux restes ainsi obtenus^ et cherchez semblablemerU le reste de la division de leur produit par 9. Si la multiplication a été bien faite j le reste que voits trouverez ainsi devra être le même que celui que vous obtiendrez m opérant sur kproduU eomum voui Vaœz fait sur ses facteurs^

Veut-on vérifier le produit 40612376 des nombres 8764 et 4634? en opérant sur le multiplicande conformément à cette règle» nousdiroïis: 8 et 7, 15; moins 9, 6; et 6, 12; moins 9, 3; et 4, 7. On trouvera de même que la division du multiplicateur par 9 donnera 8 pour reste ; on multipliera 7 par 8; le produit est 56^ dont la somme des chiCTres surpasse 9 de S< 11 faudra donc qu*en divisant le produit 40612376 par 9, on trouveaussi 2 pour reste; et c*est en effet ce qui a lieu. On en conclut que la multiplication a été bien faite.

Remarquons cependant que cette preuve pourrait réussir^ bien que la multiplication qu'elle doit vérifier fût fautive. Il suffirait pour cela que l'on eût commis quelque part deux erreurs, l'une en plus^ l'autre en moins, du même nombre d'unités; ou bien que Ton eût mis un 9 au lieu d'un 0^ et ré^ ciproquement, etc.

7». Pour faire là preuve par 9 d$ la dM^Um^ tettmthét tè reste eu dividmide^ èt^ le nombre rémUant étaifU le produit du divisenr pur le quotient^ voue pourrez le Vérifier pat to méthode précédente^

Exemple, Là division dô 4odl5d24 pal" 8764 à donné pottf quotient 4634, etpôttf resté 3248. Potti* Ittféfiflél- je feiranchc à248 de 40616624, Ce qui donne pôdr reste 4061^376, nombre qui est ainsi le produit de 8764 par 4634. J'applique donc à la vérification de ce produit la règle du n° 71. Les facteurs divisés par 9 donnent respectivement pour restes 7 et 8^ dont lé produit est 66. La sotnttie de ses chifl'rès surpasse 9 de 2 unités : ainsi il faut que le reste de la division de 40612376 par 9 soit 2, et c'eàt eQ'eclivement ce qui arrivé) dono la division à été bien t^itc

52 PROPRIËTÊS DES NOMBRES.

S n. NOMBRES PREMIERS.

75. On appelle nombre premier un nombre qui n'est divisible que par lui-mime et par V unité : tel est le nombre 7.

Il suit de cette définition qu'on sera sûr qu'un nombre est premier, lorsqu'on aura essayé de le diviser par tous les nombres plus petits que sa moilié sans pouvoir y parvenir (215).

74. Proposons-nous de découvrir quels sonty dans la suite naturelle des nombres, ceux qui sont premiers.

De toutes les méthodes données pour résoudre ce problème, la suivante, due à Ératosthène, est la plus expéditîve. Ce géomètre grec observa que les nombres pairs, à l'exception de 2, ne pouvant êtrç des nombres premiers, il ne fallait chercher ceux-ci que parmi les nombres impairs; en conséquence, il écrivit les uns à la suite des autres, et dans leur ordre naturel, tous les nombres impairs jusqu'à la limite qu'il s'était fixée*, et remarqua que, si, à partir de 3 exclusivement, on comptait de trois en trois, tous les nombres sur lesquels on tomberait ainsi seraient seuls divisibles par 3.

En effet, chaque nombre impair diffère du précédent de deux unités : donc il diffère de celui qui le précède de trois rangs, de six unités : donc le nombre qui vient trois rangs après un nombre divisible par 8 est lui-même divisible par 3 (^8); donc aussi le nombre qui vient trois rangs après un nombre qui n'est pas divisible par 3, ne l'est pas non plus, car ilsecomposed'une partie qui est divisible par 3, et d'une autre qui ne l'est pas; donc, si, à partir du nombre 3, on compte de trois en trois, les nombres sur lesquels on tombera seront divisibles par 3, et il

I * La suite des nombres pretniers est illimitée ; car supposons, s'il est possi- 'ble, que n soit le plus grand de ces nombres: formons le produit 2.3.5 7....n de tous les nombres premiers; le nombre 1 -f 2.3.5.7. ...n est premier, sans quoi il serait divisible par un nombre premier, et il est clair que le reste de sa division par Tun de ces nombres est l'unité.

n'y ea aura pas d'autres qui jouiront de cette propriété. Une raison semblable conduisit Ëratosthèue à pointer tous les nombres sur lesquels il tomba en comptant de cinq en cinq, à partir de 5; de sept en sept, à partir de 7; de onze en onze, à partir de 11, etc.; de cette manière, il parvint à exclure tous les nombres divisibles respectivement par 3, 5, 7, 11, etc.; de sorte qu'il ne resta plus que les nombres premiers. Cette méthode porte le nom de crible cTÉratosthène (voy. 213).

75. On appelle plus grand cobimun diviseur de plusieurs nommes le plv^ grand de tous les nombres qui les divisent exacte^ ment.

Proposons-nous d'abord de trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, et supposons, pour ûxer les idées, que ces nombres soient 56 et 21. Lq plus grand commun diviseur de 56 et de 21 ne peut pas être plus grand que 21, puisqu'il doit le diviser : donc 21 serait le plus grand commun diviseur demandé, s'il divisait 56. Divisons donc 56 par 21 : le quotient est 2, et le reste 14 ; ainsi, 21 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Mais je dis que ce plus grand corn* mun diviseur est le même que celui des nombres 21 et 14. Nous le démontrerons évidemment en prouvant que tous les diviseurs communs à 56 et à 21 sont aussi des diviseurs communs à 21 et à 14, et réciproquement.

. Or, tout diviseur commun à 56 et à 21 divise 21, et partant son multiple 2 fois 21 (69) ; mais il divise aussi 56 : donc il divise leur différence 14 (CO) ; donc il divise à la fois 21 et 14.

Actuellement^ tout diviseur communà21 et à 14 divise21,et partant son multiple 2 fois 21; mais il divise aussi 14: donc il divise leur somme 56 (58) ; donc il divise à la fois 56 et 21.

DoLC tous les diviseurs communs à 56 et à 21 sont aussi des divisejrs communs à 21 et à 14, et réciproquement; donc le plus grand commun diviseur de 56 et de 21 est celui mêmede 21 et (le 14 ; donc le plus grand commun diviseur de deux nombres eit le même que celui qui existe entre le plus petit de ces nom-bres et le reste de leur division.

54 PROP{)lfiTÉS DES IfONINIES.

La que9ti(m ei»t donc rawenëç à trouver le plus grand com*» mun diviseur de SI et de 14. lia raisonnant sur ces deux nooi'* bres comme on Ta fait sur di5 et 21, on sera conduit à diviser 21 par U ; on trouvera 1 pour quotient et 7 pour reste, ce qui montre que Ik n'est pas Le plus grand commun diviseur demandé. Mais en vertu du principe que nous venons de dé* montrer^ ce plus grand commun diviseur est le même que celui des nombres H et 7 ; nous diviserons donc U par 7 ; et comme 7 divise exactement 14, nous en conclurons que 7 est le plus grand commun diviseur demandé.

70. Donc, pour trouver 1$ plus grand commun divisevr de deux nombresy divisent lepîiLS grand par le plm petit. Si la divi" sion s'effectue eicactement^ le plv4 petit des d^x nombres est le plus grand commun diviseur demandé. Si cela n'a pas lieu, vous diviserez le plus petit nombre par le reste; et si la secondai division réussit, ce premier reste sera le plus grand commun diviseur; dans le cas contraire^ on divisera le reste de la première division par celui de la seconde, celui-ci par le reste de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à un quotient exact : le dernier diviseur sera le plus grand commun diviseutdemandé.

Si, dans le courant des opérations, on trouve pour reste un nombre premier, il faudra encore diviser le reste précédent par celi^i-ci. Si Vopération s'effectue exactement, ce nombre premier sera le plus grand commun diviseur, demandé. Si elle ne réussit pas, il est inutile de pousser plus loin le calcul, car on est certain de trouver l'unité pour plus grand commun diviseur. En effet, puisqu'en vertu du principe établi au n° 78, le plus grand commun diviseur doit diviser tous les restes, il doit diviser notre nombre premier; m^is un nombre premier n*est divisible que par lui-même ou par l'unité : donc le plus grand commun diviseur ne peut être que ce nombre premier ou l'unité : donc si le nombre premier n'est pas le plus grand commun diviseur, ce sera l'unité qui sera ce plus grand commun diviseur* On dispose les calculs de la manière suivante :

PEOPAl£TËS DE3 N01f9RE3*

Le nombre des divisions ne pourra pas surpasser la fnçîlii du plus petit nombre; car les deux derniers diviseurs sont les seuls restes consécutifs qui puissent différer d'une unité seulement, puisque la division de deux pareils nombres donne éyidemment pour reste Tunité ; da sorte que deux autres restes consécutifs quelconques diffèrent aq moins de 2 unités, et qu'ainsi il ne peut pas y avgir plus de restes différents que 2 n'est contenu de fois dans le plus petit nombre.

77. On appelle îf ombres premiers entre eux des nombres qui n'ont que l'unité pour diviseur commun.

Il suit de là qup, si l'on applique la méthode du plus grand commun diviseur à deux nombres premiers entre eux, on trouvera l'pnité pour plus grand commun diviseur, sans quoi ces deux nombres ne seraient pas premiers entre eux.

'^78. Tout nombre qui m dims$ dmc au(r98 divin kur plw

grand commun diviseur.

En effet, tout nombre qui divise le dividende et le diviseur d'une division doit diviser le reste dé cette division, car il divisera le dividende et le produit du diviseur parle quotient (^9); donc il doit diviser leur différence (8Q)f c'est-à-dire le re^te de la division.

Gela posé, si Tgu applique à deux nombres la méthode du plus grand commun diviseur, on voit que tout nombre qui divisera les deux nombres proposés divisera )e reste de la première division. Mais ce reste devient diviseur dans la seconde : donc le nombre dont il s'agit divisera le dividende et le diviseur de la seconde division, et par conséquent le reste de cette divir sion, et ainsi de suite; donc il divisera tous les restes successifsi

56 PROPRIËTÊS DES NOMBRES.

et par conséquent le plus grand commun diviseur, qui est le dernier de ces restes.

*79. Ce principe va nous donner le moyen de trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. Soient, en effet, les nombres 60, 48, 30 et 15. Je cherche le plus grand commun diviseur des deux premiers, il est 12; le plus grand commun diviseur de 12 et de 30, il est 6; le plus grand commun diviseur entre 6 et 15, il est 3. Je dis que 3 est le* plus grand commun diviseur demandé. En effet, le plus grand commun diviseur des nombres 60, 48, 30 et 15 divise 60 et 48, et par conséquent leur plus grand commun diviseur 12 (78). Or il divise aussi 30 : donc il doit diviser 6, plus grand commun diviseur de 12 et de 30. Mais il divise aussi 15 : donc il doit diviser 3, plus grand commun diviseur des nombres 6 et 15 ; donc il n'est pas plus grand que 3. Donc, si je puis prouver que 3 divise à la fois les nombres proposés, j'en conclurai que 3 est leur plus grand commun diviseur.

Or 3 divise les nombres 6 et 15, car il est leur plus grand commun diviseur : donc il divise 12 et 30, multiples de 6; donc il divise 60 et 48, multiples de 12; donc il divise à la fois les quatre nombres 15, 30, 48 et 60; donc il est leur plus grand commun diviseur.

Donc, pour trouver le plus grand commun diviseur de plvn sieurs nombres, on cherchera le plus grand commun diviseur des deux plus petits, car le plus grand commun diviseur demandé ne saurait les surpasser ; puis le plus grand commun divis&ur de ce plus grand commun diviseur et du plus petit des nombres restants; puis le plus grand commv/n diviseur de ce second plus grand commun diviseur et du plus petit des nombres restants, et ainsi de suite : le dernier plus grand commun diviseur trouvé sera celui même des nombres proposés.

* 80. Tout nombre qui divise un produit de deux fadeurs, et qui est premier avec Vun dCeuXy divise nécessairement Vautre facteur.

Soit a un nombre supposé premier avec l'un des deux facteurs b et d*un produit, le facteur b par exemple : je dis que, si a divise le produit 6. c, il divisera nécessairement le facteur c.

En effet, a et 6 étant deux nombres premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est l'unité (77). Or, si Ton multiplie ces deux nombres chacun par c, et que Ton cherche le plus grand coaimun diviseur des produits a. c et 6. c, les restes que Ton trouvera dans celle seconde série d'opérations seront respectivement égaux à ceux de la première multipliés par c. En efTet, lorsqu'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre, le reste est multiplié parce nombre (SS) ; donc, puisque nous avons multiplié le dividende et le diviseur de la première division par c, le premier reste aura aussi été multiplié parc. Mais ce premier reste devient le diviseur de la seconde division : donc, puisque le dividende et le diviseur de cette seconde division ont été multipliés par c, le .second reste le sera aussi, et ainsi de suite. Donc, puisque le dernier reste de la première série d'opérations est l'unité, le dernier reste de la seconde sera c. Donc c est le plus grand commun diviseur des deux produits a. c et b.c. Or a divise le premier de ces produits, car il en est un des facteurs; il divise aussi le second par hypothèse : donc il divise leur plus grand commun diviseur c (78) ; ce qu'il fallait démontrer.

* 81. Tout nombre premier qui divise un produit de 'plusieurs facteurs divise nécessairement Fun d*eux.

Je dis que si p est un nombre premier qui divise le produit a.b,c.d,\Y divisera nécessairement l'un des facteurs de ce produit.

En effet,, si p divise d, le principe est démontré; s'il ne le divise pas, ces deux nombres sont premiers entre eux, car ils ne peuvent avoir d'autre commun diviseur que p ou l'unité. Mais on peut regarderie produit a.b.c.d comme résultant de la muhiplication du prodr.it a.b.c par d. Donc, puisque jp est premier avec te facteur d, il faut* nécessairement qu'il divise l'autre facteur a.b.c (80). Si p divise c, le principe est démontré ;

58 PIU)PRIÉTÉ3 OES UOMBHES,

s'il ne le divise pas, ces deux nombre? sont premiers entre eux : par conséquent, puisqu'on peut regarder le produit ^,b,c comme résultant de la imjltiplicatipn du prgdwit a, 6 par a, il ne pourra diviser ce produit qu'autant qu'il divisera l'autre facteur a.b, Sip divise 6, le principe est démontré; s'il ne le divise pas, ces deux nombres sont premier^ entre pux , et par conséquent, pour que |? divise le produit a. t, il faudra qu'il divise le facteur a ; donc p divise nécessairement l'un des facteurs du produit a.b.c.d,

*82. Il Bùit de là que, lorsqu'un nombre premier divise une puissance d'wn nombre^ il doit diviser ce nombre : car une puissance d'un nombre n'est autre çbose que le produit de plusieurs facteurs égau^jp à ce nombre (41), et nous venons de prouver que, lorsqu'un nombre premier divise un produit de plusieurs facteurs, il divise nécessairement l'un d'eux.

*83. lorsque deux nombres sont premiers entre eux^ leurs puissances sont premières entre elles.

Soient, en effet, a et ô deux nombres premiers entre eux ; je dis que leurs puissances a"* et 6* sont aussi premières entre elles. En effet, si ces deux puissances avaient un facteur premier commun, ce fapteur premier devrait diviser a et 6 (82), ce qui est contraire à l'hypothèse : donc a* et 6* ne peuvent pas avoir de facteur premier commun, et n'ont par conséquent aucun facteur commun : donc ces deux quantités gonl premières entre elles.

* 84. Lorsqv^un nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deua:, il l'est aussi par leur produit.

Soit n un nombre divisible par les nombres a, 6, c, d, que je suppose premiers entre eux deux à deux : je dis qu'il est divisible par leur produit.

En effet, puisque n est divisible par a, si nous appelons q le quotient de la division, nous aurons n = a.q. Or b divise n; mais il est premier avec le facteur a : doup il doit diviser l'autre

PHOPRlfiffiS DES NONPBf^St ^9

fitçteur q (8p)t Si Top appelle q* 1^ quotient ^9 cette dWiaiop, on aura q=^b.q\ et par conséquent n=?sa,6,(7' (5ÎÇ), çç qui prouve déjà que n est divisible par le produit des deux premiers nom^ bres a et b. Or c divise n; donc, puisqu'il est premier avec le facteur a, il doit diviser l'autre facteur q (nous avons vu que n=.a.q). Mais c est aussi premier avec le facteur b : donc il doit diviser l'autre facteur g' (nous avons vu que q=^b.q'); donc en appelant g* le quotient de cette division, nous aurons q'z=c.ff'y et par conséquent n, qui est égal à a. ô. g', le sera aussi ha.btC.(^\ e^ qui prouva qw n eH divisibU^ par le produit des trois premiers nombre a, t), c; et aiiisi dQ suitp.

* 85. Il puit encore du n* 81 qu'tin nombre ne peut itr^ décomposé que dans im seul système de facteurs premiers.

Supposons, en effet, que Ton puisse avoir en même temps n:ss\.B,Gf et n^a.b.c; A,B, C, a, b, ç étant des nonîbres premiers. Puisque le nombre premier c divise n, il doit diviser Ton de ses facteprs A, B, C; mais, coniroe ils sont premiers, îl faut qu'il soit égal à Tun d*eux. Supposons (; = G; le3 deux produits A.B.C ^ia.b.c étant égaux, si on les divine respectif yement parC çt c, les quotients A. B et a, 6 (J^yront être égaux. Or b divise le isecond : donc il divise aussi le premier, et par conséquent l'un de ses facteurs A et B, ce qui ne peut être, à moins qu'il ne soit égal h l'un d'eux, àB par exemple; d'où il suit que a est aussi égal k A, puisque A.B=7a.5| ce qui dé-> IDonlre le principe énoncé.

Remarquons que cette démonstration n'exige pas que les facteurs premiers du nombre proposé soient tous inégaux; de sorte que si, dans l'une des expressions du nombre n, un facteur entre plusieurs fois, il entrera ^u^^i le même nombre de fois

dans l'autre.

* 80. Pour qu'un nombre en divise un autre^ il faut qu'il ne contienne pas d'autre facteurs premiers qv^ cet autre ^ et qu'U m contienne pas les facteurs premiers de ce nombre plus de fois que celuirci m les contient luU'mém^ : s^m quoi on ppur-

ralt décomposer un môme nombre de deux manières différentes en facteurs premiers.

*87. Pour qu'un nombre soit divisible par un autre ^ il faut qu'il contienne tous les facteurs premiers de cet autre, et quHl contienne chacun d'eux au moins autant de fois que celui-ci les contient (85).