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et l'on formera le produit des nombres contenus dans ces trois lignes, ce qui se fera en multipliant* successivement tous les termes de la première par ceux de la seconde, puis tous les termes du produit par ceux de la troisième. Or le produit des

6â PROPRIÉTÉS DES ffomRÈS.

deux premières lignes se composera de 1, des ptiissaticês de û^ des puissances de b^ et des produitô des puissatices de a par celles de 5. Maintenant on multipliera cô produit des detnt premières lignes par la tfoirième, ce qtxl donnera : Tanhé, lés puissances de a, leS puissances de b^ les puissances de c, \eA produits des puissances de a par celles de bj les produits dés puissances de a par celles de c^ les produits des puidsaiiees de h par celles de c, et les produits des puîssandes de a par celles de b et par celles de c.

Nous aurons donc bien formé ainsi tous tes dÎTlsétirs dû nombre n.

*90. Dans la pratique, pour obtenir tous les diviseurs d'un nombre, on dispose les calculs de la manière suivante :

Les deux premières colonnes à gauche contiennent le tableau des calculs nécessaires pour trouver les facteurs premiers du nombre 4725 (88) j la troisième colonne renferme tous les diviseurs tant simples que composés de 4725; pour les obtenir, on a écrit eu tète de celle colonne le diviseur 1, on Ta multiplié par le premier facteur 3, et Ton a écrit le produit audessous de ce diviseur 1 ; on a foï-nié de même tous les autres diviseurs, en multipliant tous ceux déjà trouvés par le facteur premier suivant, et en ayant soin de ne pas écrire deux fois le même produit.

On voit que de cette maMèrè ÔA a formé î !• ledlviseuf I at toutes les puissances de 3 qui peuvent diviser 4725 ; 2^ lë divi* seul* ô et toutes ses combinaisons avec les diverses puissaûCés

PftOPAlËTÉS DES MOMBftES» 68

cte a ; 9^ la deti j^iëme ptiis^atice de 5 et ses combinaisoTis avec les diverse» puissanees de 3; enfin, le diviseur 7 et ses combinaisons avec les diverses puissances de 3^ avec lesdiverses puis^ sauces de 5, et avec les produits des dh'erses puissances de 3 par celles de 9 : doue on a bien formé ainsi tous les diviseurs tant simples que composés du nombre 47S5 (88).

*9I. Le nombre total dès dMiôUfi (Tun nombre {m y c^mprè^ nant ee nombre et ftinité) est égal au produit des eafposants de ses facteurs premiers^ augmentés chacun d'u/ne unité.

Nous avons vu qu'on pouvait lormer tous les diviseurs d'un nombre n î=£: a**. 6«» c»*, en effectuant le produit de trois lignes qui contiennent respectivement l et toutes les puissances de a jusqu'à lap'*"*, 1 et toutes les puissances de ft jusqu'à la^"*, 1 et toutes les puissances de c jusqu'à la r^"^ (89) : ainsi ces lignes se composent respectivement de (p+ l)i to+ 1)>(^+ 1) termes; donc en multipliant la première ligne par un terme quelconque delà seconde, le produit contiendra (p + 1) termes; donc, le produit des deux premières lignes renfermera autant de fois (p -}- 1) termes qu'il y en a dans la seconde, c'est-à-dire, (p -{- 1). {q + 1)' Maintenant^ en multipliant le produit des deux premières lignes par un terme quelconque de la troisième, le produit contiendra (p + 1). (ç + 1) termes : donc le produit des trois lignes se composera d'autant de fois (p+ l). (g-f- 1) ter*mes qu'il y a de termes dans la troisième lignef c'est-à-dire de (r-l-l) fois {p+lh{q+l) termes, ou de (p+l).(4-f l)*(r4.l) termes, ce qui démontre le principe tooncé. ^

Cette règle fournit le moyen de vérifier si, dans la formation des diviseurs d'un nomlH'é (90)/ on n^en a omis aucun : ainsi le nombre 4735) qui ^ale 3'. ô^. l, doit avoir un nombre de diviseurs égal à (3 4-l).(a + l),(l + l)aa:4»3.2aaa4, et c'est en effet ce que l'on a trouvé.

*09k Nous avons vu (86) que, pour qu'tm nombre en divise un autre» il faut qu'il ne contienne pas d'autres facteurs premiers que cet autre» et qu'il né contienne pas lel^ fecteurs pre-

micrs de ce nombre à des puissances plus élevées que celui-ci ne les contient lui-même. Si donc nous décomposons plusieurs nombres donnés en leurs facteurs premiers, et si nous faisons le produit de tous les facteurs premiers communs ainsi trouvés, en affectant chacuu d'eux du plus petit exposant qu'il a dans ces nombres, ce produit sera le plus grand nombre qui les divise. Donc le plus grand commun diviseur de plusieurs iiombresest le produit de tous leurs facteurs premiers communs affectés chacun du plus petit exposant qu'il a dans ces nombres.

Exemple. Quel est le plus grand commun diviseur de 7260 et de 5544? On trouvera : 1» que 7260 = 2*. 3. 5. 11'; 2» que 5544 = 2*. 3*. 7. 11 ; 3® que le plus grand commun diviseur demandé est 2\ 3. 11=132.

Il suit immédiatement de la composition du plus grand commun diviseur de deux nombres, qu'on n'altère pas ce plus grand commun diviseur en divisant ou en multipliant Vun d'eux par un facteur qui soit premier avec l'autre, puisqu'en opérant ainsi on ne saurait supprimer ni introduire de facteur premier commun aux deux nombres proposés (8S). Donc, lorsque l'on cherchera le plus grand commun diviseur de deux nombres par la méthode du n° 76, on pourra supprimer dans les restes successifs les facteurs que Ton y apercevra, pourvu qu'ils soient premiers avec le reste précédent, ce qui simplifiera les calculs.

On pourra encore diminuer le nombre des divisions successives en faisant en sorte que chaque reste soit moindre que la moitié du précédent. Il suffira pour cela de forcer Vunité (50) sur le quotient, lorsque le reste surpassera la moitié du di\îseur; car alors la différence entre le dividende et le produit du diviseur par le nouveau quotient, étant celle même qui existe entre le diviseur et le reste qu'on avait trouvé, sera moindre que la moitié du diviseur. Ainsi, dans l'exemple du n* 78, nous avons vu que la division de 56 par 21 donnait 2 pour quotient et 14 pour reste, de sorte que 56 se compose de 2 fois 21, plus 14. Comme 14 surpasse la moitié de 21, nous écrirons 3 au quotient, et la difTérence entre le dividende 56 et le .produit du

PROPRIETES DES NOMBRES. 65

diviseur 21 par le quotient 3 sera 3 fois moins 2 fois 21 moins 14, c'est-à-dire 21—14 = 7. Ce nombre .7 sera donc le diviseur de la division suivante; et comme çlle réussit, 7 est le plus grand commun diviseur de 56 et de 21.

Exemple. Trouver le plus grand commun diviseur entre

38449 et 24431 : .

Le reste 14018 de la première division surpassant la moitié du diviseur, on a forcé l'unité sur le quotient, ce qui a donné 10413 pour reste de cette première division; on a divisé ce nombre par 9, ce qui est permis, puisque 9 est premier avec le diviseur 24431, et on a pris 1157 pour le second diviseur; de même on a divisé le reste 134 par 2, qui est premier avec 1157. Quant au troisième reste 18, il est évidemment premier avec le diviseur 67, puisque ni Tun ni l'autre de ses facteurs premiers 2 et 3 ne divise ce nombre : donc les deux nombres proposés sont premierâ entre eux (77).

*95. Les deux problèmes que nous avons résolus, aux n<* 88 et 00 sont d*une grande importance, et le premier va nous fournir le moyen de trouver le plus petit nombre divisible à la fois par plusieurs nombres donnés, question dont nous verrons bientôt une application (108)'.

Nous avons vu que, pour qu'un nombre soit divisible par un autre, il faut qu'il contienne tous les facteurs premiers de cet autre, et chacun autant de fois au moins que celui-ci les contient lui-même (87) : d'après cela, pour déterminer le plus petit nombre divisible pur plusieurs nombres donnés, on décomposera chacun de ces nombres en ses facteurs premiers, et Von formera le produit de tous les facteurs premiers différents ainsi obtenus^

66 ' PROPRIÉTÉS DBS NOMBRES.

en donnant à chacun d'euœ le plui grand €xpoian$ dont U M af-fecU dam ht nomhreB proposés.

Ainsi, pour trouver le plus petit nombre divisible à la fois par 90, 126 et 540^ on verra d'abord (88) que 90a=i 8* 3*. 9, que 126 = 2. 3«. 7, et que 540 = 2*. 3*. 5. .Par conséquent, le plus petit nombre divisible à la fois par do, 126 et 540, est

2^3^5.7sc^780.

On résout encore ce même problème par une autre méthode qui est plus commode lorsque Tun des nombres proposés a pour facteur premier tin nombre considérable et que Ton n'a pas de Tables des nombres premiers. Considérons d'abord le cas de deux nombres seulement, et proposons-nous de trouver le plus petit nombre divisible à la fois par deux nombres donnés A et B«

' 11 est clair qu'en vertu do principe du n» 87 le nombre demandé doit renfermer tous les facteurs premiers de A et de B, cl chacun d'eux à une puissance marquée par le plus grand exposant qu'il a dans ces nombres. On obtiendra donc le plus I)etit multiple de A et B en multipliant ï'un deux, A par exemple, par le produit de tous les facteurs premiers de B qui ne se trouvent pas dans A*. En conséquence, on cherchera te plus grand, commun diviseur de k et B; on divisera B par ce plus grand commun diviseur^ et, en multipliant A par le quotient B' de cette division f on obtiendra un produit A. B' qui résoudra le problème; car B* est le produit de tous les facteurs premiers de B quLne se trouvent pas dans A (92).

En raisonnant de la même maiûère, on prouvera facilement que pour trouver le ply>s petit muUiple des trois nombres A, B, C, il faut chercher te plus grand commun diviseur de A. B' et C, diviser G par ce plus grand commun diviseur^ et multiplier A. B^ par h quotient C de cette division , et ainsi de suite.

* Si par exemple Ât^^'-S-B et B = 2'.3^7, il faudrait multiplier A par

Exemple. Quel est le plus petit nombre divisible par 1220, 555, 6771 et83509T On trouvera: l^que le plus grand commun diviseur de 1220 et de 565 est 5, (jue *P== 111, et qu'ainsi le plus petit multiple de 1220 et de 555 est 1220. 111 = 135420; 2<' que le plus grand commun diviseur de 1354^20 et de 6771 est 6771 lui-imème, et qu'ainsi 135420 est le plus petit multiple des nombres 1220, 555 et 6771; 3* que le plus grand commun diviseur de 135420 et de 83509 est 2257, que ^^=37; et qu'ainsi, le nombre denuindé est 1854204 37 s= 5010540 *.

* OÀ pMixVÂ faire éè tÛtàiÛ irito tiisê Mmt^lemernt, èà «éséftaiit que i'bn pe«« obtenir h fliis grand comman AiTUSiir entre un noàibre D et mi produit de plusieurs facteurs A^ B, C, sans effectuer ce produit ; mais qu'il suffira, en vertu du principe àù n" Ô2, de chercher le plus grand commun diviseur F enfre lé I*' faekit^ A et lé hoMytè i); e<Ani r entra to V faetëur B et lé t^Htétient IK de k dirision de D pa^ F; celui F" elntre le 3* fiteteu^ C et le <|uottent D" de la division de D' par F' et de multiplier entre eux ces trois plus grands coiiiftiuns diviseurs fy F, F^. En conséquence, après avoir trdùvô que lim.nï éài I« pit» péiH imu^é des nombTès laJO M 969, j« dKtcbè lè I lus grand coâimim diviseur entre 6771 et 111; il eatlU; pais celui qui existe entre ^f^=^^l et 1220; et eomme je trouve pour résultat 61, j'en conclus que 677 ( est lui-mime ïe plus grand commun divîseuf entre 6771 et lîîO.lll ; éé sorte que 1220.111 est te plus ^eilt miiltiplè des ttoïê riofl^^ès 1320^ 5d6 et 6771. On verra dé même que le plus graiid oomosun diVistar £ntre 83509 et 111 est 37, que celui entre ^^^ == 22d7 et 1220 est 61^ de sorte que le plus grand commun diviseur entre 83509 et 1220.111 est 37.6t. Lé quotient éé 83809 tlivisé pèt 37.61 est 37, et J>at coBséqtietit le fUi pziit multiple des nolDbrM 1220, 6SS, 6771 A88&09Mt }ia0.1tl.»f=:rSOi<»Si40.