S I- PRINCIPES GÉNÉRAUX

04. Nous avons VU que, quand la division laisse un reste, le dividende est égal au produit du diviseur multiplié parle quotient qu'on a trouvé, plus ce reste (46) : ce quotient n'est donc pas le second facteur du dividende ; il en diffère, comme on voit, d'une quanlité qui, mullipliée parle diviseur, doit reproduire le reste, c'esl-à-dire du quotient de la division de ce dernier reste par le diviseur. Ainsi, si l'on avait eu à diviser 19 par 8, on aurait trouvé pour quotient 2 et pour reste 3, de sorte que le véritable quotient eût été 2+|. Or, 3 étant plus petit que 8, comment se former une idée précise du quotient de 3 divisé par 8 î Pour cela , on conçoit l'unité partagée en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur, c'est-à-dire en 8 dans notre exemple; chacune de ces parties, qui exprime le quotient de 1 par 8, est un huitième de l'unité, et nous avons une idée parfaitement nette de la grandeur de cette quantité; mais le quotient de 3 unités divisées par 8 est évidemment 3 lois plus grand que celui d'une unité divisée par 8 : donc il vaut trois huitièmes de l'unité. Sous ce point de vue, la quantité I n'offre plus rien d'obscur, et le quotient de 19 par 8 se compose de deux unités et de trois huitièmes d'unité.

< Ainsi, comme l'a dit Lacroix dans son excellent Traité d'Arithmétique^ lorsque la division laisse un reste, le quotient se compose de deux parties : l'une est formée d'unités entières, tandis que Taulre ne peut s'obtenir qu'après qu'on a réellement effectué le partage des unités concrètes ou maté riélles du reste dans le nombre de parties marquées par le divi-

seur. Jusque-là on ne fait que Tindiquer , en disant qu'il faut concevoir Punité du dividende partagée en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur y et prendre autant de ces parties qu'il y a d^ unités dans le reste^ pour compléter le quotient cherché. »

9^. Cette quantité que Ton ajoute au quotient trouTé pour en compléter la valeur, se nomme une fraction. On dit donc qu*«^ fracition est une partie de l'unité^ ou la réunion de plusieurs parties égales de Vunité. On emploie, pour l'exprimer, deux nombres que Ton sépare par un trait horizontal ; le nombre inférieur se nomme dénominateur j il indique en combien de parties égales Vunité est partagée; l'autre se nomme nMmëroïewr, et tndique de combien départies de Vunité la fraction se compose.

Le numérateur et le dénominateur se nomment conjointement les deux termes de la fraction.

96. Pour énoncer une fraction y on énonce d'abord le numéraleur y puis le dénominateur ^ en ajoutant après celui-ci la terminai' son ième. Il y a exception pour les fractions dont le dénominateur est2y 3 ouk : alors, au lieu d'énoncer le dénominateur^ on prononce demi, tiers ou quart.

Ainsi f et I s'énoncent respectivement trois septièmes et trois quarts^

97. De la définition que nous avons donnée des fractions « (95) découlent immédiatement les quatre principes suivants :

!• Pour multiplier une fraction par un nombre entier y multipliez son numérateur par ce nombrCy en conservant le dénominateur.

En effet, en multipliant le numérateur de la fraction proposée par 3, par exemple, on rend ce numérateur trois fois plus grand; or le numérateur indique de combien de parties de l'unité la Traction se compose : donc un numérateur trois fois plus grand indiquera que la fraction se compose de 3 fois plus de parties. Mais, comme on à conservé le dénominateur, ces parties sont restées les mêmes : donc la nouvelle fraction étant composée de 3 fois plus de parties que la première et des

70 FRÀGTidlft 01IMVA1M8.

moines parties, est trei^ fols plup grande ; dono la fraction proposée a bien été innHipliée par 8 (M).

On fena» diaprés eela, qne |f x^B'^t'asI}.

ft^ On prouverait de la même manière que, pour iMier une fractùm par un nombre entier y il suffit de diviser le numérateur parce nomin^e^ en conservant le dénominateur *.

Ainsiif:3 = 4-j«=^, - •

3* Pour multiplier une fraction par un nombre entier ^ on peut encore diviser son dénominateur par ce nombre^ en conservant le numérateur.

En effet, en divisant le dénominateur de la fraction proposée par 3y par exemple, on le rend trois fois plus petit; mais le dénominateur indique en combien de parties égales l'unité est partagée : donc un dénominateur 3 fois plus petit indique que l'unité est partagée en trois fois moins de parties, et [que par conséquent ces parties sont trois fois plus grandes. Or on conserve le même numérateur : donc Is^ nouvelle fraction ^st toujours composée du ipéipç npmbre de parties; que la première; mais ces parties sopt trojs fois plus grandes : donc elle est trois fois plus grfinde; donc la fraction proposée a biep été multipliée par 3.

On verr^, d'après cela, que || X 3== jj?^ =??-^«

Il suit du principe que nous venons d'établir, qu'en supprimant le dénominateur d'une fraction, on lamïUtiplie'par ce nombre.

4iq8i f est 9 fQi§ plus grftnij que |,

V On démpi^trer^it de 1^ même manière qye, pç^r dimpr . \m frmiPnj^fir m mmbr^ mw^ m pem emore mi^tipH^r ^on déngmm(fW p^r ç^ wvf^r^^ en com^Tvm ^•wmérfl^f^^wr,

"' Cette démonstration suppose que pour diviser un nombre quelconque pof un nombre entier j il euffU de k rendre ee mente nombre de foie plu» peM ;

étant le produit du auotient par le diviseur, est autant de fois plusgr^nd qv^ le quotient qu'il y a d'unités dans le diviseur : donc, réciproquement, ie quotient est tuUBt dd ftiis plus petit que le dividende que le diviseur eoiiti

PRACTIOM ORDINAIIIES. 71

88. lia mullipltcation delà fraction ^ par a nous a conduit à deux résultats, |i et ^, remarquables en ce quelle numérateur de chacune de ces éxpresajons surpasse le dénominateur. Or, puisque le dénominateur indique en combien de parties égales l'unité est partagée, il faut, pour former une unité, prendre autant de ces parties qu'il est marqué par le dénominateur : donc, si le numérateur d'une fraction contient deux, trois, quatre, etc., fois le dénominateur, cette fraction contiendra deux, trois, quatre, etc., unités, et, en général, elle en renfermera autant que le dénominateur sera contenu de fois dans le numérateur : d'où il suit que, petir êœirairB lês uniUs mtih'êi eontmites dans une éxprêSêion fraetionnaire^ il faut efféctuir la division dur numérateur par le dénominatêu/r (94).

On verra ainsi que f| =s fi^, et que ^ »« 3|.

99. On tire des principes établis au n* 97 les conséquences suivantes : l"" On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant sfie deux termeê par un même nombre. Sn effet, en multipliant le numérateur d'une fraction par un certain nombre, on la rend ce nombre de fois plus grande. La même opération effei;tuée sur le dénominateur rend la Araction ce même nombre de fois plus petite ; mais c'est après avoir rendu la Iruplion proposée un certain nombre de fois {dus grande, qu'on la rend le même nombre de fois plus petite; donc elle n*a pas changé de valeur.

9* On prouverait de la môme manière qu'en divisant lês dmm termes d'une fraction patt un mime nombre, on ne changé pas sa valeur.

* 100. -Ici se présente naturellement cette question : Altèret'on la valeur d'une fraction en augmentant ou en diminuant ses deux termes d'un même nombre?

Puisque, pour former une unité,. il faut prendre autant de parties que l'on en conçoit dans cette unité , on voit que la différence d'une fraction i unné est une seconde fraction qui a le. même dénominateur que la première, et qui a pour numérateur la différence des deox termes de cette première ;

ainsi la différence entre -^ et l'unîté est ^=^ == •^, Si donc on ajoute un même nombre aux deux termes de la fraction proposée , la différence entre Tugité et la nouvelle fraction aura le même numérateur que la première différence ; mais elle aura un dénominateur plus grand : donc la fraction qu'on obtient en augmentant d*un même nombre les deux termes d'une fraction donnée » diffère moins de l'unité que (5elle-ciy donc ejle est plus grande ; donc on augmente une fraction en augmentant ses deux termes (Tun même nombre.

Il suit évidemment de là qu'on diminue me fraction en diminuant ses deux termes d^un même nombre.

, En raisonnant comme tout à Tlieure, on verrait qu'on diminue ou qu*on augmente une expression fractionnaire plus grande que Vunilé, en augmentant ou en diminuant ses deux term^es d'un même nombre.

101. Il suit du premier des deux principes du n* 00 que les fractions |, V^, |J, ^^^y etc., sont toutes équivalentes à ^ ; car elles proviennent de la multiplication des deux termes de celle-ci respectivement par 2, 5, 27, 437; mais, de toutes ces fractions, ^est celle dont on apprécie le plus facilement la grarideùr.

Cet avantage, joint à celui d'opérer sur des nombres plus petits, a fait sentir l'utilité de réduire une fraction à sa plus simple expression^ c^està-dire de trouver une fraction équivalente à la fraction proposée, et dont les deux termes soient les plus petits nombres possibles. On y parvient en divisant les deux termes de la fraction par leur plus grand commun diviseur.

* 102. Pour justifier cette règle, il faut démontrer que, lors^ que les deux termes d'une fraction sont premiers entre eux, elle est

irréductible. Soient t une fraction dont les deux termes sont

a' premiers entre eux, et rr une autre fraction équivalente à

celle-ci , de sorte que l'on ait r = r>* . '

Si l'on multiplie ces deux fractions par le dénominateur V de

la seconde, les produits -^(97, !•) et a! (97, 3») seront égaux.

Mais le second est un nombre entier : donc le premier doit en être aussi un ; donc il faut que le produit aM soit divisible par h. Or h est premier avec le facteur a : donc il divise l'autre facteur V (80) ; donc b' est un certain multiple de b ; donc a! est le

même multiple de a, sans quoi la fraction rr ne serait pas égale à la fraction -r (99, !•). Ainsi Us deux termes de toute

fraction équivalente à la fraction -r, dont le numérateur et le dé^

nominateur sont premiers entre eux^ sont des équimultiples des deux termes de celle-ci. Donc toute fraction équivalente à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, est exprimée en termes moins simples que celle-ci; donc cette dernière est irréductible.

*103. Deux fractions irréductibles égales sont identiques^ c'està-dire que leurs numérateurs sont égaux entre eux, ainsi que leurs dénominateurs.

En effet, puisque la première fraction est irréductible, ses deux termes sont premiers entre eux : donc la seconde ne pourra lui être égale qu'autant que ses deux termes seront des équimultiples de ceux de cette première (102) ; donc ils leur seront respectivement égaux, puisqu'ils doivent être aussi premiers entre eux.

104. Il n'est pas toujours nécessaire, pour réduire une fraction .à sa plus simple expression, de recourir au plus grand commun diviseur de ses deux termes; on peut encore y parvenir de la manière suivante. Si les deux termes de la fraction proposée sont terminés par des zéros, supprimez-en à la droite de tous les deux autant qu'il y en a à la droite de celui qui en contient le moins^ puis divisez les deux termes de la fraction résultante par 2 y si la chose est possible; et poursuivez la même opération sur lés deux termes de la nouvelle fraction , si vous le pouvez; et ainsi de suite, jusqu*à ce que vous trouviez une frac-

^tipn doru la deuçe termes m ^oier^ pas HvUibks par 2; Us ne le seront par conséquent non plus par aucun des multiples de 2, sans quoi ils le seraient encore par 2 (^9). Essayez de diviser par 3 ôu^par 9 les deux termes de cette dernière fraction ^ et si cette division réussity divisez encore les deux termes de la fraction^ résultante par 3 ou par 9, et ainsi de suite tant que cela sera possible. Ymts arriverez ainH à Mm fraction dontjes deux term»s ne seront plus divisibles par 3 ni par aucun de ses multiples. Continuez de ditiser ainsi les deux termes de la dernière fraction obtenue par le nombre premier consécutif 'à celui qui vient -de vous servir de diviseur, et autant de fois par ce nombre que cela se pourra, Vous VQ\is arr$Urez lorsque vous sçxez parx^enu à essayer un diviseur plus ^rani que la moitié du plus petit des deux termes de la dernière fraction obtenue; et si d'ailleurs ce plvis petit terme ne divisa pas k plu^ grande la fraction dont il s'agit aura êvidem,ment ses deux termes premier9 entré ûwai, çt^ sera par açméquent irréductible (i02).

Exemple. La fraction î<3^ViFo^o P^^^^ successivement leç formes suivantes :

On a divisé successivement par 10, 9, 3, 5, 5, 11 et 17.

*JOS. Si hn a un» suite de fractions égaks entre elles, la $(mm&. des numira^çur^ ^ ceUe des dénominateurs farmmi une fraction égale à chacune des fractions considérées,

Soient, eu eff^t, plusieurs fractions supposéei» ^ales, j, jr>

ftf^

a fi *

T7;soit- la fraction irréductible égale à l'une quelconque

d'entre elles; ^ellele serft aussi à toutes les autres, Done les

deux leruKiS de chacune des fractiâna^, rr, t^ sont des équi-

multiples des deux termes de la fraction j (*02); ç'est-^-dire

QUoTonaum;

a=rm.p; a*=am\p] afs^m'^.pî ft==m.g; V=^m\q; b"z=zrft!*,q\

PRACnOlfS ORDtlfAlRES. 75

d'où Ton lire

ce qu'il M9ài démontrer.

S n. ADDITION DBS PRAGTIOIfS.

ftOO» Pour addUianner plurimirs fraetûms qui oni k même dénominateur y faites la aomme d$ lewrs numérateurs^ et donnes à cette 9ùmmepaur dinominatmêr celui mêms des fractions propoêééSn

Ainsi : ^+JV+^+i^=^î^=!î=2 A (98). .

107. Lorsque les fractions proposées n'ont pas le même dénominateur, oa ne peut pa$ les additionaer dans l'état où elles sont; car on ne peut combiner que des quantités bomogènes, et des fractions qui ont dfss dénominateurs difiérents (expriment des collections de pi^rti^s inégales de Tunité» Il faut donC| pour rendre Taddition possible, réduire les fre^tUms prQpû9éef au même dénominateur^ c'e^t-à-dire les transformer en d'autres frottions équivalentes et gui aient UMes un même dénih minat^ur. Or il est clair qu'on atteindra q^ but en inullipUant les deux ternoes de chaque fraction par le produit des déno*< minateurs de toutes les autres. En effet, les nouvelles fractions que Ton obtiendra ainsi seront respectivement équivalentes aux premières, car on aura multiplié les deux termes de chacune par un même nombre (08, l*) ; de plus, elles w^ ront le même dénominateur, car chaque dénominateur sera le produit de tous les dénominateurs primitifs (58), seulement multipliés dans un ordre différent, ce qui n'altère pas la valeur du produit (57).

Soient, par exemple, les fractions fj, |f , -f^. On fera le calcul suivant :

ll-i-tft-i-JjL a?gè«<0<> I 25AQ.t6q I l l.4«> 1<

- a fl04M 1 10RII4 1 llia

^"108. Lorsque les dénominateurs des fractions que Ton se propose d'additionner ne sont pas tous prentiiers entre eux, il existe un dénominateur commun plus petit que celui auquel on parvient par la règle précédente. Pour le trouver, on cherche le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs des fractions proposées (03), et c'est là le plus petit dénominateur commun*. Pour réduire les fractions proposées à ce dénominateur conr\mun, on le divisera successivement par tous les dénominateurs, et on multipliera les deux termes de chaque fraction par le quotient correspondant.

Reprenons l'exemple du numéro précédent. En décomposant les dénominateurs 40,36 et 100 en leurs facteurs premiers, on trouve :

donc le plus petit dénominateur commun sera

On le divisera d'abord par 40 ; et comme ce nombre contient trois facteurs 2 et un facteur 5, le quotient ne contiendra que deux facteurs 3 et un fadeur 5 : ainsi il sera 3*. 5. On trouvera de même que les quotients respectifs du plus petit dénominateur commun par 36 et 100 sont 2.5* et 2.3*. Ainsi on multipliera le numérateur de la I" fraction par 3'.5=45,

celui de la 2« . . . . par 2.5*=50,

celui de la 3« . . ; . par 2.3*=18;

et l'on aura par conséquent

40 1 ■sre'TiuO —

16fl5+1250 + lSLâ 311 3 — 3il3 — i ISI