Lorsque les fractions que l'on veut additionner sont
' * Ceci suppose que les fractions proposées sont réduites à leur plu» simple expression. Ainsi le plus petit dénominateur commun auquel on peut réduire les fractions f , |§ et | est 12; car f = i®^, i^ = -ft et ^ = i^.
FRACTIONS OhDlNAIRES. 77
jointes à des nombres entiers^ on calcule la somme de ces fractions, on en extrait les unités qu'elle peut contenir (98), et on les retient pour les additionner avec les nombr.es entiers qui accompagnent fcs fractions proposées. <
Ainsi: 4^+2^^ + 5^=11 il = 12 A. ;
iiO. La méthode que nous avons donnée au n* i08 pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur nous a conduit à résoudre cette question : Convertir une fraction en fraction d'une espèce donnée. La solution de Ce problème était fort simple, parce que le dénominateur que devait avoir la fraction demandée était un multiple de celui delà fraction proposée. Hais comment faire lorsqu'il n'en sera pas ainsi?. Comment transformer, par exemple, f en trente-deuxièmes? Pour
^ X 32 <o cela, j'observe que | =^-52 — = "fr- Or -4^ tombe entre 26
etâ7: donc-^, c'est-à-dire f, tombe entre |f et f|; donc, puisque ces deux fractions diffèrent de ^, chacune d'elles sera la valeur de la fraction f à moins de g^.
Ainsi, pour convertir une fraction en fraction d'une espèce donnéCy U suffit de la multiplier par le dénominateur que doit avoir la fraction demandée^ et d'extraire les unités entières contenues dans le produit. Le nombre entier ainsi trouvé sera le numérateur de la fraction cherchée^ laquelle différera de la fraction proposée d'une quantité moindre que Vune des parties de l'unité dont elle se compose,
* 111, Il suit de là et du principe du n® 87 que, pour qu'une fraction soit exactement réductible en fraction d'une espèce donnée^ Hl faut et il suffit que son numérateur contienne tous les facteurs premiers de son dénominateur qui ne se trouvent pas dans celui que doit^ avoir la fraction ' demandée. Ce dénominateur sera donc un multiple de celui de cette fraction^ si elle est irréductible {W).
lia. Le problème que nous venons de résoudre fournit le moyen de trouver le quotient de la division de deux nombres à
.78 FRACTIONS OHDlBAlftES.
rmim d'um unité flrcu^iiotmawe donnée; oar, tmë tt^tûoii êi-> primAtit la dÎTision du iltimératetir pàt ïe détiofflinatetu* (M)^ il ne s'agitj pour obtenir oe quotient^ que de contrêrtirUHefi^ë^ tien en fraction d'une espèce donnée^ OU rertti ainsi qoë^ poUt' avoir le quotient de ase par 9 à moine de i^, il suffit de réduire la fraction ^^ on quinzièmes, ce qui donne W= 36 ^ = 36 ^ pouf sd tàléfui' h iiioitls &e ^.
8 îti. 8ôtfSTiUcîfiO« tms tkkcmôm.
A 19. Pour i&usirairB un$ fraotkih drimè mti'èj ptenêÉ là (Hfft^ rencô de kur$ fvUmitaîefj^êf ri eU$i om le tnêffiè âênmHmtéur, et datmeM à ceUe différence pour êéMmMatèu^ délai ihêienè des fractions proposées i
Ainsi^ — - ft = A*
Si les fractions dont on demande la différence n^dfitpas le mime dénominateur j on les y réduit (107 et iÔ8), ce qui rawme au cas précédent,
i 14. Lorsqu'il y a des entiers joints auso flattions qùè F&H i)êut soustraire^ on prend d'ahord la différence déè deux fracHortSj puis celle des deux nombres entiefs^ et entité m ajoute céi déuûâ différeneesé
Mais si la fraction à soustraire swpasse tduWe\ on ajoute à celle-ci une unité; ce qui retient à Mffmeméf èûri rHémêtatéUr du éénominateur commv/n : la soustraction est alors possièléj H comme j en opérant ainsij on a augmenté le reste d'une unité, il faut, pour lui rèétiiuef sa vcUeiàf, ajouta cette unité au ftarhbfé êfttier à soustraire^
Soît proposé, par exemple, de soustraire 2 4^ dé 6 ^ : je réduis d'abord îes deux fractions U et ^ au môme dénominateur, ce qui donne respectivement |j et fJ.Ûans rimpossibilité de soustraire la première de ces deux fractions de la seconde^ j'ajoute à celle-ci une unité qui vaut fj, ce qui fait ainsi |{|4-|J=3§|. J'effectue aeiuelleinent la soaetraetion, cK il reste iJ; mais comme j'û aogmeiàté le reste demandé é'une
unité, je retiens cette unité pour l'ajouter au nombre entier à soustraire, et je dis : 1 et 2 font '3; 6té de 6, il reste 3 : de sorte que la différence des deux nombres proposés est de 3 unités
Soit encord proposé do soustraire S f de 4 unitési Gomme il n*j a point de fraction dans le nombre dont on doit soustraire, on y ajoute une unité, qui vaut |; | ôtés de |^ il reste j $ itials comme j'ai augmenté d'une unité le nombre dont on soustrait, j'ajouterai une unité &u nombre entier à soustraire, et je dirai : 2 et 1 font 3; 6té de 4, ii reste 1. Le reste demandé est donc 1 1.
