IV* MULTIPLICATION DES FRACTIONS

i Itf . Pour multiplier une fraction par un nofnbr$ entiery multipliez son numérateur par ce nombre, en ôonservant U dénoini* nateur (07, l"*); ou bien diviseg son dénofninat9uf paf le nombre entier f en conservant le numérateur (97, d^")/

La seconde méthode a sur la première TaTantage de donner un résultat plus simple; mais aussi la première est générale, tandis que la seconde n'est pas toujours applicable, car le dénominateur de la fraction multiplicande peut n'être pas ditisible par le multiplicateur. Oft préférera donc celle-dlor9(|tt'oii pourra rappliquer, el dans le cas contraire on atira recotif^ à l'autre*

. iiè. Pour miUtiplier deux fractions Vumpar îautre^ multi" pliez lesnunièrateurs entre euXj et les dénominateurs aussi Tim par Fautre. Soit proposé^ par exemple, de mi^plier { par }. D'après la définition de la multiplication, le produit est composé avec le multiplicande de la même manière que le multiplicateur l'est avec l'unité (25); donc, puisgu'ici le multiplicateur est les I de l'unité, le produit devra être les } du multiplicande. Ainsi, multiplier } par }« c'est prendre les | de {. Si je connaissais le huitième de |, il n'y aurait qu'à multiplier ce huitième par 3, et le problème serait résolu. Hais prendre le huitième d'un nombre, c'est le diviser par 8 : donc le huitième

de I sera ^ (97, 4'»). Par conséquent le produit demandé sera ^, Donc I X I = rS, ce qu'il fallait démontrer.

117. On prouverait de la même manière que, pour mw/riplier un nombre entier par une fraction, U faut le multiplier par le numérateur^ en conservant le dénominateur^ et qu'ainsi 5Xf = -^=^ = lî.

118. Il suit de ces trois principes que Vonpeut^ dans la multiplication des fractions f intervertir V ordre -des facteurs sans altérer la valeur du produit. Car cela revient à intervertir de la même manière l'ordre des facteurs dans les deux termes de la fraction-produit, ce qui n'altère pas la valeur de ces deux termes (37)..

Ainsi les produits §.|.g et |.§.f sont égaux , car ils le sont l'un et l'autre h ^^l.

Il suit de là que les principes n"*' 38 et 39 sont également vrais lorsque les quantités que l'on considère sont fractionnaires, car ils sont une conséquence immédiate du principe dun«57.

119. Il pourra arriver que le multiplicande et le multiplicateur, ou seulement l'un d'eux, contiennent de^ nombres entiers joints à des fractions. Alors on réduira chaque nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction, ce qui ramènera à un des cas que nous avons considérés précédemment.

Pour réduire un nombre entier et la fraction qui raccompagne en une seule fraction, on multiplie ce nombre par le dénominateur de la fraction, on ajoute le produit au numérateur, et l'o/i conserve le dénominateur.

Soit, en effet, l'expression 4 f . Tobserve qu'ici une unité vaut f , et que par conséquent 4 unités valent 4 fois | ou ^, Donc 4 | = ^+f = H^- Mais le numérateur a été obtenu en multipliant le nombre entier 4 par le dénominateur 5, et en ajoutant le produit au numérateur 3 : donc, pour réduire un nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule

fraction, il tàui multiplier ce nombre entier par le dénominateur, ajouter le produit au numérateur, et conserver le déno^* minateur.

Exemple, Multiplier 3 { par 5 |f. On trouvera :

^XW=^(»»,2*) = i^ = 22|.

Ï20. Si Fun des facteurs était un nombre entier et que Vautre fût composé iun entier et d'une fraction^ on ne réduirait pas celui-ci en une seule fraction : il serait plus simple de, multiplier successivement ses deux parties par l'autre factewr, en comment faut par la fraction^ afin que^ si le produis contenait des unités^ on put les extraire et les ajouter immédiatement au produit de la partie entière.

Exemple. Multiplier 4236 f par 24. Le produit de { par 24 est i|&= 13 1= 13^. Je retiens donc 13 unités, pour les ajouter au produit de 4236 par 24, et je trouve ainsi que

iSi. Nous avons vu qu'une fraction exprime une partie ou la collection de plusieurs parties égales de l'unité : par conséquent, si nous concevons qu'une fraction soit partagée en plusieurs parties égales, une de ces parties ou la réunion de plusieurs d'entre elles sera une fraction d'une nouvelle espèce : nous l'appellerons fraction de fraction.

On conçoit qu'il est possible de diviser de même ces nouvelles fractionsen parties égales ; et en prenant une ou plusieurs de ces parties on formera une fraction de fraction de flraction, et ainsi de suite.

122. On peut toujours trouver une fraction ordinaire équiva-^ lente à une fraction de fraction. Il suffit pour cela de multiplier entre elles toutes les fractions dont il s'agit. Proposons-nous, en efifet, de trouver une fraction ordinaire équivalente aux | des I de f . La première chose à faire pour obtenir la valeur de cette quantité, c'est de prendre les | de f , ce qui se fera en multipliant i par | (25). Ainsi les i de t sont égaux à f x f*

8i FRACTIONS ORDINAIRES.

Il ne reste plus qu'à prendre les | de ces f de f, ce qui se fera en les multipliant par |. Ainsi les } des f de | sont égaux à

|X|XÎ=fcH(ii6) = | = i.