I. NUMÉRATION DES FRACTIONS DÉCIMALES

129. Si Ton conçoit que Ton partage Tunité en ài^ parties égales, chacune de ces parties sera un dixième de l'unité; que chaque dixième soit partagé en dix parties égales, l'unité le sera alors en cent, et par conséquent chacune de ces nouvelles parties sera un centième de l'unité. Si de même on partage cliaque centième en dix parties égales, il y en aura mille dans l'unité, et par conséquent ces nouvelles parties seront des miU lièmes de l'unité, et ainsi de suite.

Ces parties de l'unité et la collection de plusieurs d'entre elles ont reçu le nom de fractions décimales^ parce qu'elles se composent de parties de Tunité de dix en dix fois plus petites. Or nous avons fait cette convention qu'un chiffre placé à la droite d'un autre représente des unités dix fois plus petites que celles indiquées par cet autre (il) : donc le chiffre que nous écrirons à la droite des unités simples représentera des dixièmes; celui qui sera à la droite du chiffre des dixièmes représentera des centièmeSy et ainsi de suite : de sorte que l'on pourra représenter les diverses collections d'unités décimales que contiendra un nombre par les mêmes chiffres que les unités entières, en faisant occuper à ces chiffres des places convenables. Seulement, pour ne pas confondre la partie décimale avec la partie entière, on l'en séparera f^r une virgule.

Veut-on écrire vingt-^inq v/nitis^ trois dixièmes^ deux centiè^ mes et quatre dix-millièmes, on écrira : 25,3204.

Gomme il n'y a pas de millièmes^ on a dû les remplacer par un zéro.

86 ' FBACTIONS DÉCIMALES.

150. Le nombre 25,3204 peut s'énoncer plus simplement ' que nous ne venons de le faire. Si Ton observe, en effet, qu'un millième est de Tordre des dizaines par rapport aux dix-mil' lièmes^ qu'un centième est de l'ordre des centaines par rapport aux dix-miUièmeSy qu*un dixième est de l'ordre des mille par rapport aux dix-millièmes, au lieu d'énoncer trois dixièm^es deux centièmes et quatre diaymïllièmes, on pourra dire trois mille deux cent quatre dix-millièmes : de sorte que le nombre 25,3204 s'énoncera vingt^^cinq unités^ trois mille dewe cent quatre dixmillièmes.

Ainsi, pour traduire m langage ifrdinaire un nombre décimal^ U faut énoncer d*abùrd la partie entière, puis celle qui est à la droite de la virgule comms si elle représentait un nombre entier, d'après la règle du n"* 15, en ayant soin d'ejotOer^ après le dernier chiffre décimal^ le nom des unités qu*il représente^ Pour former le nom des unités que représente le dernier chiffre décimal, on observe que d&ax chifftesj Vun entier et Vautre dé^ dmaly qui sont placés à la mime distance des unités simples, portent des noms analogues ; et, comme le dernier chiffre décimal est aussi éloigné du chiffre des unités entières que ce chiffre l'est de lui, on voit que le nom des unités que représente le dernier chifpre dédmcU est celui même de la, tranche oie se trouve le chiffre des unités, m comptant de la droite, et en ayant soin de faire suivre le nom de cette tranche de la terminaison ième et de le faire précéder du mo£ dix ou du mot cent, selon que le chiffre des unités s'y trouve au second ou au troisième rang.

Veat^on énoncer 23007,0000040000028? On préparera les deux parties dont il se compose conformépient à la règle du n* 15, ce qui donnera

et en observant que le chiffre 7 des unités entières se trouve au second rang de la cinquième tranche à partir de la droite, c'eslà-^dii*e de la tranche des trillions^ on en conclut que le dernier chiffre décimal 8 représente des dix-trUlionièmes. On dira donc

vingP-trm mUle sept unités^ quarante miUians vingt^huit diohtrillianièmes.

151, On peut encore comprendre dans un même énoncé la partie entière et la partie décimale. Ainsi pour le nombre 25,3204, on observera que le chiffre des unité$ est de Tordre des dixaims de mille par rapport aux dix-mUlièmeê^ et que le chiffre des dizaines est de Tordre des centainei demiUê par rapport aux dix-millièmes; de sorte que ce nombre s'énoncera : deux cent cinquante-trois mille deux cent quatre dix-miUièmes.

Ainsi, pour comprendre en un seul et mimé énoncé la partie entière et la partie décimale^ on énoncera le nombre^ abstrac-tion faite de la virgule^ comme s'il était entier^ et l'on ajouter^ après son dernier chiffre le nom des unités décimales que ce chiffre représente (150).

152. On déduit encore de ce qui précède, que pour écrire un nombre décimal sous la dictée^ il faut écrire cCabord la partie entière^ puis la partie décimale en se conformant à la règle du n"* 12; mais il faut avoir soin de placer^ entre la virgule et le premier chiffre significatif décimal^ autarU de zéros qu'U est nécessaire pour que le dernier cniffre décimal sait à la même distance des unité/ simples que celui qui représente des unités entières de même dénomination que. lui. S'il n'y avait point de partie entier ei on mettrait un zéro pour en tenir lieu.

Exemple. Écrire vingt-trois mille quarante unités^ quinze mille devbX cent sept dix-billionièmes. On écrira d'abord les vingt-trois mille quarante unités : 23040. J'observe ensuite que les dizames de billions se trouvent au second rang do la quatrième tranche, et qu'ainsi ie chififre des dix-bimoniëtne» sera au (9 + 2)*~, c'est*à-dire au onzième rang. Mais le chiffre des unités est déjà écrit; de plus, il faut cinq chiffres pour représenter quinze mille deux cent sept : donc U faudra écrire U -^ 6 ;== 5 zéros entre la virgule et le premier chiffre signi* fieatif décimal; donc l'expression du nombre proposé sera 23040,00000^207.

88 FRACTIONS DËGIMALES.

On verra de même que qiiatre mille six cent-millièmes, s'écriront 0,04006.

153. Les chiffres qui représentent des collections d'unités décimales, de même que ceux qui représentent des collections d'unilés entières, ne tirant leur valeur que du rang qu'ils occupent par rapport au chiffre des unités simples, on ne changera pas la valeur (Tune fraction décimale en écrivant ou en supprimant sur sa droite un ou plusieurs zéros : car les chiffres significatifs occuperont encore les mêmes places par rapport aux unités simples, et représenteront par conséquent toujours les mêmes collectiotis des mêmes unités.

, On peut dire encore : en ajoutant deux zéros, par exemple, à la droite d'un nombre décimal, on exprimera qu'il se compose alors de cent fois plus de parties de l'unité ; mais aussi ces parties seront cent fois plus petites : donc la valeur du nombre décimal n'aura pas été altérée, et son expression seule aura changé.

Remarquons que la transformation que l'on fait subir à un nombre décimal, en écrivant ou en supprimant des zéros sur sa droite, revient à celle que l'on opère sur une fraction ordinaire en multipliant ou en divisant ses deux termes par v.n même nombre (99).

154. Il suit encore du même principe qu'en portant la virgule de plusieurs rangs vers la droite ou vers la gauche cTun nombre, on multiplie ou l'on divise ce nombre par Vunité suivie d'autant rfô zéros que la virgule a parcouru de rœngs.

Si par exemple on avance la virgule de deux rangs vers la droite d'un nombre, chaque chiffre aura reculé de deux rangs vers la gauche et représentera par conséquent des unités cent fois plus grandes : donc toutes les parties du nombre étant devenues cent fois plus grandes, le nombre luimême est devenu cent fois plus grand : donc il a été multiplié par cent.

Ainsi 12,346 X 100= 1234,6. Si l'on voulait diviser 12,346

par 1000, il faudrait reculer la 'virgule de trois rangs vers la* gauche; mais comme il n*y a que deux chiffres entiers, on écrira à la gauche de ce nombre deux zéros, dont l'un tiendra la place des unités. Ainsi Ton aura 12,346 : 1000 = 0,012346.

S n, ADDITION DES NOMBRES DÉCIMAUX.

iSS, Puisque les unités décimales sont soumises à la même loi de composition que les unités entières, l'addition des nombres décimaux doit s'opérer d'après la même règle que celle des nombres entiers. Ainsi U faudra d'abord écrire les nombres à additionner les uns au-dessous des autres , de manière que les unités de même ordre se correspondent dans une même colonne; effectuer ensuite l'addition^ en faisant abstraction de lavlrgule, d'après la règle du n® 16, puis placer cette virgule dans la somme, de manier z qu'elle se trouve au-dessous de celles de tous les nom" br es proposés.

Exemple. Additionner les nombres 0,78; 9,489; 7,9; 0,0497 ^t 6,574. On les disposera comme il suit :

Somme 24,7927

S ni. SOUSTRACTION DES NOMBRES DÉCIMAUX.

136. Si les deux nombres décimaux dont on demande la différence ne renferment pas le même nombre de décimales, écrivez à ta droite de celui qui en contient le moins autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux de plus dans Vautre nombre. Cela fait, éciHvez le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que les unités de même ordre se correspondent ; puisy faisant abstraction de la virgule, effectuez la soustraction d'après la règle du n^ 21,

'et placez enfin la virgule dan^ le reste aurdessoiu de celles des nombres proposés.

Exemple. Soustraire 4,052 de 13,04. On écrira d'abord un zéro à la droite du second nombre, puisqu'il n'a que deux chiffres décimaux et que Tautre en contient trois, et l'on disposera les calculs comme ci*dessous :

Différence. . . . . • 8,988