Q y (t trois cas à considérer dans la division des nom

rHACTIONS PCCIHALES. 91

bras décimaax : ou le diviseur est exprimé par rnnité suivie de plusieurs zéros, ou le diviseur est un nombre entier quelconque, ou enfin le diviseur est un nombre décimal. Examinons successivement ces trois cas.

!• Pour diviser un nombre décimal par f unité suivie de plusieurs zéros , reculez la virgiUe dH autant de rangs vers la gauctis . quHl y a de zéros à la hiite de F unité (154).

189. 2* Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier j on fera la division sans s'occuper de' la virgule et diaprés la règle du n* 49; seulement^ quand on aura abaissé le chiffre des unités simples du dividende, on aura soin de placer une virgule à droite du chiffre correspondant du quotient. On conçoit, en effet, que les unités décimales étant assujetties à la même loi de composition que les unités entières, les raisoimements que nous avons faits au n"" 49, quand le dividende était entier, s'appliqueront encore quand ce dividende sera décimal.

On pourrait encore dire pour justifier cette. règle : Si Ton fait abstraction de la virgule dans le dividende, on le multipliera par Funîté suivie d'autant de zéros qu'il' renferme de' c'hiffres décimaux : le quotient sera donc aussi multiplié par ce nombre, car pour qu'un produit soit multiplié par cent, par exemple, il faut nécessairement que, si l-un des facteurs ne change pas, Tautre soit multiplié par cent (59 et i 18) ; on devra donc , pour lui rendre sa valeur, séparer sur sa droite, par une virgule, autant de décimales qu'il y en avait dans le dividende.

Exemple, Diviser 2158,89 par 47. Le quotient est 45,93, et le reste est 0,18.

140. 3« Si le diviseur est urh nambre décimal^ je supprime la virgule dans le diviseur y et je P avance dans le dividende d* autant de rangs sur la 'droite qu*il y a, de décimales dans le diviseur, ce qui me ramène au cas précédent, et cela sans altérer la valeur du qiMtient, Supposons, en effet, qu'il y ait deux décimales dans le diviseur : en supprimant la virgule dans ce nombre , nous l'avons multiplié par cent-, donc le quotient a été divisé par cent.

car si lé dividende, qui est un produit, ne change pas et que l'un de ses facteurs soit multiplié par cent, il faut nécessairement que l'autre facteur soit divisé par cent (i28). En avançant ensuite la virgule de deux rangs sur la droite du dividende on a multiplié ce nombre, et par conséquent le quotient, par cent; mais c'est après avoir divisé le quotient par cent qu'on l'a multiplié par cent ; donc il n'a pas changé de valeur.

- Exemples. 1® Diviser 215,889 par 4,7. Je supprime la virgule dans le diviseur et je l'avance d'un rang sur la droite du dividende, ce qui me conduit à diviser 2158,89 par 47. Le quotient est donc 45,93. Quant au reste, celui de la division de 2158,89 par 47 est 0,18; mais en multipliant le dividende et le diviseur proposés par 10, on a multiplié le reste de leur division par 10; donc la vraie valeur de ce reste est ^4^^=0,018.

2° Diviser 215889 par 4,7. L'application de la règle conduit à diviser 2158890 par 47, ce qui donne pour, quotient 45933, Le reste est 3,9.

• . 141. Quand le diviseur est un nombre entier y le quotient est exact à moins d'une unité de V ordre dont est le derni&r chiffre du dividende. Ainsi 45,93 exprime le quotient de la division de 2158,89 par 47 à moins d'un centième (ex. du n* 159). En effet ce quotient est plus grand que 45,93 puisque la division a donné un reste; d'un autre côté, il est plus petit que 45,94 : car si l'on avait écrit un 4 au lieu d'un 3 au quotient, la soustraction correspondante n'aurait pas pu s'effectuer. Donc le quotient demandé est compris entre 45,93 et 45,94; et comme ces deux nombres diffèrent d'un centième, il s'ensuit que le quotient diffère de chacun d'eux de moins d'un centième.

142. Il suit de là que pour avoir le quotient de deux nombres . à moins d'une unité dècim^ale dwn ordre donnèy il faudra d'abord faire en sorte que le diviseur soit entier ^ en appliquant la règle du n* 140; puis on écrira à la droite du dividende autant de zéros qu'il sera nécessaire pmn/r que le dernier chiffre de ce

nombre soit de Vordre décimal dont il s'agit ; ou Wcn, on supprimera, sur la droite de ce dividende^ tous les chiffres qui représentent des unités décimales dCun ordre inférieur à celui-là, et Von effectuera ensuite la division (139).

!•' Exemple. Calculer le quotient de 3215,47 par 42,7, à moins dun millième. On supprimera d'abord la virgule dans le diviseur, et on l'avancera d*un rang dans le dividende, ce qui conduira à diviser 32154,7 par 427 ; et comme le dernier chiffre du dividende n'est que de Tordre des dixièmes, et qu'on veut des millièmes ail quotient, on écrira deux zéros à sa droite, et il ne s'agira plus alors que de diviser 32154,700 par 427, ce qui donnera pour quotient 75,303, valeur exacte à moins d'un millième.

2« Exemple. Calculer le quotient de 32,1547 par 42,7 à mains d^un dixième. On ramènera d'abord cette division à celle de 321,547 par 427, puis cette dernière à celle de 321,5 par 427, ce qui donnera 0,7 pour le quotient demandé.

143. Les preuves de r addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division des nombres décimaux, se font comms celles des mêmes opérations sur les nombres entiers.

Exemple. En divisant 215,889 par 4,7 on a trouvé (140) pour quotient 45,93, et pour reste 0,018. Gomme en ajoutant 0,018 au produit de 45,93 par 4,7 on retrouve le dividende 215,889, on en conclut que l'opération a été bien faite.

S VI. ÉVALUATION D'UN PRODUIT OU D'UN QUOTIENT A MOINS D'UNE UNITÉ DÉCIMALE D'UN ORDRE DONNÉ. — MÉTHODE ABRÉGÉE POUR FAIRE LA MULTIPLICATION. — MÉTHODE DE LA DIVISION ORDONNÉE.

144. U arrive souvent que Ton a à multiplier, ou à diviser l'une par L'autre deux quantités dont l'expression se compose d*un grand nombre de chiffres décimaux, et que cependant on n'a besoin de leur produit ou de leur quotient qu'à moins d'une

94 FRAGTlOnS DÉCIMALES.

unilé, OU dnn dixième, ou d'un centièmet etc., de sorte qu'il suffirait d'obtenir ce produit ou ce quotient dans cette limite d'approximation. Ou y parvient au moyen des méthodes que nous allons exposer successivement,

' 148. Pour obtenir^ à moim d'um untié déeimah d'wn ordre donné, le produit de deuit nombres donnés^ on icrU le rmtitipli^ cande comme à llordinaire ; puU on met le chiffre des imités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime le degré de Vap^ proanmation demandée ; on écrit ensuite les autfes chiffres du muir

- tiplkateur dans leur ordre inverse^ c'est-à-dire les dizaines^ centaines, etc. ^à droiteduchiffredesunités, lesdiarièmesy leseentièmes, etc.^ à gauche de ce même chiffre.

On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre du multij)licateur ; on commence seulement chaque multiplication partielle au chiffre du multiplicande placé au-dessus du chiffre empî(nji> comme multiplicateur, en négligeant tous les chiffres de droite. On écrit tous les produits partiels les uns au-dessous des autres y de manière que les premiers chiffres à droite se correspondentj et on fait Vaddition. On sépare sur la droite de la somme deux décimales de, plus qu'il n'y en a dans la fraction décimale qui marque l* approximation; on supprime les deutp derniers chiffHs à droite^ et on augmenté d'une unité le dernier chiffre cofiservé. Le résultai est le produit cherché,

146. Su[»posons, par exemple, que l'on demandé le produit tie 43,5636278563 par 4,502038965, à moins d'un centième. Il est clair que si je puis calculer chacun des produits partiels à moins de 1 millième, dans le cas même où tous ces produits seraient erronés précisément de 1 millième ^t tous dans le môme sens, l'erreur que je commettrai sera moindre que 10 millièmes ou qu'un centième, en supposant que le nombre de ces prodi\its ne surpasse pas 10. Toute la difficulté consiste donc à calculer chacun des produits partiels à moins, de 1 mil* lième*

Je ferai d'abord observer que peu importe l'ordre dans lequel

FRACTIONS De€JMALE8. 95

on effectue les multiplications partielles du multiplicande par les différents chiffres du multiplicateur, pourvu que l'on dispose toujours les produits partiels les uns au-dessous des autres da manière que les unités de même ordre soient dans une même colonne* Ainsi on pourra renverser l'ordre des chiffiresdu multiplicateur. Si de plus on écrit le multiplicateur ainsi renversé sous le multiplicande» de manière que le chiffre de ses unités soit sous les dix*millièmes du multiplicande, il résultera de cette disposition un avantage remarquable : c'est que le produit de chaque chiffre du multiplicande par le chiffre correspondant dû multiplicateur sera de Tordre des dix-millièmes (remaVquez avec soin que, dans le multiplicateur, les unités sont maintenant à droite de la virgule et les décimales à gauche); de sorte qu'il suffira de commencer la mulliplication du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur au chiffre du multiplicande qui lui correspond, pour que le premier chiffre à droite de chaque produit partiel soit de Tordre des dix-millièmes. Or les produits ainsi obtenus pourront bien être erronés de plusieurs dix-millièmes, mais ils ne le seront pas d'un millième : en effet la partie négligée à droite du multiplicande dans chaque multiplication partielle est moindre que 1 dix-millième; donc, dans le cas le plus défavorable, celui où le chiffre du multiplicateur serait un 9, le produit partiel correspondant serait fautif de moins de 9 dix-millièmes et par conséquent de moins de 1 millième. Donc la somme des produits partiels (supposés en nombre moindre que 10) ne sera pas fautive de 1 centième,