Nous disposerons les calculs comme ci-dessous

Multiplicande 43,5636278563

Multiplicateur . 569830,2054

Produit par 4 \74 2544

Produit par 5 îl 7815

, Produit par 2. .... . 870

Produit par 3 12

96 FRACTiONS DÉCIMALES.

J*ai d'abord multiplié le multiplicande par le premier chiffre 4 du multiplicateur, en commençant la multiplication sur le chiffre 6 du multiplicande, et disant : 4 fois 6 font 24 ; j'écris 4 et je retiens 2 ; 4 fois 3, 12, et 2, 14 ; j'écris 4 et j'eretiens 1, etc. Passant au second chiffre 5 du multiplicateur, je dis : 5 fois 3, 15 ; j'écris 5 et je retiens 1 ; 5 fois 6, 30, et 1,31; j'écris 1 et je retiens 3, etc. On obtient ainsi le produit 196,1241, qui n'est pas fautif de 1 centième ; donc Iv produit exact est compris entre les deux nombres 196,1241 et 196,1341 ; donc on pourra prendre pour valeur approchée 196,13 qui diffère de chacun d'eux, et par suite du produit exact, de moins de 1 centième ; ce qui achève de démontrer la règle que nous avons donnée.

Cette méthode, remarqua];^le par sa simplicité, a été donnée par Oughtred dans son ouvrage intitulé Artis anaiyticx praxis.

148. L'illustre Fourrier a donné, pour diviser un nombre par un autre, une méthode qui a l'avantage de ne faire concourir chaque chiffre du diviseur à la détermination du quotient que quand il est devenu nécessaire d'appeler ce chiffre, pour qu'il n'y ait point d'incertitude sur celui qu'on va écrire au quotient. Voici la règle qu'il faut suivre pour effectuer cette division ordonnée.

« On marquera "^9 dans le diviseur, quelques-uns des premiers chiffres seulement, par exemple les deux premiers ou les trois premiers ou les quatre premiers; nous appelons dmseur dési^ celui qui est ainsi formé des chiffres qu'on a marqués. Cela étant, on divisera le dividende proposé par le diviseur désigné, en effectuant cette opération selon une règle qui ne diffère de la règle commune (49) qu'en un seul point. Voici en quoi cette différence consiste : toutes les fois qu'on abaisse

* Analyse des équations, page 188 et suivantes.

un chiffre du dividende à la suite du reste donné par une opération précédente, et qu'on forme ainsi un dividende partiel, il faut corriger ce dernier dividende, en en retranchant une certaine quantité ; on obtient ainsi un dividende partiel cor^ rigé. Alors on cherche combien de fois ce dernier dividende contient le diviseur désigné, et Ton écrit au quotient le chiffre qui exprime ce nombre de fois. On multiplie donc le diviseur désigné par le chiffre écrit au quotient, et Ton retranche le produit du dividende partiel corrigé. On abaisse à la suite du reste un nouveau chiffre du dividende, et l'on continue* Topération suivant la même règle.

< Pour trouver la correction qui doit être faite à un dividende partiel, c'est-à-dire la quantité qu'on en doit retrancher, on écrit, sur une feuille séparée et dans l'ordre inverse, les m chiffres trouvés, au quotient, on les présente aux m chiffres pris à la suite du diviseur désigné, en sorte qu'ils se correspondent chacun à chacun, puis on multiplie chaque chiffre par celui qui est placé au-dessous de lui, et en ajoutant les m produits*, on connaît ce qui doit être retranché au dividende partiel, et on effectue la correction.

c Toutes les fois qu'en suivant cette règle on doit abaisser un chiffre du dividende à la suite d'un reste donné par l'opération précédente, on examine si ce reste surpasse ou du moins égale la somme des chiffres écrits au quotient, et que

'^ n est facile de compter la somme des produits des chiffres correspondantSy sans qu'il soit nécessaire d'écrire ces produits partiels ; car il suffit d'ajouter ensemble les seuls chiffrbs des unités de ces produits, en comptant de U droite vers la gauche : on ajoutera ensuite, en venant vers la droite, les seuls chiffres de ces produits qui expriment des dizaines. Ainsi, dans cet exemple 876SX3473,

on dira: 3 fois 5, 5; 7 fois 6, 2; et 5, 7; 4 fois 7 , 8; et 7, 15; 3 fois 8, 24; et 15, 39; j'écris 9, et je retiens 3; puis, 4 fois 7, 2; et 3, 5; 7 fois 6, 4; et 5, 9; 3 fois 5, 1; et 9, 10, que j'écris à la gauche de 9. Le résulut est donc 109.

98 FKAGTIONS DÉCIMALES.

]*oii ajoute ensemble comme s'ils représentaient des unités. Lorsque cette condition a lleu^ on est assuré quelechiffire qui a été écrit précédemment au quotieqt est exact.

« Si Ton n*a marqué, pour former le diviseur désigné, qu'un chiffre où deui, ou en général un trop petit nombre de cbif* freSt il arrivera que la condition ci-dessus n*aura pas lieu; c*e8t-à*dire que le reste d'une opération précédente sera moindre que la somme des chiffres déjà écrits au quotient : alors le derpier de ces chiffres est encore incertain, et l'on est averti qu*on n'a pas marqué un assez grand nombre de chiffres pour former le diviseur désigné. Dans ce cas on continuera d*abord d'appliquer la règle précédente, en abaissant un chiffre du dividende et en effectuant la correction prescrite; Si elle ne pouvait être faite, on en conclurait que le chiffre écrit au quotient est trop fort : il faudrait donc le diminuer d*une unité* » Mais si la correction peut être faite, le chiffre écrit au quotient peut encore être trop grand; alors « on abaissera un nouveau ctiifb*e du dividende à la droite du dividende partiel qui a donné ce chiffre incertain, ce qui donnera un nouveau dividende partiel. En même temps on marquera un chiffre de plus à la suite du diviseur désigné, ce qui donnera im nouveau diviseur désigné. On procédera, selon la règle énoncée, à la correction du nouveau dividende partiel; c'està^ire que Ton comparera les n chiffres déjà écrits au quotient à un pareil nombre n de chiffres pris à la suite du nouveau diviseur désigné. Ayant formé par cette correction le nouveau dividende partiel conigé» on continuera Tapplicalion de la présente règle en faisant usage du nouveau diviseur désigné. »

FRACTIONS D£C1MAL£S. 9d

PREMIER EXEMPLC Premier dfridMkdepftrtlal, 1334; dirlseur désigné, 234.

2dhh619mi

l«mte 64 645 (64>l; le eblffrttft estbon).

3* diyid« perU cor* .630

2^refle.... 163 1536 (163 > 6 + 2» 7f te chiffre 2 e»t boe).

4iOas6.&4'&«3 3*divid.pftrt.cor*.1486 3*ieete 83 637 (83>7+6asl3s le eUffie «estbon).

^ss7^+6.2+M 4** diirid. iMort. cor.. . . .750 4*rei«e 4S 468 (46>13-f3s:]6; le ehififie SefCbon).

J05SS8.64-Î.2 + 6.6+6.3 5* dîTid. pin. cor. 888

d^resls..... U9 1480 (149 > 16+1^17; le chiffre 1 est bon).

J26=:9.5+8.2-h7.6 + 6.3 + 5.1 0* dmd« part' oer. ... .«1373 6*r«rte 908 3038 (309>1T4'5=='33; ie cbiffre 6 est bonj.

J58 = 8 5 + 9.2 +8.6+73 + 6.1 +5.5 7* dlirid. part cor 188U

7* reste*. «•* 8 81 (8 <32 + 8=:?dO; le diiifre 8 est icoertafn).

206=5.8 + 6.5 + 7.1 + 8.3 + 9.6 + 8.2 + 7.5 (la eotredion ne peut «'efoctver, le ehiUre 8 est trop fart, et on a éctit 7 au Ueu de 8 aa

quotient).

. 8* reste 343 .3427 (242 > 22 + 7 =29 \ le diiflre 7 est bon).

201 =7.5 + 8.2 + 9.6 + 8^3 + 7.8+ 6^ + M 8» dîvid. part, cor 2226

g'reste 120 120 (120 > 39+9 =b38; le chiffre 9 est bi»).

i49. Démontrons maintenant la règle dont nous veiion» do donner an exemple.

D'abord il est dasr qoe^ de même qa*on est vùra» ne pas

trouver un chiffre trop faible en divisant par le premier chiffre à gauche du diviseur le nombre d'unités de même ordre que renferme le dividende partiel, on aura la même certitude en divisant par le diviseur désigné la partie qui lui correspond dans le premier dividende partiel. Ainsi le chiffre 5 n'est pas trop petit. Le reste correspondant est 64, et à sa droite j'abaisse le chiffre 5 qui vient immédiatement après le 1*' dividende partiel, ce qui donne 645. Mais ce nombre est plus grand que le 2' dividende partiel qui doit correspondre au diviseur désigné; car au lieu de retrancher du véritable premier dividende partiel 123456789a7 le nombre total des unités du ?• ordre que renferme le produit du diviseur tout entier par 5, je n'ai soustrait que 234.5 = 1170 unités du. 8" ordre; donc il Ifaut encore ôler du reste toutes celles dû 7« ordre contenues dans 5678987.5 : or ce produit en fournit au inoins b,b; donc je diminuerai 645 de 25 = 5.5, et j'aurai, conformément à la règle, pour le 2« dividende partiel corrigé, 620 * qui, divisé par 234, donne le quotient 2, lequel ne saurait être trop petit, et le reste 152. J'abaisse à ladroile de ce reste le chiffre suivant 6 du dividende, ce qui donne 1526. Ce nombre est plus grand que le S'^'dividende partiel correspondant au diviseur désigné; car pour obtenir celui-ci j'aurais dû retrancher du véritable 2« dividende parliel 1234S6789873 le nombre total des unités du 7" ordre que renferme le produit de tout le diviseur par 52, lequel esl, d'après la méthode d^Oughtred (143), abstraction faite des unités du T" ordre qui auraient reHué des produits d'ordre inférieur, 23456 . 5 + 2345 . 2 = 23450 .5 + 6.5 + 2340 .2 + 5.2; tandis que je me suis contenté dç retrancher de 12345678987, P le nombre des unités du 8« ordre obtenu en multipliant 2345 par 5,. 2* le produit 234,2, ce qui revient à. avoir soustrait 23450.5 + 2340.2 unités du V ordre de 123456789873; donc je dois encore diminuer le reste 1526 de 6.5 + 5,2, ce qui me donnera, conformément h la règle, i486** poiir 3" dividende partiel corrigé. En le divisant. par

* Hcma«iquou3 que 620 est l'excès de 12345 sur 2345.5.

** Remarquons que U86 est Texcès de 123456 sur 23456.5 + 2345.2.

FRACTIONS DËG1MALES« 101

234, je trouve pour quotient 6, qui ne peut être trop petit, et pour reste 82, à la droite duquel j'abaisse le chiffre suivant 7 du dividende, ce qui fait 827. En répétant sur ce nonibreles raisonnements qui précèdent, on verra qu'il faut le diminuer de l'excès de 234567.5+23456.24-2345.6=234560.54-7.5 + 23450.2+6.2 + 2340.6+5.6 sur 234560.5 + 23450.2 +2340.6, c'est-à-dire de 7.5+6.2+5.6, ce qui s'accorde avec la règle.

Maintenant, comment vérifier que les chiffrés successifs 5,2, 6, 3,... obtenus au quotient, ne sont pas trop grands? Supposons, pour fixer les idées, que Ton veuille vérifier le chiffre 3, et que l'on ait formé le dividende partiel corrigé 383, qui doit donner le chiffre suivant du quotient. J'observe que, dans le calcul des quantités que j'ai soustraites du véritable divi-^ dende partiel 12345678987364 correspondant au chiffre* 3, je n'ai pas tenu compte des reports faits sur les produits d'uii ordre inférieur au 7" ; car, en effectuant le produit du diviseur par le quotient trouvé 5263, de manière à ne calculer que les produits du 7' ordre, nous avons disposé nos facteurs comme

on le volt ci-dessous :

et nous n'avons commencé la multiplication du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur qu'au chiffre du multiplicande qui lui correspond; on a donc négligé ainsi