CHAPITRE VI

CONVERSION DES FRACTIONS ORDÏNAIRES EN FRACtiONS DÉCIMALES.

iô5. Il y a deux cas à considérer dans la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales : ou le dénomincueur est exprimé par Vunité suivie d'un au de plusieurs zéros j on le dénominatewr est un nombre quelconque,

l"" Supposons que le dénominateur soit formé de l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros. J'observe que toute fraction pouvant être considérée comme exprimaiit la division de son numérateur par son dénominateur (94), nous obtiendrons la valeur décimale de cette fraction en divisant son numérateur par son dénominateur, ce qui se fera en écrivant le numérateur ^ et en séparant sur sa droite, par une viryuk, autant de décimales qu'il y avait de zéros dans- le dénominateur (154). On parviendrait au même résultat en écrivant la fraction proposée d'après la règle du n* 152.

IS4. 2* Considérons le cas où le dénominateur est un nombre quelconque.

Convertir une fraction ordinaire en décimales, c*est la transformer enune autre qui ait pour dénominateur l'unité suivie d'un certain nombre de zéros (129) : ainsi la question actuelle n'est qu'un cas particulier de celle que noiT*^ ". :::3 résolue aun* 110. Si le dénominateur était connu, il n'y aurait qu'à multiplier la fraction proposée par ce dénominateur, ce qui reviendrait à écrire à la droite de son numérateur autant de zéros qu'il en contient, extraire les unités du produit, et diviser le nombre ainsi trouvé par ce dénominateur; mais comme on ne le connaît pas.

CONYEBSION DES rRACTlONS ORDINAIRES, ETC. 107

on concevra que le numérateur soit suivi ef tm nom bre indéfini de zéroSy on effectuera la division de ce numérateur ainsi préparé parle dénominateur de la fraction proposée, et Von séparera sur la droite du quotient autant de décimales que Von awra employé de zéros. Si par exemple on avait écrit cinq zéros à la droite dn numérateur, on attrait multiplié la fraction proposée par 100000 : donc le quotient troi -é vaudrait 100000 fois cette fraction; donc, en le divisant par 100000 y on aurait la valeur de cette fraction.

Exemple. Convertir { en décimales. On effectuera le calcul indiqué ci-dessous :

m9oo

Comme il a fallu employer trois zéros pour arriver à un reste nul, on devra séparer trois décimales sur la droite du quotient^ ce qui donnera | = 0,625.

On peut dire encore : L'expression décimale de la fraction I serait connue si Ton savait combien elle renferme de dixièmes, de centièmes, de millièmeSj etc. Or, une unité valant 10 dixièmes^ les | d'une unité vaudront les f de 10 dixièmes, c'est-à-dire les ^^ d'un dixième (23) ; or la division de 50 par 8 donne 6 pour quotient et* 2 pour reste: donc les { d^ime unité valent 6 dixièmes, plits les | efun diocième. Mais un dixième vaut 10 centièmes : donc les | d*un dixième vaudront les | de 10 centièmes, c'est-à-dire l^s ^ d'un centième. En effectuant la division de 20 paf 8, on trouve 2 pour quotient et 4 pour reste, et on en conclut que les i d'un dixième valent 2 centièmes, plus les I d'un centième, et ainsi de suite, ce qui conduit à la règle précédente.

Proposons-nous encore de convertir -ft en décimales.

108 GONVEIiSION DES FRACTIONS ORDINAIRES

On voit que le reste de la seconde division partielle est le numérateur même de la fraction proposée; et, comme on devra écrire à sa droite un zéro., le troisième dividende partiel sera le même que le premier : nous retrouverons donc pour troisième quotient et pour troisième reste le premier quotient et le premier reste, ce qui entraînera le retour du second dividende partiel, et par conséquent du second quotient, et du second reste, et ainsi de suite indéfiniment. On voie donc que les chiffres 4 et 5 reviendront périodiquement et à l'infini dans l'expression de la fraction décimale équivalente à la fraction i\; et, comme le premier chiffre de cette expression

est de Tordre des dixièmes, on aura -1^ = 0,45454545

Donc la fraction ^ n*est pas exactement réductible en décimales.

liSS. Us fractions décimales telles que 0,45454545^., dans lesquelles les mêmes chiffres reviennent périodiquement et à Vinfini y se nomment • fractions décimales périodiques. Dans l'exemple précédent, h période est 45.

Il arrive souvent que la période ne commence qu'après quelques chiffres irféguliers. Pour distinguer ces fractions de celles dont nous venons de parler, nous les appellerons fractions périodiques mixtes^ par opposition aux autres, que nous nommerons fractions périodiques pures ou simples.

0,3454545.... est- une fraction périodique mixte dans laquelle la période est encore 45, et dont la partie irrégulière est 3.

* 186. Nous venons de voir que certaines fractions ordinaires pouvaient être converties exactement en fractions décimales, tandis qu'il y en a d'autres qui ne sont pas susceptibles d'une pareille réduction. Nous allons examiner à quoi tient celte différence, et pour cela nous chercherons qu^ellcs sont le^ conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fraction ordinaire soit exactement réductible en décimales.

Nous avons vu (154) que, pour convertir une fraction ordi-

naire en décimales, il fallait écrire un certain nombre de zéros à la droite de son numérateur et diviser ensuite le numérateur ainsi préparé parle dénominateur : donc, pour qu'une fraction soit exactement réductible en, décimales, il faut et il sufSt que le produit de son numérateur par Tunité suivie d'un certain nombre de zéros soit eitactement divisible parle dénominateur. Mais nous savons (87) que, pour qu'un nombre soit divisible par un autre, il est nécessaire qu'il renferme tous les facteurs premiers de cet autre : or, en multipliant le numérateur par l'unité suivie de plusieurs zéros, nous n'avons introduit dans ce numérateur que les facteurs premiers 2 et 5 (88), car l'unité suivie de plusieurs zéros, étant une puissance parfaite de 10 (42), n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5 : donc, pour que la division puisse réussir, U faut que le numérateur primitif renferme tous les facteurs premiers du dénominateur autres que 2 et 5. Je dis maintenant que cette condition est suffisante : car^ pnisqu'en écrivant un zéro à la droite du numérateur on le multiplie par 10, pour chaque zéro qu'on écrira à sa droite on introduira dans ce numérateur un facteur 2 et un facteur 5 : donc on pourra y introduire tous les facteurs 2 et 5 du déno minateur, de sorte qu'alors le nouveau numérateur contiendra tous les facteurs premiers du dénominateur, et sera par conséquent divisible par ce dénominateur.

* 187. Concluons donc, !• que pour qv!une fraction soit réductibleen décimales^ U faut et il suffjt que son numérateur contienne tous les facteurs premiers autres que 2 et 5 qui se trou^ vent dans son dénominateur : d'où il suit que si la fraction propo* sée est réduite à sa plv>s simple expression, on ne pourra la convertir exactement en décimales qu'autant que son dénominateur ne contiendra pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5, puisque ces autres facteurs ne pourraient se trouver dans le numérateur. Alors l'expression décimale de la fraction proposée contiendra autant de chiffres décimaux qu'il y a d'unités dans leplm haut exposant des facteurs 2 et 5 du dénominateur.

En effet, si Ton écrit à la droite du numérateur autant de