CONVERSION D£S FRACTIONS DÉCIMALES

chacun d'un nombre indéfini de chiffres ; il faut donc employer un autre procédé pour convertir une fraction périodique eh fraction ordinaire.

Supposons d'abord que la fraction soit périodique pure, et prenons pour exemple 0,27272727.... Si nous portons la virgule à droite de la première période, le nombre 27,272727.... que nous obtiendrons ainsi, sera composé de deux parties : Tune entière, qui est la période 27 ; Tautre décimale, qui est la fraction proposé^ elle-même*. Donc, si de ce résultat on retranche la fraction proposée, il restera la période. Mais, en portant la virgule à la droite delà première période, nous avons

* Si cette démonstration ne paraissait pas. suffisamment rigoureuse, on pourrait dire : Supposons que la fraction proposée renferme n périodes ; si nous portons la virgule à la droite de la première de ces périodes, le nombre 27,272727..., que nous obtiendrons, sera composé de deux parties : Tune entière, qui est la période 27, et l'autre décimale, qui est la fraction proposée elle-même, moins la valeur de sa dernière période, c'est-à-dire ~ l^ioï» ^^^^f ^^ ^^ ^ résultat on retranche la fraction proposée, il restera la période 27, — ï^. Mais, en portaut la virgule à la droite de la première période, nous avons rendu la fraction proposée cent fois plus grande : ainsi , de cent feis la fraction proposée nous avons retranché une fois cette fraction ; donc le reste que nous avons trouvé, c'estrà-dire 27 — ï%J;, vaut 99 fois la fraction proposée ; donc en divisant ce reste par 99, nous ob-* tiendrons la fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale 09272727.... Donc

0,272727.... =|î-—njSÎ:ç5 (IM).

Or la quantité 100* sera d'autant plus grande (881) que n sera plus grand, et on peut môme assigner à n une valeur assez grande pour que la quantité 100»%» ^^ P^ conséquent pour que la différence entre 0,272727. ... et ^Z soit moindre que toute grandeur assignable; donc ^ est une limite dont la fraction 0,272727. . . . approche d'autant plus qu'on la compose d'un plus grand nombre de périodes, mais qu'elle ne peut atteindre qu'autant que le nombre de ces périodes est infini; c'est Abrs seulement qu'on a

Donc, pour eonveiiir une froHon deeiwuUe périodique pure^ etc.

rendu la fraction proposée cent fois plus grande : ainsi, de cent fois la fraction proposée nous avons retranché une fois cette fraction; donc le reste que nous avons trouvé, c'est-à-dire la période, vaut 99 fois la fraction proposée ; donc, en divisant cette période par 99, nous obtiendrons la fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale 0,27272727.. . » Donc

Donc, pour convertir urne fraction décimale périodiqtie pure en fraction ordinaire, il faut prendre pour numérateur la période^ et pour dénominateur un nombre formé d*autant de 9 qu'U y a de chiffres dans la période.

En appliquant cette règle à Fexpression 3,054054054.... on trouvera qu'elle est égale à3^ = 3ïfr=3^ = ^(il9).

160. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une fraction périodique mixte, et soit pour exemple la fraction 0,3454545....

Si nous portons la virgule successivement à droite et à gauche de la première période, les nombres'345,454545.... et 3,454545..., que nous trouverons, seront composés de deux parties entières différentes, mais d'une même partie décimale, qui sera une fraction périodique pure, ayant même période que la proposée. La différence de ces deux résultats sera donc la différence (345—3) de leurs parties entières. Or, en portant la virgule à droite de la première période, nous avons rendu la fractioa proposée mille fois plus grande, et en la portant à gauche, nous l'avons rendue dix fois plus grande : ainsi, de mille fois la fraction proposée, nous avons retranché dix fois celte fraction, et par conséquent le reste (345—3) vaut 990 fois cette fraction; donc on aura la valeur de la fraction proposée en divisant ce reste par 990, ce qui donne Hte^=î5u = i5*-

* En lépétant sur la fraction Q, 3454545... les raisonnements que nous avons faits dans la note du numéro précédent, on donnera à cette démonstration toute la rigueur qu'on pourra désirer.

Il4 CONVERSION DES PftACTl0NS5 DÉCIMALES

Donc, pour ctmmftir une fraction périodique mixte en fraction ordinaire, il faut prendre pour numérateur la différence de dmx nombres entiers que Von obtient en portant la virgule succèssioti9n&nt à Id droite et à la gàu^hè de la première période, et pour dèntminaîéur vn^ombre composé d* autant de 9 quHl y a de chiffres dans te période^ sui'ois d'autant de zéros qu'il y a de chiffrer irréguliers»

Exemple. Réduire la fraction 0,09702702702

en fractiori ordinaire. En portant la tirgule SâGCeâsiveiQêût à droite et à gauche de la première période^ on trouve les nombi*c9 enti^ri 970S et 9 : donc la fltaction proposée e^t égale à

«70.2-9 9fl93 3 59