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161. Il suitdecette règle que fe numérateur d'une fraction ordinûire équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé par un zéro : car, pour que cela fût, il faudrait que le dernier chiffre de la période fût le même que le dernier deschilTres inéguliers; naais alors ce dernier chiffre serait le premier de la période, de sorte que l'on n'aurait pas fait commencer cette période là où elle commence réellement

*l62, Il suit du n* 157 que, lorsque le dénominateur d'une frâcUoû irréductible renferme d'autres facteurs premiers que 2 et 5, cette fi*aclion ne peut pas être convertie exactement en déeimales, et nous avons vu qu'alôfs elle donnait lieu à une Sthtûùn périodique : or on peut se demander si cette fraction sera pure ou mixte.

Toute fraction irréductible dont le dénominateur ne renferme aucun des facteurs premiers 2etb est équivalente à une fraction périodique pure.

En effet, si la Mdion décimale équivalente à la firiiçtion pro* posée n'est paBun^ ftuction périodique pure, elle sera une fraction périodique mixte, et en convertissant celle-ci en fraction ordinaire, le résultat devra être équivalent à la fraction génératrice : il faudra donc qu'en réduisant cette fraction résultante à sa plus simple expression, tou$ les facteurs !î et 5 qtd se trou-

m PRACTIOlfS ORDINAIRES. 115

vent dans son déaomittateur (i60) dtsparaisDenC, el pour cela il faut qu'il y ait autant da léroa à la droite du numérateur qu*k celle du dénominateur. Or oû a va (i6i) que le numérateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé même par un seul 2éro : donc il n*est pas possible qu'en réduisant en décimales une fraction irréductible dont le dénominateur ne renferme aoeun des facteurs 2 et 5, on puisse trouver une fraction périodique mixte ; donc on trouvera une fraction périodique pure.

* i65. Si le dénominateur d^%me fruction irréductible renferme quelqu^es-uHS des facteurs premiers 2 et b, la fraction décimale équivalente sera une fraction périodique mixte, dans laquelle il y aura autant de chiffres irréguliers qu*il y a d^unités dans le plus haut exposani des facteurs Si et b qui se trouvent dam son dénominateur.

Sa efifet» si la fraction décimale équivalente à la fraction proposée n'est pas une fraction périodique mixte» elle sera une fraction périodique pure, et» en convertissant celle*ci en fraction ordinaire, le résultat devra être une fraction équivalente à la fraction génératrice. Or cela est impossible, puisque le dénominateur de cette fraction résultante^ étant exprimé par un certain nombre de chiffres 9 (i59}, ne renfermera aucun des facteursE et 6 ; et par conséquent, en réduisant cette fraction àsa plus simple expression, on ne pourra pas retomber sur la frac* tion génératrice^ dont le dénominateur e^ supposé contenir quelques-uns de ces facteurs» Donc la frwstkm décimale équÀoa* ^ lente à ktproposée doit être périodique mixte.

Gela posé, si on convertit cette fraction décimale en fraction ordinaire, on obtiendra une fraction dont le dénominateur sera terminé par autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non péripdique (iOO).Or, en la réduisant à sa plus simple expression, il restera nécessairement dans le dénominateur tous les facteurs 2 ou tous les facteurs 5 qui s*y trouvent, puisque le numérateur n'est pas divisible à la fois par 2 et par 5 (181), mais on retombera ainsi sur la fraction génératrice : donc kplus