CHAPITRE X

Problème XXIL Un tonneau contenait 128 | litres de vin; on en a tiré 109 f litres : combien vauty à moins d*iin demi-centime, le vin qui reste^ en supposant que le prix du litre soit de 0f,75î

On trouvera facilement qu'il reste dans le tonneau 1 8 {| litres. Pour en avoir le prix, on réduira 18 {| en une seule fraction, et la question sera ramenée à celle-ci : 1 litre devin coûte 0',75 : quel sera le prix de ^ de litre?

Il est clair que les ^ d'un litre coûteront les ^ de 0',75, c'est-à-dire mis^^hl^j^ml (QO^ 2*) = fii^= 14',21 (i4i et 168).

Remarquez que, pour multiplier un nombre par 25, on petU le multiplier d* abord par 100, puis prendre le qv^art du produit; et qu'au contraire^ pour diviser un nombre par 25, on peut le ' multiplier â^ abord par ji, puis diviser le produU par 100.

XXIII. 9,7 mètres de drap ont coûté 459^,35 : quel est le prix du mètre?

9«,7=97 décimètres : donc un décimètre coûte ^^ ; donc le prix d'un mètre seraiJ^fi^^^=^^-p=47',36 à moins d'un demi-centime.

XXIV. Un tapis a 1 { mètres de long sur b^ de large; on voudrait le doubler avec de la toile à f de large : conUrien en faut-il de mètres?

Je convertis d'abord chaque nombre entier et la fraction qui raccompagne en une seule fraction, puis je réduis les fractions qui expriment les largeurs de la toile et du tapis au même dé* nominaleuri et la question est ramenée à celle-ci : Un tapis a

^ mètres de long sur ^ de mètre de large : combien faudra-t-U^ pour le doy>blerj de mètres d^une-toile qm aurait f de large?. Si la toile avait ^ de mètre de large , il en faudrait éyidemraent ^mètres de long pour doubler le tapis; donc, si elle n'avait que i de mètre de large, il en faudrait 51 fois -^ mètres, etc.

R^.onse : aÇ^= 47-81.

XXY. 4",68 ^une certaine étoffe ont coûJté 56',16; quel sérail fepria?(fel3-,5î

En observant que 4",68 = 468 centimètres, et que 13»,5 = 1350 centimètres, la question revient à celle-ci :468 centimétrés d^une certaine étoffé ont coûté 56', 16; quel est te prix de 1350 centin^res de cette étoffe?

Réponse:

^^f.l|^.i8t>Q , y.2y8«^ff = ^''^<|8fig = 0',12.1350 = 162'.

XXYI. Une montre marque midi, de sorte que VaiguiUe des minutes est sur celle des heures : à quelle hev/re se fera la première rencontre des aiguilles?

n est clair que si Ton augmente ou si l'on diminue d'une même quantité les vitesses de deux mobiles^ leurs mouvements relatifs ne seront pas altérés : ainsi les mouvemeiits qui s'exécutent à k surface de la terre sont absolument les mêmes que si ce globe était immobile. Si dune on diminue les vitesses de nos deux aiguilles de celle même de l'aiguille des heures, ce qui réduira celle-ci au repos, il faudra toujours à l'aiguille des minutes le même temps pour atteindre celle des heures. Or cette dernière parcourt 5 divisions du cadran en une heure, et l'autre en parcourt 60; la question sera donc ramenée & celle-ci : Vaiguille des minutes est sur midi ; elle franchit 55 divisions en une heu/re : combien mettrort-elle de temps pour revenir au point de départ, c'est-à-dire pour parcourir 60 divisions?

Réponse: V" h' -fi* . ■

^ Si l'on suppose que les aiguilles tournent en sens contraire, il faudra toujours diminuer la vitesse de Taiguille dés heures de sa propre vitesse, afin de rendre cette aiguille immobile; mais

paw qf^. \mK^ mmiv^w»viL& ^elatiC^ n^ s^kot pas» aJitéré&. <k 9iîQl^fê«i% ^ k X\U" aucaknjk pu s», résoniMt, pâc b

et le CHANGE est à kk^ pour 10 roubles^ ^Kwn. autm^é^hçhga^e e^ik^gléfKim f iAmmrdam jmw \Wf'r à ^, {iotnam { d'Amsterdam pour 40 marcs de Hambourg^ et à 148 maatostdAEimirbQÊâêt^pom 64 roubk^. BdUril fn^endm dkecjlAmeni. wk effet s^ Péti^^omix ^- fff^wir^ dvi^ papier sur Aimterdompom técb^nr ge^ swiQfisswm^m Gomur^ dtk gopm mr Hmbmicg, eu Pétjsx^ bourg?

On voit d'abord immédiatement que, 10 roubles i^aJaxU. 4V, 3600 roubles vaudront 44'.360 = 15840' ; telle est donc la somme que notre- négociant devuait payer pour avtra: uaeflbt di^36^i:Qiubk3H

\ïmk auti'tî côté, d'apcèa h valem: du chance, l fljoria vaut 120' : 56 î = ^i^T^; 1 marc vaut Zb^\ ; 40=3? i^, et 1! ~"4|- ==» ^ i 9«si; ua rquble. vatU les ^ des ^^ de ^-^i^,

==ïUUay U U seca. dûUA plus avautiJ^^ux pour wïym. n^gpr ciâxU da pcendjre. la voift d'Àmsterdaax et (le Ha^ourg^ pour aa^uiJLljex ^ (JjettieA Péliiîr$bu>^';;,

' Qa t£OJai^ra(ajcikia^.iU ^ue La.leUre de change sw Hambourg doiAôiF^difr Wà5.u)aKcs,.el<îqll^ aucAxusierdamd^ 7336" y^.

XXVUU Qmk est k nomiyr^ dm te ^ /and 497 î.

Sconse ; 781 (l^.

XXIX^. Quel eskl^ nombre ç^i. surf/as^^ ses ^ de 420 î

Hik WQèbrfi, surpas^ $.e^ | de, ^es. Itk ^^^^^^ "^^ i ^ nombre iofiouniifeat 4?o '^ 4oac^ Qtc.

* C^Bst-à-dire que, cour faire payer TO roubles à Pétersboui^i il' faut payer 44A à Paris.; et comme' 10:]»ublbs.nav\aIèatDé«iU*iiiint qu^AO'^ QOf \cit quft 1b pQiiL, du chftD^. Qfttc. die 4fi

PnOBttMK». iMf

XXX. Quel est kmmbTê qai, itugmeMi de m |, faU MO? Réponse : 450.

XXXI. Quel est le nombre qui^ diminut éêt^^fettl^m Réponse: 180.

XXXn. Qucnré jattewrt s&stmt assodis t te premkfr a gagné 35'; le secandy le neimème du ^m toUU; le iraisièmei U3% â^€ê gain; et le quatrième^ les -^ de ce mime gain. Combien chaque joueur Or-t'il gagné f

Si Ton observe <|ue i + |-(r A=*^* <>^ vetr» ëj/à% h? gain total se compose de ses $|, et en CMiiie de 36' > ê^mo W- wèX les ^ de ce gain : donc^ etc.

Réponse : 360'.

XXXIII. Un père^en mouranty ordonne quer r«tffië éh seie/âpam» prenâra le quart du bien quHl laisse ;, le second^ lâOOO^ e$ U eimquième du reste; le troisième^ 8000', le Hn^^utièm» du feme» et k seizième des deux premiers y. plus 5C0O'; enfin^^ fM fo gm»^ tnème recevra le resUj 24000'. Quelle est la paré éê eke^qy» enfant?

Linconnue de la question est évidemment la ¥akuv é» Vy^ rrtage. Or Talné, prenant le quart du bien, ae biiâse qpiie les | ài partager entre ses jErères. Sur cette somme le seeoad prélèfe d^abord 12000' : le reste 6sC donc égal aux % da bîea âimimié» de 12000^ quantité dont le cinq.uième égale ^ de yhérilage^ moins 2400'^. La part du second fils est don^compaséede» j^ de la succession et' die 12000'— 240Û' = 9600';. la somin^f cfoié laisse aux deux autres est dona égale à- (| — ^ de Fhérilagay moins 9600''^ ou aux f du bien^ moins 9600' ; en sorte qrs^ tes deux athôs ont eu | de la succession augmentés de 9600'^ Le troisième enfant prélève 8000' sur ce que ceuiXrei onè laissé;, ainsi le rester vaut f du bien, moins 9600', moins 8000', ou moins 17000''. Il en prend le cinq.uième, c'est-à-dire ^\ de Thé* ritage, moins 3520''; il reçoit encore un seizième des deux premiers, plus 5000'', ce qui fait ^ du bien, plus 600', plu^ 5000', ou plus 5600'; la part du troisième enfant est donc égale à 8000'+'^ du bien — a^îOf + ^, du bien + 5600'= ^g^ du bien -t- 10080^ Il laissé conséquemment aa quatrième idoi

bien — 9600' — ^ <lu bien— ^ 10080*, ou ^ de Théritage diminués de 19680'. Mais le quatrième enfant a pour sa part 24000' : par conséquent,

^ de l'héritage — 10680' égalent 24000' ;

donc j^ de l'héritage égalent 24000' +19680' =43680';

^ de l'héritage égale ^^ = 480'.

L'héritage vaut donc 480' X 200 = 96000',

Le père a donc laissé 96000' à ses enfants. Effectuant maintenant les opérations indiquées dans l'énoncé, on trouve que chaque enfant devait recevoir 24000'.

XXXIV. Un ouvrier n'avait plus que 6' lorsqu'on lui paya h semaines de travail; 2 semaines après y il avait déjà dépensé les f de tout son argent; mais ayant alors reçu le prix de son travail pour ces deux semaines, il se trouva avoir 21'. Combien gagnait-il par semaine?

Deux semaines après avoir reçu le prix de son travail pour 5 semaines, cet ouvrier ayant dépensé les | de tout son argent, il ne lui en restait plus que le quart, c'est-à-dire le quart du prix de son travail pour 5 semaines, plus f = l',5, ou, ce qui revient au même, | de ce qu'il gagnait par semaine, plus l',5. Mais il reçoit alors le prix de ces deux semaines : donc les 21' qu'il possède alors se composent de l',5, plus des | et encore des I de son gain par semaine, ou des ^ de ce gain, plus l',5 : donc les ^ de ce gain valent 21'— 1',5 = 19',50, etc.

XXXV. Une femme de campagne porte des œufs dans une ville de guerre où il y avait trois corps de garde à passer. Elle vend au premier la moitié de ses œufs, plus la moitié d'un oeuf; au second, la moitié des oeufs qui lui resteni, plu^s la moitié d'un œuf; autroi^ sième, la moitié des œufs qui lui restent, plu^ la moitié d^'un œuf^ et arrive au marché avec 36 œufs. Combien a-t-elle laissé cTœufs dans chaque corps de garde t

Puisqu'elle laisse dans le troisième corps de garde la moitié des œufs qui lui restaient^ plus la moitié d'un œuf, les 36 œufs qu'elle porte au marché valent la moitié de ce nombre d'œufs,

moins la moitié d*un œuf; donc elle était entrée au troisième corps de garde avec 36^X2 = 73 œufs; donc elle y en a laissé 37. On verra de même qu'elle avait 73^X2 = 147 <Bufs en arrivant au second corps de garde, et qu'elle en avait vendu 74; enfin qu'elle était partie de chez elle avec 147 ^ X 2 == 295 œufs, et qu'elle en avait laissé 148 au premier corps de garde.

XXXVI. Une personne charitable rencontre des pauvres atia?quels elle distribue le quart de V argent qu'elle a dans sa bourse^ moins \ de franc : Dieu^ pox^ la récompenser y double ce qui lui reste. Alors elle entre dans une église, et dépose dans un tronc le tiers de ce qu'elle a dans sa bourse^ plus | de franc; Dieu triple ce qui lui reste. Elle se rend ensuite dans une prison^ oii elle distribue la moitié de ce qu'elle a, plus ^ franc; Dieu quadruple ce qui lui reste; et elle rentre chez elle avec 100'. Combien avait-elle en sortant?

Réponse : 17'.

XXXVII. Un marchand prélève tous les. am une somme dé 4000' sur les fonds quHl a dans le commerce^ et cependant chaque année sa fortune augmente du tiers de ce qui lui reste, et elle se trouve doublée au bout de trois ans. Combien avaiM au comment cernent de la première année?

Réponse : 59 200'.

XXXVin. Un banquier voudrait payer 95' en employant 10 pièces tant de 5' que de 20'. Commuent doit-il s'y prendre?

Si le banquier n'employait que des pièces de 5', il ne payerait que 50', et il redevrait ainsi 95'— 50' =45*. Or, s'il substitue une pièce de 20' à une pièce de 5', il paye 15' de plus; donc, en remplaçant 3 pièces de 5' par 3 de 20', il aura atteint le but qu'il se propose. Ainsi il devra donner 7 pièces de 5^ et 3 de-20', ce qu'il est facile de vérifier.

Remarquons que, si Ton avait proposé de payer une somme moindre que 50' avec dix pièces tant de 5' que de 20*, le problème eût été impossible.

XXXIX. Un marchand à reçu deux caisses contenant chacune 150 kilogrammes de thé; U les a payées ensemble 4800'^ et Vune lui

160 mOBLÈttES.

eaûu 60(K de plus que Vofuîre. lî veut faire un erwol de 100 MlogramtneSj qu'on lui payera 2000'. Combien doit-U prendre de êhaque espC ^é detM pour gagner 3',Î0 par kilogramme?

Béponse : 70 de Tune et 80 de l'autre.

XL. Un orfèvre a deux lingots d'or aux titres de 0,920 er 0,750 j(lflO). Ctfmbien doU-il prendre de grammes de chacun pour en composer un lingot de 850 grammes au titre de 0,840?

Réponse : 400i k 0,750 et 450« à 0,920.

XLL Un orfèvre a deux lingots (fe 1800 grammes chacun^ Tùhau titre de 0,920, et Vautre à celui de 0,750. Combien doit-il ajouter dé grammss du %^ au 1^ pour en abaisser le titre à 0,840?

Réponse t 1600 gremm«6.

XLIL Un orfèvre a un lingot de 1800 grammes au titre de QflhO, Combien doitM y ajouter if or pur pour en élever le titre à 0,840?

Ce problème peut se ramener aux précédents, en regardant J'pp pur comme étant au litre de lOOO miltiômes,

Rifionse: 675 grammes.

XLIII. Trois frères ont acheté une propriété moyennant 50 000^. Jl manqua (tu premier j pour la payer à lui seul, la moitié de r argent qu'a le second; celui-ci payerait l'acquisition si le premier lui donnait le tiers de ce qu'il a; enfin le troisième, enjoignant à ce qtiH possède le quart de la fortum du premier, pourrait payer les 50 000', Combien chaque frère a-t'^U d^argentf

Il résulta de la première condition que le double de la fortune du premier, augmenté de celle du second , forme lOû 000^ ; V[ïi^l$, d'après 1a seconde condition, la fortune du second frère jQiiUfi AU \m» de celle du premier compose 50 000'; donc yç%çh% du double de la fôrtun'e du premier sur le tiers de cette même fortune égale l\'xcès de 100 DÛO' sur 50 OOPS ou, ce qui r^YÎent au môme, les | dp eq que possède le premier forment 50000'; donc» eto. Le premier avait dODOO', le second 40000', le troisième 42 500'.

r TiWf» Un mt^rier tramillant chez un particulier pendant IS J0Urii IV^ 9 itefqiisl^ Uai^ avec lui se^ femme, a reçu 74'. Il à

^r&oailU «èfuttite «tar I» mime parUtuUer 8 oMres fouft sur ^ desquels il s'est enoorefkU aider de sa ftmme^ U Uû rnpi W. Ccm- Um Cmmrkr ^ofiun^-ii par jûwr^ ttwmbimsa femme gâ^maU' eUe misH peudtuu le mUme temps f

« En comparant les temfis pendant kanfoék rooTrkr itf sa fantne ont travaillé dans le secxuid cas, arvec les nombres qni expriment les quantités analogues dans le pivmier» on v«rra qu'en u-availiant (là— ^£=4 jours 8ùr<7^^}€s2 desquels il a eu avec lui sa femoie^ Toofrier s^mnait (74'-«^M')3B:S(k^; donc, en travaillant 6 jours> sur 4 desquels il « en avec lui sa femme, il gagnait 48'« liais en travaillant 8 joarsi, snr ft desquels il a eu avec lut sa femme^ il gagnait ftC; donc )a femme gagnait (5a'-*480 =^^ par jour, et pariant 10' en ^ jours; Je mari recevait donc, pour 8 jours de travail, ^0'^^10^«SE40^ et par oonséquenl il gagnait ff par jour.

XLV« Deux jowwn txmt aujm me9 4S5^ e$ periknt SOG'; tlf eampteru ûiars leur argenty ei il4t trùum qu$ tmn a perdu te f cfe sonargeïU, et Vnutre ia rnûétii du sien. C&mMen ûwmm-îk ehmm en entrant au jeu?

En sapppsant que nos joueurs aient fait une perla double de la Icur^ vous Irouierez qu'il ne leur testerait plus que 25^ qui exprimeraient alors le cinquième de la mise du premier, etc.

Béponsê : Le premier était entré au jeu avec i^^^ et le second avec 300^ . .

XLVI. Une personne qui a des jetons dans les deux mains dit : Si j'en fais passer un de la main gauche dans ta droite^ il y en aura deux fois plus dam ceUe-ci que dans Vautre; si au contraire fen fais passer un de la droite ^fis la gauche^ U » en aura le même nombre dans les deux mains. Combien y eti 04-41 dam ^lacune?

Il résulte de la seconde condition qu'il y avait deux jetons de plus dans la raain droite que dans la main gauche; donc, si Ton fait passer un jeton de la gauche dans la droite, il y aura dans celle-ci 4 jetons de plus que dans l'aytre. Mais la droite doit en contenir 2 jfbis plus que la gauche ; donc il y a

alors 4 jetons dans celle-ci et 8 dans celle-là; donc il y avait 5 jetons dans la main gauche et 7 dans la droite. . XLVir. Trois personnes ont mesuré sibccessivement la distance entre deux objets : la première a trouvé 536"",25, fa seconde 536",40, et la troisième 535"»,90. Cependant il importe de connaître cette distance le plus exactement possible. Comment faire? ' Si chaque personne avait Opéré exactement, la somme des résultats qu'elles auraient trouvés formerait le triple de la distance cherchée/ qui par conséquent* serait le tiers de cette somme. Or, les trois résultats trouvés étant différents, il est probable qu'aucun n'est exact, et que le véritable est compris entre le plus grand et le plus petit des trois. En- ajoutant ces trois résultats, les erreurs dans un sens détruiront en partie celles qui sont dans l'autre, en sorte que leur somme approchera plus du triple de la véritable distance que ne le ferait le triple de chacun de ces résultats en particulier; donc aussi le tiers de leur somme différera moins de la distance cherchée que ne le fait chacun de ces nombres. On aura donc, d'après cela :

Distance cherchée = ^aft"'^ » * ^^^^^ * ^^^''^^ = 536», 1 8.

Cette distance s'appelle distance moyenne, parce qu'elle tient à peu près le milieu entre les résultats trouvés.

XLVIII. Un marchand a trois sortes de vins, savoir : 48 litres à 0S55 le litre; 72 à 0',45, et 60 à 0',75. Il les mile, et on demande à combien lui revient le litre du mélange *?

48 litres à 0',55 valent. 0',55 X 48 = 26S4

Donc les 180^ du mélange valent 103',8

et par conséquent le litre du mélange revient à ^$1^ =0^,58 à moins d'un demi-centime.

* Ces sortes de questions sont connues des arithméticiens sous le nom de fègUt d^dUiage.

XLIX. Un marchand a du vin qui lui coûte 15 décimes le litre. Combien doitril y ajouter (F eau pour gagner 6 décimes par litre?

Lorsque dans une certaine quantité de vin on substitue un litre d'eau à un litre de vin, on diminue la valeur de eette quantité de vin du prix d*un litre de vin, c'est-à-dire de 15 décimes dans notre exemple; on la diminuera donc de 1 décime en remplaçant ^ litre de vin par -^ litre d'eau: le marchand diminuera conséquemment le prix d'un litre de vin de 6 décimes en substituant à -^^l litre de vin la même quantité d'eau. Le litre de mélange sera alors composé de { de vin et de \ d'eau ; donc un mélange de 6 litres sera composé de 3 litres de vin et de S d'eau : donc il faut à un litre de vin en ajouter § d'eau.

CnAPlTRE XL