S I- RACINE CARRÉE

109. On appelle carré éFun nombre le produit de ce nombre multiplié par lui-mtme; ainsi le carré de 6 esl 36.

On appelle racii^e carrée dtun nombre le nombre qui^ élevé au carréy reproduit le nombre proposé; ainsi la racine carrée de 36 est 6.

190. On appelle en général racine n""* d'un nombre le nombre quiy élevé à la n^'^ puissance^ reproduit le nombre proposé (41). Ainsi la racine cinquième de 32 est 2, parce que la cinquième puissance de 2 est 32.

Pour exprimer que Ton doit extraire une racine d'un nombre, on place ce nombre sous le signe V » dans les branches duquel on écrit Yindice de la racine à extraire, excepté pour la racine carrée, à l'égard de laquelle on supprime l'indice. Ainsi v^36 et v^32 signifient respectivement que Ton doit extraire la racine carrée de 36 et la racine cinquième de 32.

£91. La racine carrée de 100 étant 10, on voit que la racine carrée de tout nombre plus petit que 100 est moindre que 10, de sorte qu'elle est exprimée par un nombre d*un seul chiffre.

Au contraire, la racine carrée de tout nombre plus grand que 100 surpasse 10, et contient par conséquent des dizaines ef des unités.

^Nous distinguerons donc deux cas dans V extraction de la racine carrée des nombres entiers^ suivant que le nombre proposé sera plus petit ou plus grand que 100.

EXTRACTIO?! DES HACITŒS. \^h

1 02. Pour extraire la racine carrée d'un nombre plus peîil que 100, cherchez dans le tableau suivant :

do2U la seconde ligne renferme les carrés des neuf premiers nombres, quel est le plus grand carré contenu dans le nombre proposé; la racine de ce plus grand carré sera la racine demandée à moins d'une unité. Ainsi la racine carrée de 72 est 8, parce qi2e le plus grand carré contenu dans 72 est 64, qui a 8 pour racine. Celle racine est exacte k moins d'une unité : car, 72 étant compris entre 64 et 81, sa racine tombe entre 8 et 9, et ditTère par conséquent de chacun de ces nombres de moins qu'ils ne diffèrent entre eux, c'est-à-dire de mpins d'une unité.

HOS, Cette quantité dont 6 diffère de la racine carrée de 72 ne peut pas être exprimée exactement en nombre. Suppo^^ 15QI1S, en effet, que la racine carrée de 72 puisse être exprimée par 8 unité», plus une fraction. Convertissons îe nombre ainsi formé en une expression fractionnaire irréductible que nous

représenterons par r* Alors, si on élève cette quantité au carré,

a* le résultat p (110) devra être équivalente 78^ ce qui ne se

peut, puisque aeib étant supposés premiers entre eux, a* et 6* le sont aussi (03) : donc il est impossible que la racine carrée de 72 puisse être exprimée par un nombre entier ou par un nombre fractionnaire; donc elle n'a aucune ipesure commune avec l'unité : car, si elle en avait une, ce ne pourrait être que Tunilé elle-même, ou une partie aliquote de l'unité*, et alors l'expression de la racine serait ou un nombre entier ou un nombre fractionnaire j donc cette racina est irrationnelle on incommensurable. -

* C'est-à-di^ une dç^ quantités que Ton obtient en partageant l'unité çp \m nombre quelconque dç p^Ue9 égales.

156 EXTRACTION DES RAGIMES.

Le raisonnement précédent pouvant s'appliquer à tout nombre entier dont la racine carrée n*est pas un nombre entier, nous en conclurons que, qiLand la racine carrée éTun nombre entiern*est pas entière^ elle est incommensurable.

194. Occupons-nous maintenant de l'extraction de là racine carrée d'un nombre plus grand que 100.

Cette racine devra, comme nous l'avons vu (lOI), renfermer des dizaines et des unités. II convient donc d'examiner d'abord quelle doit être la composition du carré d'un nombre qui contient des dizaines et des unités.

Concevons le nombre dont il s'agit décomposé en dizaines et en unités, et multiplions-le par lui-même, ce qui se fera évidemment en multipliant chaque partie du multiplicande successivement par chacune de celles du multiplicateur. Or, en multipliant le nombre proposé par ses unités, nous trouverons évidemment

le carré des unités et le produit des dizaines par les v/nités.

Ensuite, en multipliant le nombre proposé par ses dizaines, nous obtiendrons d'abord le produit des unités par les dizaines» ou, ce qui est la même chose,

le produit des dizaines par les imités, puis le carré des dizaines.

Donc le carré ffun nombre qui contient des.dizaineset des unités se compose du carré des dizaines, du double du produit des dizaines par les unités, et du carré des unités*.