Revenons maintenant à l'extraction de la racine carrée

* On peut encore dire : Représentons les dizaines d'un nombre par a, et ses unités par &; ce nombre sera représenté par ((i+^; ^% pour avoii «on

d*im nombre plus grand que 100. Sa racine contiendra, comme nous l'avons déjà dit, des dizaines et des unités, et puisqu'un nombre doirtoujours être considéré comme lé carré de sa racine carrée, nous pourrons regarder le nombre proposé comme composé de trois parties, savoir : du carré des dizaines de sa racine, du double des dizaines multiplié par les unités, et du carré des unités de cette racine (194).

Si l'on pouvait détacher du nombre proposé le carré des dizaines de sa racine, en en extrayant la racine carrée, on obtiendrait les dizaines de cette racine. Mais le carré des dizaines de la racine, étant un nombre eïact de centaines (54), ne peut se trouver que dans les. centaines du nombre proposé, lesquelles peuvent encore contenir quelques centaines qui auraient reflué des deux autres parties du carré de la racine, plus du reste, s'il y en a un : par conséquent, si l'on extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé, on n'obtiendra pas im nombre plus petit que les dizaines de la racine. On ne pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi cette racine du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé surpasserait, au moins d'une unité, la racine totale*^ c'est-à-dire la racine du plus grand

carré, il faudra multiplier (a+&) par {a+^)f ce qui donnera lieu au calcul suivant :

Produit du multiplicande par a. . . a^-^a.b Produit du multiplicande par b. . . + o. b +5*

Carré o»+2a.b+5»

Or a* représente le carré des dizaines, a.h le produit des dizaines par les unités, et h* le carré des xinités ; donc le carré d'un nombre qui contient des dizaines et des unités se compose, etc.

* Si, par exemple, le nombre des dizaines de la racine étant 2, la racine du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé était 3 dizaines, il est évident que la racine de ce plus grand carré surpasse-

158 EXTRACTIOU DES MACIlfEâ.

carré contenu dam l& nombre tmt entier, ce qui est absurde. Donc, en extraya»! la rac'sne carrée do plus^ gtani carré conteuu daos les ceâtainea du nombre pvoposéy ontrratera e^stc-tementles dizaisieâ de la racine.. Manntenant si Ton réfrfrncbe de ce norubire le carré des. dizaines delà» racine, Pc reste ne contiendra plus que le double des di^nes^ rmitfipli^ par les unités, et le carré des unilés;. Or, si Ton powraft déttfch^r du reste la preiïrière de ces deux parties^ il est clair qo?en h divisant pai; le dou^ble; des dizaines de la racine, oti ffomettât fesr unités.' Mais le doiable piroduiides diaiakïes de- la raicine par te^ unités étant un iiombre exact de dizaines Ç^)y ne peut se trotH ver que dans* les dizaines du? reste^ lesqweiles peutenC cwitennr en outre des dizaines provenaïrt iiu carré des imftés, et dti reste*, s'il y ea a uii; doiac, si Ton divise les diarines du reste pffr le double dés dizaines de la racine, on se pourva pas trocrTer un nombre plus petit que les unités de cette racine, iimis^onceurra: le risque d'en trouver un plu» graond; (;oii wrm d'a^illeur? {t99fque le reste seui peut conteniar autant de dizaities qu^'H y ew 9 dans le double de^ celles de la racine). Pâur s'âissarer queBe chiffra des unités n'est pas troc grande 6n\ Uéerira k la droite du double des. dizaines^ et Ton multipliera te nombre dirm formé par les unités, ce- qui domiera^ le doubla dies éRzafiïes^ multiplié par les unités, plus le carré des unités. Mais, comme ces deux parties doivent être contenues dans le reste, leur somme devra pouvoir s'en retranclier. Si cela ne se peut pas^. c^est une preuve que le chiffre qu'on a trouvé est trop grantf, et alors il faudra le diminuer cPone ou de plusieurs unités. On aurait pu encore vérifier le chiffre trouvé pour les unités en élevant la racine totale au carré : car ce carré d'oit pouvoir se retrancher du nombre proposé.

190. Concluons de là que, pour extraire la racine carrée (Tun nombre pliLS grand qm 100,. ow eanrav/ra d^abord /ir rcu)ine

rait la racine demandée, ^ui, dans notre hypotlièse,. est au- plu» égsdc à 29 unité».

dm jânsi gfond «orré tonleim dans- U» oeulaiois, de. ce nombr&y, cequidcmnerekks^diaaines^de Ia racine; on retranchera le carré d^. ces dizmMS étk nov\Jbvt proposéj êt^ en divisant la dLzaine& dvk teate par te douUe des. dizaJm& da la racine^ o» obtiendra 'lee tmlie de cet/» vemnêy oik du. moins^ un nombre qui ne sera p«s plusi petite toyx vérifier si ca rmnbre n'esâ pus plus enrand^ om llècriffa à la droite dai dfyuble des. dizaines^ on rauliipïiera le nombre amsi formé par k& umtéSj^ et leproduiL devra pauv(dr se retrancher du reste.

11^7. I«i Fègle que. nous vouons d'établir pour extraire la > ra€iB€ caFi.*ée d'uA nombre exige que Toa sache extraire la raeiiaie du plusgwand carré contenu dans les centaines de ce nombre. Voyons si nous pouvons y parvenir dans tous ks cas. Supposons d'abord que le nombre proposé ne renferme pas plus de quatre chiffres : ses centaines en contiendront deux au plus;, mais alors on extraira fecilement, diaprés Va règle dû n"" 192, la racioô du plus grand carré eontenu dans ces centaines, ce qui donnera les dizaines de la racine, et il sera facile ensuite de trouver les unités.

Sii le ooinbr»^ proposée n'a pa^ plus, de six chiffres,, ses cen-^ taines n'en contiendront pas plus de quo^n^e; mais aloiw o» pourra détecaunfiry eomme nous venons de le voir,, la racine du plus grand carré contenu dans ces centaines, ce qui fera connaître tes dizaines* <te la raeine, e(» par suite* les unités.

Ce raisonnement s'étendra successivement aux nombres composés au plus de Attir, de rffcr, dfr àbuze^ etc., ebiffres : it sQcte que notre régla pourra s'appliqjier & tous les nombres possibles.

108, Gomme les différents cftiffres de la raciiie se déterminent, à l'exception du premier, par la.dimiaioit, on- senti qv» \& crainte de mettre à la racine «n chiffreiti:opgfS]ide%|iofie:àien écrire un trop petit. Gomment s'assurer alûrs que le chiffre que Ton a mis à la racine n'est pas trop petit? Supposons que la racine trouvée soîl trop faible d'Une unité : alors le: nombre

proposé devra contenir le carré de cette racine augmentée d'une unité, c'est-à-dire, comme il est facile de le voir*, le carré de la racine trouvée, plus le double de cette racine, plus une unité. Hais comme on en a soustrait le carré de la racine trouvée, le reste devra contenir encore le double de cette racine, plîis une unité ; on sera donc sûr que le chiffre mis à la racine ne sera pas trop faible lorsque le reste àorrespondant sera moindre qtte le double delà racine trouvée, plus une unité.

199. Il suit de^là que, le reste que Von obtient en extrayant la racine carrée îwfi nombre entier^ vaut au plus le double de cette racine^ et que la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces nombres, plus une unité.

* Considérons un nombre quelconque^ et ajoutons-y une unité : pour former le carré du nombre ainsi obtenu^ il faudra le multiplier successivement j>ar ses deux parties; or^ en le multipliant par 1, nous aurons

le nombre propotéf plus une unités

En le multipliant ensuite par son autre partie, c'est-à^iire par le nombre proposé, nous trouverons évidemment

le carré du nombre proposé, plus le nombre proposé.

Donc, le carré d'un nomJ)replus 1 se compose du carré de ce nombre, plus du double de ce nombre, plus 1.

On pourrait dire encore : Représentons la racine trouvée par a : la vraie racine sera donc exprimée par (a -1- 1), de sorte que, pour avoir son carré, U faudra multiplier (a+ 1) par (a + 1)> ce qui donnera lieu au calcul suivant :

Produit du multiplicande par a... .

Produit du multiplicande par 1 . . .

/ Carré....

Donc le carré de la vraie racine se compose du carré de la racine trouvée, plus du double de cette racine, plus d'une unité.

200. Appliquons les principes que nous ayons déyeloppés à la recherche de la racine carrée du nombre 421861. On disposera les calculs comme ci-dessous :

Le nombre étant plus grand que 100, sa racine contiendra des dizaines et des unités; et, pour avoir les dizaines, il faudra séparer les deux derniers chiffres à droite, et extraire la racine du plus grand carré contenu dans, les 421 8 centaines qui restent à gauche. Hais ce nombre 4218 est aussi plus grand que 100 : donc sa racine carrée contiendra des dizaines et des unités ; et, pour déterminer ces dizaines, il faudra séparer les deux derniers chiffres à droite, et extraire la racine du plus grand carré contenu dans les 42 centaines qui restent à gauche. Le plus grand carré contenu dans 42 est 36, dont la racine est 6 : ainsi la racine carrée de 4218 contient 6 dizaines, que j'écris à la place réservée pour la racine. Pour obtenir les unités de cette racine, je retranche du nombre 4218 le carré de 6 dizaines, ce qui revient à retrancher 36 centaines de 42 centaines, et à abaisser à la droite du reste la tranche 18, ce qui &it 618; je divise les 6 1 dizaines de ce nombre par 1 2 , double des 6 dizaines de la racine, et le quotient 4 exprime les unités de cette racine. Pour vérifier si ce chiffre 4 n'est pas trop grand, je l'écris à la di'oite du double des dizaines, ce qui fait 124; je multiplie ce nombre par 4, et je retranche le produit 496 de 618, ce qui donné pour reste 122. Ainsi le chiffre 4 n'est pas trop grand ; mais nous pourrions craindre qu'il ne fût trop petit, puisque nous l'avons obtenu en divisant 61 par 12, et que le véritable quotient de cette division est 5. Pour le vérifier, j'ajoute 4 à 124,

IQfi ES^TaAQTION DBS IIÀQUIK&.

q» nm à^mt» IM pow te doubla de ki vftdne troav4»,« et coiQiae te reste ISâ est moindre fue 128, et par coiMiéqoeDi que 128 -|- 1 9 j*en conclus que le chiffre 4 n*estpa&ivap petit (108). Mais d'ailleurs uous avoos vérifié qu'il n'était pas trop grand : donc il est exact. Donc 64 est la racine du plus grand carré contenu dans 4218. Ainsi la racine demandée contient 64 dizaines. II faudra, pour en trouver les unités» retrancher du nombre proposé le carré de ces 64 dizaines ; or, ce carré sera un nombre exact de centaines; donc il sufilra de le retrancher des 4218 centaines du nombre proposé, et d'abaisser à la droite du reste la tranche 61. Mais »ô»s avons précisément retranché le carré de 64 du nombre4218: car nous avons d'abord ^Wrtraii d« et «w^bre le carré de^ 6 dizajaies^^ ce qm ^ dowé pour «Q^te ^18^ Qt âe qe res(Q nous %voos 9oii^irai4 49^ qui txpi^iiPt 1q |«iddiiit du double d^» ^ di^aioQ^ piM? ks 4 umtéa» ^Im le eerré i» e^. 4 uuUés^ A»bai^ou^ dan« h la droite di^. i;eM& \%% bt^seb^ 6i» ce qui dounei^ lSâ6l, et divi$owle$. disaiMfc de m nambw ta^ 12^ double d^e^ 64 di«ai9Q^(ile k mtm^ i \n fUKHieut 9 sera le cbiffce âe$ unités^ IX e$t é^videuli ^'jji n;Q^4p(i*ti!appetit.PourvéTifH«; qu'il u'eat pa^ trop grande <l«^ ré«iic«.4ild.di?oite de ua, ce qui dounqra 12^; q^ inuUiiip iMtercteeupmbre par9;* et^ ea r^trouicbant lô produit i26ûi du 1%Ï61, oa trouvera 660 pour reste^ ce fui prouve qua te ^jCBr^ 9 n'tat pas trop graad» et qu^aiosî $49 eM U YOfiiiw^ Qftf ré«( dâ^ 4iS 1 86H moim d'une unHâ<

* 21)4 vil estifecilededirQ si cette racuip^rt errouée de plus ou de moi^ d'uae> demi-unités En effet, supposoua que. la raciœ iDOUiiétî Suit trop f^ble d'une deioi-uuiié; alors le nombre pro» ^Q^ deyi^ çout^jrô le Cc^rré de cette racine augmeutée d'imife demi'Uflité, Q'est-4-dire, comme il est fa<?ilede le voir, le carré de h raQitte trouvée ,^ plu& cette raw^e» plus -J-*. Mais comme ou

*- Sait a la racine trouvée, supposée erponée de ^ : la vraie «aeine aeia rch e^^<it^par (<»-f ^) ; et, en rjisQqnwt; QQvme ^ém ift m^ «luo*" lOiuOR

EXTRAOTlOlf DBS 1tA€tinC5. 163

a 80U8tr»it de ee noEùbre le carré dé la j^acrne trouvée, lé reste devra een tenir encore cette racine, plus ^ : donc, puisopie ce^ reste esl u» nombre entier, oifr sera sûr que la racine trouvée ne sera pas trop petite (Tune demirunUé hts^ le reite ne sttrpas^ sera pa$ cette racine; mais^ iU la surpasse^ elle sera erronée dé plus (tune demi-unité : donCy en forçant Vunité sm^ son derméf chiffre^ on Vagira encore à moins dCimé demi-unité.

Il suit de là que, le calcul de l'exemple précédent ayant donné 6^ po«r raeine et 660 pour restée là racine carrée dd' nombre 421861 est 650 à moins d*une demi-âàilè.

202. Ce n*est que dans des cas très-rares que Ton obtiendra exactement la racine carrée du nombre proposé; car, dans le premier million par exemple, il n'y a que firillé aombres^ âottt la racine carrée soit entière; et nous aron^ proové au n* t99 que, qtitttid 1« radne carrée d'un nombre entier n'éf^i pas entière^ elle est incommensurable. On n'aura donc alors la rtt^ cine demandée qu'à moins d*uiïe imité, ou à moins d'une derat'Ufiitë (201); mais si l'oii a besoin d'on plus grattd dé^ gré d'approximation, on pourra l'obtenir par la métbodé subvante.

Supposons^ pâi exemple, qu'on demande la tncme carrée de 7 à nK>iBS de ^. J'observe que ta racin» carrée d% profit de deum nombres est égale au proâait des racines carrées d€ céif deux nombres; cm*, p&ur ikmr unprodmt em carré, ^ suffit iê carrer chacun de ses facteurs*; de sorte que, pour reveirir do

* Soit, en effet, proposé de former le carré du produit 3.4.6 : il faut pour cela multiplier ce produit pat lui-même, ce <|ui revient à le multiplier successivement par chacun da ses facteurs (38;. Ce carré sera donc 3.4.6.3.4.S, ou, en intervertissant l'ordre des facteurs, 3.3.4.4.6 6; or 3.3 est le carré de 3; multiplîep ce" carré par 4 et ensuite par 4, c'est le multiplier par le carr^ de 4; enfin, multiplier 3*- 4^ par 6 et encore par 6, revient à le mtiltipfier pîir le carré de 6 : donc le carré du produit 3.4.6 est bien 3*. 4*. 6*, ce qui démontre le principe énoncé.

Remarquons que cette démonstration conirîent ati cas où: les fkcteurs dtt produit que rÔQ veut élever au carré seraient incommensurables, car le pria* cipe du B" as» sur leqiiAi ell» est fondéty ne dépend que de celui du n» at, et

carré à la racine, il suffira d'extraire la racine carrée de chaque facteur, et de multiplier ces racines entre elles. Si donc on multiplie le nombre proposé 7 par le carré du dénominateur 5 de la fraction i, et qu'on extraie la racine carrée du produit 7.5^, la racine que l'on obtiendra sera égale à la racine deman- ' jée multipliée par 5 :

donc, en divisant la racine carrée de 7.5^ par 5, on aura exac-tement celle de 7 :

Or 7.5*= 175, et la racine carrée de 175 tombe entre les deux nombres entiers consécutifs 13 et 14; donc la racine demandée est comprise entre ces deux nombres divisés par 5, c'est-à-dire entre ^ et ^; donc ellcdiffèrede chacun d'eux de moins qu'ils ne diffèrent l'un de l'autre, c'est-à-dire de moins de ^. Donc en prenant -V^ ou ^ pour la valeur de la racine carrée de 7, l'erreur que l'on commettra sera moindre que ^.

Concluons de là que, pour extraire la racine carrée d'un nombre à moins d^tme imité fractionnaire donnée^ il faut muUiptier le nombre proposé par le carré du dénorninateur de cette unité fractionnaire^ extraire la racine carrée du produit à moins dune unité j et diviser cette racine par le dénominateur de la fraction proposée*.

203. Il suit de là que, pour extraire la racine carrée d'un nombre à moins de ^, j^, y^, etc., il faut multiplier ce

il sera prouvé plus loin (238) que Von peut intervertir Pordre des facteurs d'un produit, lors même qu'ils sont incommensurables. h

* On parviendra encore à cette règle de la manière suivante : Si l'on peut trouver deux nombres entiers consécutifs tels qu'en les multipliant par ^ on obtienne deux autres jiombres entre lesquels la racine carrée de 7 se trouve comprise, chacun de ces deux derniers nombres satisfera à la [uestion^ puisque leur différence étant ^, chacun d'eux différera par consé-

EXTRACTION DES BAGINES. 165

nombre par 10', 100', 1000% etc., ce qui revient à écrire à sa droite deux, quatre, six, etc., zéros; extraire la racine carrée du résultat à moins d'une unité, et diviser cette racine par 10, 100, 1000, etc., ce qui se fait en séparant sur sa droite une, deux, trois, etc., décimales.

Donc, en général, pour obtenir la racine carrée (Tun nombre entier à moins cPv/ne unité décimale donnée^ il faut écrire à la droite de ce nombre deux fois plus de zéros que l'on ne veut avoir de dé" cimaks à la racine, extraire la racine du nombre ainsi fermé à moins d'une unités et séparer sur la droite de cette racine autant de décimales qu'on en a demandé.

204. Lorsqu'on veut extraire la racine carrée d'un nombre décimal, il faut distinguer deux cas, selon que le nombre des chiffres décimaux est pair ou impair.

l"" Sile nombre des chiffres décimaux est pair, extrayez la racine carrée du nombre proposé j abstraction faite de la virgule j et séparez sur la droite du résultat deux fois moins de décimales que n'en contient le nombre proposé.

En effet> supposons, par exemple, qu'il y ait six décimales

quent de cette racine de moins de ^. Soient donc a; et « + 1 deux nombres entiers tels que Ton ait

».i<VT et V7<(* + 1).^;

si Ton élève au carré les deux membres de chacune de ces inégalités, on trouvera (116)

-- <7 et 7 < ^ ^ ' .

et, en multipliant les deux membres de chacune de celles-ci par 5', il viendra

a;»<7.5» et 7.5» <(»+!)«;

ce'qui nous apprend que 7.5' étant plus grand que le carré de «, et plus petit que celui de (x+l), la racine carrée de ce nombre sera comprise entre x et (a; + 1)^ de sorte que x est la racine carrée de 7.5' à moins d'une unité. D'où Ton conclut que pour extraire la racine carrée d'un nombre à moins, etc.

166 EXTBAfiTiaN PB6 AA€IKE6.

ëans le pombre proposé : en faisî^nt abstrai^tion de h virgule, on aura mulliplié ee nombre par Tunité çgiyie de six zéro$; donc la racine carrée du résultat sera égale k h racine demandée, multipliée par la racine carrée d'^n million {?02), c'està-dire par mille : donc on <aura la racine demandée en divi* sant la racine trouvée par mille, ce qui se fera en séparant sur la droite de cette racine trois décimales, c*est«^à-dire deux fois moins qu'il n'y en avait d^ns le nombre proposé*

ft* Si h nombre des chiffres décimaux esi impair, vpus ajouterejf un zéro à la droite du nombre proposéj et vous retomberez a\n$% dans le cas précédent. Ce qui fait qu'on ajouta 0» zéro k Ift droite du nombre proposé, c'est que ce nombre devant être considéré comme le carré de ^a racine, doit contenir dei)]( fois plus de décimales que cette racine (i37), c'est-à-dirp un nombre pair de décimales.

Exemples : !• Quelle est la racine carrée de 42, 1861 1 Réponse ; 6,49.

2® Quelle est la racine carrée de 2,345î Réponse: 1|53.

208. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine carrée d'une fraction.

Si les deux termes de la fraction proposée sont des carrés par^ faits, il suffira, pour obtenir sa racine, d'extraire séparément les racines carrées de ces deux termes, II résulle, en effet, de la règle donnée pour multiplier deux fractions Tune par l'autre, que pour former le carré d'une fraction il faut carrer ses deux termes, et que par conséquent on reviendra du carré d'une fraction à sa racine en extra jant séparément les racines carrées de chacun de ses deux termes*. Ainsi }/^= |.

"^ Bourdon «l fait observer qiie cette démonstration ne peut s'appUqyer qn'i une -fr^iction dont les d^ux termes sont des carrés parfaits : car çUç repose sur ^ règle donnée pour multiplier deux fraptions entre elles, et le raisopDeoieQt Qui nous ^conduit à oette règle spppose que U fractiop xuuitipUçateur est çpmmensurable 'IIO)

fiXTimCTlOlf DBS RMWBS. 167

Si les deux termes éTune fraction irridiictible -r- ne sont pas des

carrés parfaits^ sa racine carrée est ùtcommensurd^U. Supposons

en effet, que cette racine puisse être commensumbJ^ et n*

a' présentons-la parla fraction irrêduclîMe^y On devra donc

a fl'* û''

avoir ^ =— . Mais la fraclionT;; est irréductible (8S) ; donc il

faut quej'on ait a=sa'' et b=b'* (iOS), ce qui est contraire à rhypolhèse.

20G. Si des deuw termes de to fraction le li^nomiiuttnir Siful

est un carré parfait^ Vapplication de la règle précédente donnera la racine demandée à moins d^une unité de l'ordre marqué par la racine carrée du dénominateur ^ car, supposons, par exemple, que l'on demande la racine carrée de ^1 • ^î l'on multiplie cette fraction par son dénominateur 25, et que Ton extraie la racine du produit 12 (97, d^»}, la racine que Ton obtiendra sera égaleà celle de |f multipliée par v/iô» c'est-à-dire par 5| donc, en divisant la racine carrée de 12 par 5, on aura exactement celle de ^. Or la racine carrée de 12 tombe entre 3 et 4 : donc la racine demandée sera comprise entre f et |. Ainsi | sera la yaleur de cette racine à moins de {.

207. Si k dénominateur de la fraction proposée n^est pas un carré parfait^ on ramènera ce cas au précédent en multipliant les devx termes de cette fraction par son dénominateur^ et alors on obtiendra la racine demandée à moins d^une unité fractionnaire de V ordre marqué par son dénominateur.

Soit proposé, par exemple, d'extraire la racine carrée de la fraction -ft : on multipliera les deux termes de cette fraction par là, ce qui donnera la fraction équivalente f^,. On extraira les racines carrées de ses deux termes, et l'on trouvera ^, valeur exacte à moiûs de -^ près.

208. Il n'est pas toujours nécessaire de multiplier les deux termes de la fraction proposée par son dénominateur, pour la transformer en une autre dont le dénominateur soit un carré

parfait. Il suffit, pour cela, de décomposer le dénominateur en ses facteurs premiers, et de multiplier les deux termes de la fraction par ceux de ces facteurs premiers dont les exposants sont impairs. On extraira ensuite la racine carrée du nouveau dénominateur, en divisant par 2 les exposants de ses facteurs premiers. ^

Exemple : Extraire la racine carrée de ^. On trouvera (88) que 360 = 2* . 3^ 5 : ainsi Ton multipliera les deux termes de la fraction ^ par 2.5, ce qui donnera sr^r La racine carrée du numérateur est 13 à moins d*une unité; celle du dénominateur est 2'.3.5=60 : donc v^=iî à moins de ^.

S09. En rendant le numérateur un carré parfait, on n'aurait également qu'une racine à extraire ; mais on ne saurait pas immédiatement sur quel degré d'exactitude on pourrait compter. Si l'on demandait, par exemple, l|i racine carrée de ^, en rendant le numérateur un carré parfait, on trouverait que cette racine tombe entre | et |; qu'ainsi Terreur commise en prenant I pour sa valeur est moindre que la différeiice de ces deux fractions, c'est^-dire moindre que ijSj.

Remarquons que,dans le cas même où le numérateur de la fraction serait un carré parfait, on pourrait commettre une erreur de plus d'une unité, si l'on se bornait à extraire la racine carrée de ses deux termes. Supposons, en effet, que Ton demande la racine de ^^ : on trouve ainsi Ap= 15,/)u ^ = 10. Mais ^ = 128 ^ est compris entre le carré de 1 1 et celui de 12; donc, en prenant l'un des nombres 10 ou 15 pour la racine carrée de ^, on commettra une erreur de plus d'une unité.

210. Si Von voulait extraire la racine carrée cTime fraction à moins (Tune unité fractionnaire donnée^ on verrait, en raison* nant comme au n* 202, qn'U faudrait multiplier cette fraction par le carré du dénominateur de funité fractionnaire donnée, extraire la racine carrée du produit à m>oins d^une unité, et pour cela extraire à moins d'une unité la racine carrée du plus grand nombre entier contenu dans ce produit; enfin diviser ceUt racine par le dénominateur de Vmité fractionnable donnée.

EXTRACTION DES RACIlfES« 169

Eûcemple : Calculer la racine carrée de-ff à nwins de ^. Je multiplie -ft par le carré de 20, c'est-à-dire par' 400, ce qui donne ^^; j'extrais les entiers de ce produit, et je trouve 142, dont la racine est 11 à moins d'une unité près : c'est donc là aussi la racine carrée de ^^ à moins d'une unité, car le carré de 12 surpasse 142 an moins d'une unité, et est par conséqiient plus grand que ^^. Donc j^ est, à moins de ^, la ra* cine carrée de ■^.

Si Ton demandait la racine d'un nombre quelconque à moins d'une fraction donnée, on commencerait par rendre le numérateur de cette fraction égal à l'unité en divisant ses deux termes par ce numérateur, et on rentrerait ainsi dans le cas précédent.

Veut-on, par exemple, la racine carrée de 20 {^ à moins de f î on observera que |=|-; on multipliera donc 20 1^ par le carré

de I, ce qui donnera ^^ = 58 ^ ; on extraira la racine carrée du plus grand carré contenu dans 58,. et en la divisant par | on trouvera ^, qui est le nombre demandé.

Sii. Il suit de ce qui précède que, pour trouver la racine carrée c^une fraction ordinaire à moins dune unité décimale don* née, on convertira cette fraction en décimales , en ayant soin de continuer le calcul relatif à cette conversion jusqu^à ce qu'on ait deux fois plus de décimales qu'on n'en dernandeàla racine; et la racine carrée de la fraction résultante sera la racim demandée. Ainsi, si Ton veut avoir la racine carrée de^ à moins d'un centième, on convertira cette fraction ^ en décimales, en poussant le calcul jusqu'au chiffre des dix-millièipes, ce qui donnera 0,3571 ; et, en extrayant la racine carrée de cette fraction, on trouvera 0,60 pour la valeur de la racine demandée à moins d'un demi-centième.

*212. Nous avons vu (01) qu'un nombre a autant de diviseurs qu'il y a d'unités dans le produit des exposants de ses facteurs premiers, augmentés chacun d'une unité. Il suit de là 1* que tout nombre qui est un carré parfait a un nombre impair de diviseurs; car les exposants de ses facteurs premiers étant

170 GI^TRAGTIOlf DES R^CITfES.

tous pairs (première notedu n"" 802), si on lés àuj^menie d'une unité, ils deviendront tous impairs, et par conséquent leur produit sera impair (note du n* 66); 2* que Umt nombre qui n'eu pas un carré parfait a un nombre pair de diviseurs; car l*un an moins des ex posants de ses facteurs premiers étant impair, si on l'augmente d'une unité, il deviendra pair, et par suite le pro« duit de ces exposants augmentés chacun d*une unité sera pair.

*213. Nous avons donné (73) le moyen de reconnaître sî un nombre est premier ; mais il n'est pas nécessaire pour cela d'essayer tous les diviseurs moindres que sa moitié; car on est certain qu'un nombre est premier lorsque, n' étant pas un carré parfait, il n'est divisible par aucun dçs nombres moindres que sa racine carrée. Si ce nombre, en effet, pouvaitétredivisibleparunnombre plus grand que sa racine carrée, il le serait nécessairement par le quotient de cette division, c'est-à-dire par un nombre plus petit que cette racine, ce qui est contraire k notre hypothèse.

Il suit de là que, dans Tapplication de la méthode d'^ratosthène à la construction d'une table des nombres premiers (74), il suffit de pointer les nombres à partir seulement du carré du nombre premier dont onveut supprimer les multiples ; car tous les nombres qui restent dans la table avant ce carré sont nécessairement premiers. Ainsi, quand, dans la suite des nombres impairs, on a supprimé tous les multiples de 3, les nombres qui précèdent 5*= 85 sont premiers, et par conséquent te plus simple multiple de 5 que renferme cette suite est 25.

214. Lorsqu'on sait extraire la racine carrée d'un nombre, on peut exfraire toute racine dont Tindice est une puissance parfaite de 2. En effet, si l'on extrait la racine carrée d'un nombre, puis la racine carrée de cette racine carrée, on obtiendra la racine quatrième de ce nombre ; car la seconde racine carrée est deux fois facteur dans la première; mais cette première est deux fois facteur dans le nombre proposé : donc la seconde racine est deux fois deux fois, c*est-à-dire quatre fois facteur dans ce nombre ; donc elle en est la racine quatrièine.

Si de h racine quatrième d'un nombre on extrait la racine

carrée, on aura ia racine huitième de ee nombre; car la racine carrée de la racine quatrième est deux fois facteur dans cette racine quatrième ; mais celle-ci est quatre fois facteur dans le nombre proposé : donc la racine carrée de la racine qualrième d'un nombre est quatre fois deux fois, c'est-à-dire huit fois faeteur d;)ns ce nombre ; donc elle en est la racine huitième.

En continuant de raisonner ainsi, on verra qu'en extrayant I^ racine carrée de la racine huitième on aura la racine aeizrèmo ; qu'en extrayant la racine carrée de la racine sei^ème» on aura la racine trente-deuxième, et ainsi de suite/

Concluons de là que si l'on extrait d'un nombre

2 racines carrées successives, ou a la racine 4*, c.-à-d. une racipe du degré 2*

etc etc etc.

Ainsi, lorsque Vindice de la racine à extraire sera une puissance parfaite de 2, il suffira, pour r obtenir ^ d'extraire du nombre proposé un nombre de racines carrées successives marqué par V exposant que % a dan^ l'indice de cette racine»