S IL RACINE CUBIQUE

215. On appelk cube d^ûn nombre le produit de trois facteurs égaux à ce nombre, ou, ce qui revient au même, le produit de ce nombre multiplié par son carré. Ainsi le cube de 6 est 6,6.6 = 216.

07% appelle racine cubique d'un nombre 1$ nombre qui, élevé au çubôj reproduit le nombre proposé. Ainsi la racine cubique de 916 est 6.

Pour indiquer que Ton doit extraire la racine cubique d'un nombre, on écrit ce nombre (100) sous le signe y/ ^ entre les branches duquel on place le chiffre 3. Ainsi y/T^S signifie que l'on doit extraire la racine cubique de 126.

216. La racine cubique de 1000 étant 10, on voit que la racine cubique de tout noiabre plus petit qve 1000 e^t moindre

que 10» et se trouve par conséquent exprimée par un seul chiffre; qu*au contraire, la racine cubique de tout nombre plus grand que 1000 sera plus grande que 10,. et renfermera par conséquent des dizaines et des unités. / Noxis distinguerons donc deux cas dans F extraction de la racine cubique des nombres entiersy selon que le nombre proposé sera moindre ou plus grand que 1 000.

217. Pour extraire la racine cubique d'un nombre plus petit que 1000, on formera un tableau contenant sur une première ligne horizontale les neufs premiers nombres^ et au-dessous leurs cubes respectifs :

Cela fait y on cherchera dans ce tableau le plus grand cube contenu dans le nombre proposé^ et sa racine cubique sera la racine demandée ^ à moins d'une unité.

Si Ton voulait, par exemple, la racine cubique de 400, on dirait : Le plus grand cube contenu dans 400 est 343, dont la racine cubique est 7 : ainsi 7 est la racine cubique de 400, k moins d'une unité (192).

En raisonnant comme on l'a fait au n» 195, on verra que, quand la racine cubique (Fun nombre entier n'est pas eraièrcj elle n*est pas non plus fractionnaire, de sorte que, ne pouvant pas être exprimée exactement en nombre, elle est incommensurable,

218. Voyons maintenant comment on pourra obtenir la racine cubique d'un nombre plus grand que 1000. Gomme elle doit renfermer des dizaines et des unités, nous allons auparavant étudier la composition du cube d'un pareil nombre. Représentons par a les dizaines de ce nombre et par b ses unités : ce nombre sera représenté par a +6. Pour former son cube, nous rélèverons d'abord au carré, ce qui donnera (note dun** 194) :

et il restera à multiplier ce dernier nombre par a+ft.

Pour y parvenir, nous multiplierons ctiaque partie du multiplicande successivement par chaque partie du multiplicateur; et, eu observant que 2a.b.a peut s'écrire 2a.a.&=2a«.&, que de même 2a.b.b=2a,b^ (58), nous aurons le calcul suivant :

Produit du multiplicande par a. . . a^+2a*.6+ a.6« Produit du multiplicande par ft. . . a*.6-|- 2a.6« -f 6*

En comparant cette expression à celle (a-|-&) du nombre proposé, on voit que fe cube d'un nornbre qui renferme des dizaines et des unités se compose de quatre parties^ savoir : du cube des dizaines j du triple carré des dizaines multiplié par les unités, du triple des dizaines multiplié par le carré des unités , et du cubé des imités,

219. Revenons maintenant à l'extraction de la racine cubique d'un nombre plus grand que 1000. Saracine contiendra, comme nous l'avons vu, des dizaines et des unités; de sorte qu'on pourra considérer le nombre proposé comme formé de quatre parties, savoir : du cube des dizaines de sa racine, du triple carré de ses dizaines par ses unités, du triple de ses dizaines par le carré de ses unités, et du cube de ses unités.

Cela posé, si nous pouvions détacher du nombre proposé le cube des dizaines de la racine, en en extrayant la racine cubique, nous obtiendrions les dizaines de la racine demandée. Mais le cube de ces dizaines étant un nombre exact de mille (54), ne peut se trouver que dans les mille du nombre proposé, lesquels peuvent contenir, en outre, dés mille qui auraient reflué des trois autres parties du cube de la racine, plus du reste, s'il y . en a un. Par conséquent, si l'on extrait la racine du plus grand cube contenu dans les mille du nombre proposé, on n'obtiendra pas un nombre plus petit que les dizaines de la racine. On ne pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi celte

174 KXTRiU:TI&1« DBS RibCIlVli.

racine du plus grand eube contenu dans tes mille du nombre proposé surpasserait au moins d'une unité Ut racine totah (note du n« 196), c'es^-à-dire la racine du plm grand cube cmtenu dan& 'le nombre tout entier, ce qui est évidemnfienl absfkrdé : donc, en extrayant la racine du plus grand cube contenia dans les millci du nombre proposé, on trouvera exactement les dizaines de la racine demandée.

Si maintenani on retranche du nombre proposé le cube des dizaines de la racine, le tcsXe ne contiendra plus que le triple carré des dizaines de la racine par Icsunîtés, le Irîple des dizaines par le carré des unités, et le cube désunîtes. Mais la première de ces deux parties, étant un nombre exact de centaines,, ne peut se trouver que dans les centaines du reste, lesquelles peuvent contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué des deux autres parties du cube et du reste, s'il y en a un : donCy si Ton divise les centaines du reste par le triple carré des dizaines de la racine, on ne pourra pas trouver un nombre plus petit que les unités de cette racine ; mais on courra le risque d'en trouver un plus grand [on verra d'ailleurs (M3) çiie le reste seul peut contenir autant de centaines qu'il y o» a daalsle triple carré des dizaines de la racine], . Pour vériQer si le chiffre trouvé n*esl pas pins grand que celui des unités» on n'aura qu ^ élever la racine totale aucabe, et ce cube devra pouvoir se retrancher du nombre proposé.

On pourra s'assurer, et môme plus simplen^ent, que le chiffre mis à la racine n'est pas trop grand, de la manière suivante : à la droite du triple des dizaines, écrivez le chiffre des unités; multipliez le nombre ainsi formé par les unités , ee qui don^ nera le triple des dizaines par les unités^ plus le carré de» unités ; ajoutez ce produit au triple carré des divines, ce qui vous donnera le triple carré des dizaines» le triple produit des dizaines par les unités, et le carré des unités; multipliez cette somme par les uniiés, et vous aurez le triple carré desdiiaines par les unités, le triple des dizaines par le carré de&umtés, et le cube des unités. Comme ces trois parties se trouvent dans le re^tei leur somnoe doit pouvoir s'ea veArajoebec ; donc^ » bi

EXTRACTION DC^ EACINES. 175

soustraction n'est pas possible, on sera certain que le chiffre trouvé pour les unités de la racine est trop grand, et par coiih séq^uent on devra le diminuer d'une ou de plusieurs unités.

220. Ainsi, pour êss^tnre la racine cubique éftir» nombre plm grand que 1000, ex^ayêz la racine du plus grand cube contenu dans le^ mille de ce nombre^ ce qui voue' donnera les disaines de la racine demandée; retran^hesi le cube de ces dizaines du nombre proposé y et divis$:i ks centaines du reste par le triple carri des dizaines trouvées ; nous obtiendrez oiMi un mm^bre qui ne sera pas plus petit que les unités de la racine. Pour vérifier si ce nombre n'est pas plus grand, vous pourrez élever la racine totale au cube, et ce cube devra pouvoir se retrancher du nombre proposé. Mais il sera plus simple d'écrire le chiffre des unités à la droite du trifile des dizaines^ de multiplier le nombre ainsi formé par les unités, d'ajouter le produit au triple carré des dizaines et de muX' tiplier la somme par les unités: le produit devra pouvoir se retrancher du reste.

221. On verra, comme au m 107, que la règle que nous vcm)R& d^éBoncer pourra B'appliquer successivement à #es mmibres qui ne contiennent pas plus de 6, 9, 12, etc., dii£Q?es, ^ que par conséquent elle es! générale.

222. Gomme I9 chiffre des unités s^obtient pamnQ division, QA sent que la crainte d'écrire A la racine un chiffre trop grand e^^pose k en mettre un trop faible. Gomment danc sk'assurer que le chiffre qu'on aura écrit pour les unitési n'eatpas irop petit?

Représentons la racine trouvée par a : ai elle est trop faibla d'une m>ité, la véritable valeur de. la racine s^era a^-^l ; de sorte que le nombre dont on e:&iraU cette racine doit contenir le cube de a+1, c'est-à-dire a'4^3a*4-3«+l* Mais on en a retranché le cube de la racine trouvée^ c'est^i-dire of : donc le reste doit encore conterûr 3a^+8a4'l>. c'est-à-dire le triple carré de la racine trouvée, plus le triple de cette racine, plus 1.

On sera donc certain que le chiffre qu'on aura écrit à la ra^ cine ne. sfirck pas trop faibèe qua/f^ le reste correspondant sera

moindre qm le triple carré de la racine trouviez plus trois fois cette racinCy plus une unité.

225. Il suit de là que le reste qu*on obtient en extrayant la racine cubique éCwn nombre entier vaux au plus le triple carré de cette racine^ plus trois fois cette racine^ et que la différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale au triple carré du plus petit j plu^ k triple de ce plu^ petit j plus une unité.

224. Appliquons la méthode que nous venons de développer à la recherche de la racine cubique du nombre 50 651 889. On disposera les calculs comme ci-dessous :

Le nombre proposé étant plus grand que 1000» sa racine cubique contiendra des dizaines et des unités ; et/ pour avoir les dizaines de cette racine, il faudra extraire la racine cubique du plus grand cube contenu dans les 50651 mille de ce nombre. Mais 50651 étant plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra des dizaines et des unités : de sorte que, pour déterminer ces dizaines, il faudra extraire la racine du plus grand cube contenu dans 50 înille. Le plus grand cube contenu dans 50 est 27 , dont la racine est 3 : ainsi la racine cubique de 50651 contient 3 dizaines, que j'écris à la place réservée pour la racine, à la droite du nombre proposé. Pour obtenir les unités de cette racine, je retranche du nombre 50651 le cube de 3 dizaines, ce qui revient à retrancher 27 mille de 50 mille, et à abaisser à la droite du reste la tranche 651, ce qui fait 23651. Je divise les 236 centaines de ce nombre par 27 centaines, triple carré des 3 dizaines de la racine, et le quotient 6 exprime les unités de cette racine. Pour vérifier si ce chiffre

n'est pas trop grand, je récris & la droite du triple des dizaines, ce qui donne 96; je multiplie ce nombre par 6, et j'ajoute le produit 576 à 27 centaines, tqple carré des dizaines de la racine ; je multiplie enfin la somme 3276 par 6, et je retranche le produit 19656 de 23651, ce qui donne pour reste 3995. Ainsi le chiffre 6 n'est pas trop grand; mais nous pourrions craindre qu'il ne fût trop petit, puisque nous l'avons obtenu en divisant 236 par 27, et que le quotient de cette division est réellement 8. Pour lever tous les doutes à cet égard, nous allons examiner si le reste 3995 est moindre que le triple carré de la racine trouvée 36, plus le triple de cette racine, plus une unité (222). Formons donc le triple carré de 36.

On 576 se compose du triple produit

des dizaines de 36 par ses unités, plus du carré de ses unités;

d'un autre côté 3276 se compose du triple carré des

dizaines de 36, du triple pro-* duit de ses dizaines par ses unités, et du carré de ses unités; si à ces deux nombres •

nous ajoutons. • 36, carré des unités de 86, la

somme 3888 se composera du triple carré

des dizaines de 36, de six fois le produit de ses dizaines par ses unités, et du triple carré de ses unités, c'est-à-dire du triple carré de 36 (194). Si à cette somme nous ajoutons le triple de 36 et encore une unité, le résultat 3997 surpassera le reste 3995 : donc le chiffre 6 n'est pas trop faible ; mais d'ailleurs nous avons reconnu qu'il n'est pas trop grand; donc il est exact; donc 36 est la racine du plus grand cube contenu dans 5065 1 . Ainsi la racine demandée contient 36 dizaines. D faudra, pour en trouver les unités, retrancher du nombre proposé le cube de ces 36 dizaines. Or ce cube est un nombre exact de mille • donc iLsuffira de le retrancher des 50651 mille du nombre proposé, et d'abaisser à la droite du reste la tranche 889. Mais nous avons précisément retranché le cube de 36 de

178 EXTRACTION D£S KAGmES*

50651 ; car nous avons d'abord sousti^it de ce nombre le cube de 3 dizaines^ et qui a doiiaé pour reste 23651 ; et de ce reste nous avons, retranché 19656, c'est-ànàirte )e triple carré des 3 dizaines par ks 6 unités^ plus le triple produit de ces dizaines par le carré de ces unités, plus le cultô de ces unités. Abaissons donc la tranebe sad à la droite du reste 3995, ce t}tii donnera 3995889 1. et divisons les centaines de ce nombre par 3888, triple carré des trente-sîx dieaines de la racine. Le quotient 9 sera le chiffre des unités. Il est évident qu'il n*est pas trop petit. Pour vérifier s'il n'est pas trop grand,^ on l'écrira à la droite du triple des 36 dizaines; on multipliera le nombre ainsi formé 1089 par ce nombre 9 ; on ajoutera le produit 9801 à 3888 centaines; on . multipliera la somme 398601 par 9, et, en retranchant le proàmt 3&87469 de 9995889^ on tro«rvera pour reste 408480, ce qui proiive %ue le chiffre 9 n'est pas trop grand, et qu'ainsi 369 e&i la raeîue eubiqtie de 50651889, à moins d'une unité.

MS. Ce n*est que dans des cas très-rares que l'on ob endra exactement la racine cubique du nombre proposé : car dans le premier million, par temple, il n'y a que cent cubes parfaits. Ators oli trouvera la racine demandée à moins d'une unité; mais si l'on a besoin d'un plus grand degré d'approximation, on pourra l*obtenîr par la méthode suivante :

Suppoâotfê^ p$ar exem^i^, qu'on demande la racine cubique

de 7 &. moins die ^* J'observe que si Von mutUplie un nombre

par im €Mtr&^ kn ra$ine eviMqne àe kvr prodmù sera égale au

produit ék kyira vaeimA cubiques : car, pour élever un produit

au. cube^ il suffià d'y élever chacun de ses facteurs (la déinonstra-

tioià est kl mfiiufi qifte «elle ésmoèQ dans )a pretnière note du

po. jiod) ; de sortir qiue jimir eaabraire la racine evtbique dJ'vm

l proàâèiU il suffii é^ extraire la racine cubique de chaque facteur y

'' et de fmdti^li^ eu racmes entre eUes. Donc, si l'on irmlti|)lie le

j nombre 7 par le eube de 5 et qu'on extraie kn racine cubique

I àxk produk 7é 5^ la racine qu'on obtiendra seraégale à la racine

demandée msUpliée par 5 :

«XrHAGtlOlf Dis RAdfllË^. 179

donc^ en diviMnt la rftcim cttbiqiié de 7. ^ paf &, où aiira e^acienwnt celte de 7 :

or 7. 5» =875, et la racine cubique de 875 tombe entre les ^euxnombreâ entière conséctltîfs 9 et 10; donc la racine demandée toinbe eïitfé ces deut nombres divisés par 6, c'est-àdire entre f et -^ ; donc elle diffère de chacun d'eux de moins qu'ils ne diffèrent entre eux, c'est-à-dire de moins de.f; dMc, en prenant | pour la racine demandée, on aura celte rarîne à moins de |.

Concluons de là que, pour extraire la racim enbique fv/n nombre à moins d'une unité fractionnaire donnée^ U faut mul^ tiplier ce nombre par le cube du dénominateur de cette unité fractionnaircy extrctite lé racine cubique dti produit à moins d'une unitéy et diviser cette racine par le dénominateur de la ftatii&àpfoposie*.

2â6. Il siiit de là que, pour extraire la racim cubique d'un nombre entier à mmns d'une mité décimale donnée^ il faut écrire à sa érmte trois fois plue de £étâ$ qtfon ne téui œùoit de décimales à kl racincy eàtrmre la recifie ôiibique du rê&Ullat ft mtmU (tiitié unité, et sépara sur la dfùitê de ckié tacine ûuiafyî té ditimùks qu'on en a demandé (S()3) .

227. Lorsqu'on veut extraire k racine cubique d'un nombre décimal, on distingue deux cas, selon que le nombre des décimales est ou n'est pas un multiple de 3.

1® Si le nombre des chiffres décimaux est wa multiple de 3, eé^t^âyez la radfte cubiquey absttaction faite de ta titgute ; puis sépares^ sixt la droite de cette raetne trois fois moine de décimales qu'il n'y en a dans le norfibre proposé, te raisonnement eist le mênrré qu'ait n» «©4, l*.

* On parviendra encpre à cette règle en remplaçant, dans la démonstration qui fait le sujet de la seconde note du n" $Sù^y les mots carré et racine carrée par ceitii^ : d^H§e ^fûHfè^ cfÊkiqm.

2* Si le nombre des chiffres décimaux rCest pas wrt multiple de 3, écrivez à la droite du nombre proposé un ou deux zéroSy selon qu'il sera nécessaire^ pour rendre le nombre des décimales divisible par 3, et vous retomberez ainsi swr le cas précédent (204, 2<>).

Exemples : 1*» Quelle est la racine cubique de 50,651889? Réponse : 3,69, — 2* Quelle est la racine cubique de 2,6518? Réponse : 1,38.

228. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine cubique d'une fraction.

Si les deux termes sont des cubes parfaits, il suffira^ pour avoir la racine cubique, d'extraire séparément celle de ceï deua termes. Ainsi : .

On démontrera, comme au no 205, que si les deux termes d*wae fraction irréductible ne sont pas des cubes parfaits, sa racine cubique est incomm^nsu/rable.

229. Si des deux termes d'um fraction le dénominateur seul est un cube parfait, Inapplication de la règle précédente donnera la racine demandée à moins d'une unité de tordre marqué par la racine ^cubique du dénominateur. Car, si Ton demande, par exemple, la racine cubique de ^, on devra extraire la racine cubique de 55 (206), laquelle tombe entre 3 et 4, et celle de 343, qui est 7 ; de sorte que la racine demandée tombera entre f et ^ : donc f est la valeur de cette racine à mdins de 4*

250. Si le dénominateur de la fraction proposée n'est pas un cube parfait, on ramènera ce cas au précèdent en multipliant les deux termes de cette fraction par le carré de son dénominateur, et alors on obtiendra la racine demandée à moins d'une unité fractionnaire de Vordre marqué par son dénominateur.

Soit proposé, par exemple, d'extraire la racine cubique de la fraction |f|. On multipliera les deux termes de cette fraction par le carré de 528, qui est 278784, ce qui donnera ^^^^^\ on

extraira les racines cubiques des deux termes de cette fraction ; et comme celle du numérateur tombe entre 403 et 404, on en conclura que ^ est la yaleur de la racine à moins

de^/

* 251. Il n*est pas toujours, nécessaire de multiplier les deux termes de la fraction proposée par le carré de son dénominateur pour la transformer en une autre dont le dénominateur soit un cube parfait. On observe que, lorsqu'un nombre est un cube exact, les exposants de ses facteurs premiers sont des multiples de 3; en conséquence, on n'aura qu'à décomposer le dénominateur en ses facteurs premiers et multiplier les deuxtermes de la fraction par ceux de ces facteurs premiers dont les exposants ne sont pas divisibles par 3, et autant de fois par ces facteurs qu'il le faudra pour qu'ils aient dans le noureau dénominateur des exposants qui soient des multiples de 3. On extraira ensuite la racine cubique de ce nouveau dénominateur en divisant par 3 les exposants de ses facteurs premiers.

Exemple: Extraire la racine cubique de ï^. On trouve (88) que 4320 = 2'.3*.5 : ainsi on multipliera les deux termes de la fraction ^^ par 2.5*, ce qui donnera 5^||?p; la racine cubique du numérateur est 9 à moins d'une unité; celle du dénominateur est 2*.3.5 =60 : donc ^jUh^^Â = iot ^ moins

252. Pour extraire la racine cubique dfvm fraction à moins (Pime unité fractionnaire donnée^ U faudra multiplier cette fraction par le cube du dénominateur de cette unité fractionnaire, extraire à moins d'u/ne unité la racine cubique du plv^ grand nombre entier contenu dans le produit^ et diviser cette racine par le dénominateur de Funité fractionnaire donnée.

Exemple : Calculer la racine cubique de 5 -^y à moins de ^. Je multiplie 5 ^ par le cube de 20, c'est-à-dire par 8000, ce qui donne 43076 |§; la racine du plus grand cube contenu dans 43076 est 35 : donc f^ = | est la racine cubique de 5^ à moins de ^(210).

19â ^XTRAGTIâV m^ RACINES.

81(5, Il suit d# c^ qpi précède que, pour troumr la r^iem cubiqus d^ur\e frç^tion ordinaire à ffioins (tune unité décimale donnée, ori çpnviertirn çeit^ frçtctiPn en décimales^ m ayant soin de continuer le calcul relatif à cette conversion jusqu'à ce qu'on ait trois fois ^lus de décimales que Von n'en demande à la radnêf fit la nmnâ cubique de la firaetion résultante sera la racine demandé».

Ainsi, si i^on leui aVoir la moine eubique de |f| à moins àa 4^^ on réduira celte fraction en décimales en «'arrêtant au chiffi^e des millièmes, ce qui donnera 0,445; et, en extrayant la raoiiie cubique de cette fraction, on trouvera 0,7 pour valeur da la racine demandée à moins de ^.

254. ^n raisonnant comme au n* 214, on verra que lorsque IHndiçe d'ime racine à extraire sera une puissance parfaite dp 3, il suffira, pour obtenir cette racine, d'extraire du nombre proposé un nornbre de racines cubiques successives marqué par l'exposant que 3 q dq^s l'indice de cette ra^ne.

83S. I^Qus sotpmes maintenant en état d*Oxtraire 4*un i^opfibre tpqte racine dont l'indice n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 3, et même d'extraire cette racine avec tel degré d'approximation que l'on voudra. Supposons, en effet, pour fixer les id^es, que J'ou demande d'extraire d'un nombre la racine du degré 2*. 3*= 72. Si nous extrayons d'abord de ce nombre la racine du degré 2* = 8 (214), et que de cette racine nous extrayions la racine du degré 3':= 9 (234), nous obtiendrons la racine 72» du nombre proposé : car la racine 9« de la racine 9* entrera 9 fois comme facteur dans cette racine 8*; mais celle-ci est 8 fois facteur dans le nombre proposé: doi^c la racine 9« de la racine 8* est 9 fois 8 fois ou 72 fois facteur dans ce nombre; donc elle en est bien la racine 72*.

p^mqvS^'ti'On maintenant la racine sixièm^e, de 7 à mains d'un^^i^i^^ on y^rra, en raisonnant cpmme an i^"* S^^ que pour ro^tçfl^r» U. (0/0 multipl^r ce nflw^rapa^ IQ*, «çirairô (a raçir;f^, ^i^nij^ du, produit 70.QOQ00 à moi^ Sym \mitéy ^ diviser ensuite cette racine par 10. Extrayons dpnc \^ rac^n^

sixièiDe de 7000000, et pour cela extrayons d'abord la racine carrée de ce nombre. Nous trouverons 2645 pour résultat. Extrayons actuellement la racine cubique de 2645. Cette racine est 13, et je dis qu0 13 est la racine si^iième de 7000000 à moins d'une unité. En effet, il est d'abord ^vident que le carré du cube de 13, c'est-à-dire la sii^ième puissance di^ 13, est moindre que 7000000. D'un autre côté, le cube de 14 surpasse 2645 au moins d'une unité, et compoe le carré de 2646 est plus grand que 7000000, il s'ensuit qi^e le cs^rré du cube de 14, c'est-à-dire la sixième puissance de H. surpasse aussi 7000000 : donc la racine sixième de ce nombre e$t comprise entre 13 6f 14, et par conséquent la racine de 7 totnbe entre 1,3 et 1,4; donc 1,3 est la racine sixième de 7 à moins d'un dixième,

* S30. Nous avons démontré aux n<" 57 et 118 que l'on pouvait intervertir l'ordre des facteurs d'un produit sans altérer sa valeur, lorsque ces facteurs étaient incommensurables; il convient actuellement d'examiner si ce principe est edcore vrai, quand les facteurs que l'on considère sont incommensurables ; mais il faut auparavant établir un principe qui est d'une grande importance, et d'abord définir ce qu'on entend par limite d'une quantité variable.

On appelle umite d'une qiMntUé vahiablb une quanHté fixe dont elle s'approche indéfiniment^ c'est-à-dire de manière que leur différence puisse devenir moindre que toute grandeur donnée, sans cependant se réduire jam^iis rigoureusement à zéro. Ainsi nous avons vu au n? 164 que la fraction décimale 0,99990.... différera de l'unité aussi peu que Ton voudra, si on la compose d'un •nombre suffisant de chiffres 9, mais qu'elle ne sera jamais rigoureusement égale à 1 tant que le nombre de ces chiffres sera limité.

* 257. Il suit immédiatement de cette définition que si deux quantités variables restent constamment égales entre elles dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent j leurs limites seront

égales.

Soient, en effet» a et 6 deux grandeurs variables, et A et B les limites vers lesquelles elles tendent respectivement : on pourra assigner à a et par conséquent à b, qu'on suppose lui être constamment égale, une valeur qui diffère de B d'aussi peu qu'on voudra; donc A est aussi limite de b\ donc A égale B, puisqu'il est évident qu'une même quantité ne peut pas tendre en même temps vers deux timites inégales.

* 258. Nous pouvons maintenant démontrer que la valeur (f im produit de facteurs incommensurables ne change pas si Von intervertit tordre de ces facteurs. Je fais d'abord observer que l'on peut toujours trouver une quantité commensurable qui diffère d'aussi peu que l'on veut d'une grandeur incommensurable donnée ; en second lieu, que la définition du n"" 25 n'ayant aucun sens sî le multiplicateur est incommensurable, on doit regarder un produit de facteurs incommensurables comme la limite vers laquelle tendent les pi^oduits que Von obtient, lorsqu'on remplace les facteurs irrationnels par des facteurs rationnels qui en approchent indéfiniment. Or, ces produits successifs de facteurs commensurables ne changent pas de valeur lorsqu'on intervertit l'ordre de leurs facteurs : donc il en est de même du produit des facteurs incommensurables proposés, puisque les limites de deux quantités égales sont égales (257) ; ainsi, a et 5 désignant deux nombres commensurables variables qui s'approchent indéfiniment de deux quantités incommensurables A et B, on aura constamment a.b=.b.a\ donc les limites A.B et B.A de ces deux produits sont égales (257); donc A.B=B.A.