Nous avons prouvé que dans toute équîdifférence la

somme des extrêmes est égale à celle des moyens. Réciproquement, lorsque quatre nombres sont tels que la somme des to trêmes est égale à celle des moyens^ ces quatre nombre forment une équidifférence.

• 11 suffit pour le démontrer de faire voir que, si quatre nom-' bresne forment pas une èquidifférencej la somme des ecçtrêmes n'est pas égale à celle des moyens.

Considérons, en effet, quatre nombres 15, 5, 12 et 3, tels que le rapport des deux premiers ne soit pas égal à celui des deux derniers : si à chaque conséquent on ajoute la raison du premier rapport, le premier conséquent deviendra égal à son antécédent; mais il n'en sera pas de même du second, puisque les raisons des deux rapports sont supposées différentes. Donc, après cette addition, la somme des extrêmes ne sera pas égale à celle des moyens, car elles auront une partie commune et une partie différente.

Mais, en ajoutant laraison du premier rapport à chaque conséquent, on a augmenté la somme des extrêmes et celle des moyens chacune de cette raison : donc, puisque après cette augmentation ces deux sommes sont inégales, elles Tétaient nécessairement auparavant ; donc, lorsque quatre nombres ne forment pas une équidifférence, la somme des extrêmes n'est pas égale à celle des moyens ; donc, lorsque quatre nombres sont tels que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens, ces quatre nombres forment une équidifférence.

248. Il suit de là qu'on pourra toujours faire subir aux termes d'une équidifférence tous les changements qui n'altéreront pas Z'égalité entre la somme des extrêmes et celle des vnoyens : ainsi on pourra intervertir Vordre des extrêmes ou celui des Moyens, mettre les moyens à la place des extrêmes et réciproquement^ augmenter ou diminuer d'une même quantité wn extrême et un moyen.

S m. DES PROPORTIONS PAR QUOTIENT.

249. Dans toute proportion, k produit des extrêmes est égal à celui des moyens, c'esl-à-dire que dans la proportion

on aura

En effet, si chaque conséquent était égal à son antécédent, le principe serait évident de lui-môme : car le produit des extrêmes et celui des moyens seraient composés des mêmes facteurs. Or, si l'on multiplie chaque conséquent par la raison, chacun d'eux deviendra égal à son antécédent (243) : ainsi on aura

et alors le produit des extrêmes sera égal à celui des moyens. Mais, en multipliant chaque conséquent par la raison, nous avons multiplié le produit des extrêmes et celui des moyens chacun par cette raison (59) : donc, puisque après cette multiplication ces deux produits sont éganx, ils Tétaient nécessairement auparavant; donc, dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Donc, si quatre nombres sont tels que le produit des extrêmes ne soit pas égal à celui des moyens, ces quatre nombres ne formeront pas une proportion^ sans quoi le produit des extrêmes serait égal à celui deâ moyens*

250. Il suit de ce principe que, si Von veut calculer Vun des extrêmes d'une proportion dont on connaît les trois autres termes, il suffira de diviser le produit des moyens par l'extrême connu.

En effet, si Ton divisait le produit des extrêmes par l'extrême connu, on aurait évidemment l'autre; mais, comme le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, en divisant le produit desmoyens parrextrême connu, on trouvera le même résultat.

Exemple : Calculer le quatrième terme de la proportion 15:5;: 12 :x. On aura : »=s±*-^£»4.

On verra de même que, pour calculer wn des moyens^ U n'y a qu'à diviser le produit des extrêmes par le moyen c&nnu.

25i. Si la proportion est continue, le produit des extrêmes est égal au carré du terme moyen : donc ce terme est égal à la racine carrée du produit des extrêmes; donc, pour prendre une moyenne proportionnelle entre deui» nomiresy U faut extraire la racine carrée de leur produit. Ainsi, pour trouver une moyenne proportionnelle entre 4 et 9, nous mutliplierons 4 par 9, ce qui donnera 36; nous extrairons la racine carrée de 36, et le résultat 6 de cette opération sera la moyenne proportionnelle demandée.

252. Si quatre nombres sont tels que le produit des deuxmoyens est égal au produit des deux extrêmes^ ces quatre nombres forment une proportion.

Il suffit, pour démontrer ce principe, de faire voir que, rf quatre nombres ne forment pas une proportion^ le produit des ex^ trémas n'est pas égal à celui des moyens. Considérons donc quatre nombres 15, 5, 12 et 3, tels que le rapport des deux premiers ne soit pas égal à celui des deux derniers. Si Ton multiplie chaque conséquent par la raison du premier rapport, le premier conséquent deviendra égal à son antécédent; mais il n'en sera pas de même du second, puisque les raisons des deux rapports sont supposées différentes : donc, après celte multiplication, le produit des extrêmes ne sera pas égal à celui des moyens, car les deux produits auront un facteur commun et un facteur différent. Mais, en multipttanat chaque éon^éqûent par la raison du premier rapport, nous avons multiplié le produit des extrêmes et celui des moyens chacun par cette raisotl : donc, puisque après cette multiplication ces deux produite sont inégaux, ils Tétaient nécessaireiûient auparavant' ; donc, lorsque quatre nombres ne forment pas une proportîoti, le produit des extrêmes n'est pas égal à celui des moyens; donc, si quatre

RAPPORTS ëT proportions. 191

nombres sont tels que le produit des extrêmes soit égal à celui des moyens, ces qualres nombres formeront une proportion.

253. Il suit de là qu'on peut faire subir aux termes (fime proportion tous les changements qui n'altèrent pas Végalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens. Ainsi^ on pimrra intervertir l'ordre des extrêmes et celui des moyens^ mettre les extrêmes à la place des moyens et réciproquement^ multiplier ou diviser par un même nombre un extrême et un mc^fen.

Ce principe permet de faire évanouir les dénominateurs qui pourraient se trouter dans une proportion. Que Ton ait, par exemple, la proportion

on multipliera d'abord les antécédents par leur plus petit dénominateur commun 12, ce qui donnera