S II. CONSTRUCTION D'UNE TABLE DE LOGARITHMES

286. Une table de logarithmes est un tableau à deux colonnef verticales : dans la première se trouve la suite naturelle des nom^^ bres 1, 2, 3, 4, etc. ^jusqu'à une certaine limite, et à côté, dans la seconde, leurs logarithmes, c'est-à-dire les termes correspondants

214 L<mARItHM£5.

cTtfMf Jyï'égr'e^siori par différence cammençant par zéro. Voyons coftïttïent ou à dû s'y prendre pour construire une pa^ reille table.

Parmi le nombre infini de progressions par quotient commençant par riïoîté et de progressions par différence commençant par zéro, on a choisi les deux suivantes :

^ 1 : 10 : 100 : looo : etc., •fO. 1 « â. 3, etc.

Cela posé, tà etitre tous les termes dfe la première progression on insère le même nombre de moyens proportionnels, et qu'entre tous les termes de la progression par différence on insère autant de moyens difTérentiels, on formera deux nouvelles progressions (269 et 1^70), dont les termes jouiront des propriétés énoncées précédemment. Or, si le nombre des moyens insérés est très-considérable, on s'élèvera de 1 àlO, de 10 à 100, de 100 à 1000, etc., par degrés très^resserrés, et d'autant plus resserrés que le nombre de ces moyens sera plus grand. On conçoit même que si ce nombre était infini, les termes de la nouvelle progression géométrique présenteraient toutes les nuances de la grandeur, ït partir de Tunité (335) : de sorte que tous les nombres plus grands que Tunité seraient compris dans eette progression ; et comme on en peut dire autant des* nombres moindres que 1 en considérant la progression H-^l rh • îofeô* ^^^*» ^'^ conclut que tout nombre a un logarithme*.

* II suit de là qu'un nombre a une infinité de logarithmeSj car on peut faire correspondre à la progression géométrique qui renferme tous les nombres une infinité de progressions arithmétiques commençant par zéro. Toutefois, le système que Ton considère est déterminé à l'instant où Ton fixe le logarithme d*uii nombre dbnné ; car on peut le regarder comme formé en partant de deux progressions par quotient et par différence qui auraient respectivement pour raison le nombre donné et son logarithme.

On est convenu éPappeler base d'un système de logarithmes le nombre qui û V unité pour logarithme; de sorte que ce système est défini par m base. La

L06A1IITBHKS. SI 5

Cela posé, si les nombres

etc.,

ne se trouvent pas parmi les moyens proportionnels qu'on aura insérés, du moins il y aura parmi ces moyens des nombres qui en difréreront très-peu; de sorte qa*en prenant pour logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc.,. ceux des moyens qui en approcheront le plus, Terreur que Ton commettra sera moindre que la raison de la progression par différence ; et comme cette raison est d'autant plus petite que le nombre des moyens différentiels qu'on aura insérés sera plus grand (268), on voit qu'on pourra toujours déterminer de cette manière les logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc., avec tel degré d'approximation qu'on voudra. Cela fait, on écrira dans une colonne verticale successivement tous les nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5« 6, etc„ jusqu'à la limite convenue ; puis, dans une autre colonne verticale, et à côté, les logarithmes correspondants qu'on aura trouvés, et la table de logarithmes sera construite.

Voyons maintenant comment on pourra effectuer l'insertion des moyens proportionnels et différentiels.

L'insertion des moyenrdifférentiels n'offre aucune difficulté ; car, pour trouver la raison dç la progression qu'ils doivent for<mer, il suffit de diviser la raison de la progression donnée par le nombre de ces moyens plus un (868). Mais il n'en est pas ainsi du calcul des moyens proportionnels ; nous avons vu, en effet, que pour trouver la raison de la progression dont ils feront partie^ il faut extraire de la raison de la progression donnée

hase du système que nous considérons ici est 10. Le système de logarithmes dont la base est 7 serait donné par les deux progressions ;

-«•1:7:49:343, etc.,

4* . 1 . S . 3, etc.

une racine d'un degré marqué par le nombre des moyens à insérer plus un (274), et nous ne savons extraire que des racines dont rindice n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 3, Gomme cet indice est arbitraire, nous éluderons la difficulté en insérant un nombre de moyens qui soit une puissance parfaite de deuXf diminuée d'une unité ; de sorte que nous n'aurons ainsi que des racines carrées à extraire (214). Seulement il faudra avoir soin d'extraire la première racine avec un trèshaut degré d'approximation; puisque la jacine carrée d'un nombre décimal contient deux fois moins de décimales que ce nombre.

Supposons, par exemple, qu*il s'agisse de calculer une table de logarilhmes, de manière que chacun d'eux soit exact à moins* d'un millième.

Il suit de la règle du n"" 268 que, la raison de la progression par différence étant l'unité, le nombre des moyens à insérer, plus un, devra, être mille ou plus grand que mille ; car alors la raison de la progression que formeront les moyens différentiels sera un millième ou plus petite qu'un millième. On élèvera donc 2 à toutes les puissances successiveaà partir de la seconde, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un nombre au moins égal à 1000. On trouvera ainsi que la neuvième puissance de 2 est 512, et que la dixième est 1024 : par conséquent, 1024 sera le degré de la racine qu'il faudra extraire de la raison de la progression par quotient; et conséquemment 1024 — 1, c'est-à-dire 1023, sera le nombre des moyens à insérer. En insérant donc 1023 moyens proportionnels entre tous les termes de la progression par quotient, et pareil nombre entre tous les termes de la progression par différence; écrivant ensuite, dans une colonne verticale, la suite naturelle des nombres 1,2, 3,4, etc., et dans une seconde colonne verticale, et à côté, les logarithmes de ceux des moyens proportionnels qui approchent le plus de ces nombres respectifs, en s'arrêtant toutefois dans chacun au chiffre des millièmes, on aura construit la table de logarithmes demandée.