Si l'on voulait calculer seulement le logarithme d'un

nombre déterminé, on pourrait y parvenir bien plus simple* ment de la manière suivante :

Supposons, pour fixer les idées, que Ton demande le logarithme de 7 à moins d'un centième. Ce nombre étant compris entre 1 et 10, son logarithme se trouvera entre et 1 (286), de sorte qu'en prenant zéro pour sa valeur, on commettra une erreur moindre qu'une unité. Pour enapprocher davantage; on cherchera une moyenne proportionnelle entre 1 et 10, et une moyenne différentielle entre et 1 (2^1 et 246). La première est 3,162, et la seconde est 0,5; d'où il suit que, comme 7 tombe entre 3,162 et 10, son logarithme est compris entre 0,5 et 1, de sorte que 0,5 est sa valeur à moins de 0,5 près. On prendra ensuite une moyenne géométrique 5,623 entre 3,1Ç2 et 10, et une moyenne arithmétique 6,75 entre 0,5 et 1. Gomme 7 est compris entre 5,623 et 10. son logarithme tombera entre 0,75 et 1, et 0,75 sera ainsi sa valeur à moins de 0,25. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on ait trouvé deux moyens proportionnels, l'un plus grand, l'autre plus petit que 7, et tels que les deux moyens différentiels correspondants diffèrent de. moins de 0,01. Alors, en rejetant les décimales d'un ordre inférieur aux oentièmes, on aura résolu la question :

7,499 moyenne proportionnelle entre 5,623 et 10.

.0,875 différentielle 0,75... 1.

. 6,494 proportionnelle 5,623.. 7,499.

0,812 :.. différentielle 0,75... 0,875.

' 6,978 proportionnelle 6,494.. 7,499.

0,843 différentielle 0,812.. 0,875.

7,234.... proportionnelle 6,978.. 7,499

0,859 différentielle 0,843., 0,875.

7,105 proportionnelle 6,978.. 7,234.

0,851 différentielle 0,843.. 0,859.

On voit parla que? tombe entre les deux moyens géométriques 6,978 et 7,105, etqu'ainsi son logarithme est compris entre les deux moyens arithmétiques correspondants 0,843 et 0,851; et comme ces deux derniers moyens diffèrent de moins d'uncen-

î!8 LMARITHMES.

ttème^en prenant l'uir d'eux pour le logarithme de iy oi> résoudra lef problème.

Remarquons que pour être sûr du chiffre des centièmes, on ne deora s* arrêter que gtuind on aura obtenu deux moyens arithmétiques dont les deux premières décimales seront les mêmes. Ainsi, dans notre exemple, il faudrait prendre encore une •moyeime proportionnelle entre 6,978 et 7,105, laquelle est 7,041, et une moyenne différentielle entre 0,843 et 0,851, laquelle est 0,847; donc les deux premières décimales du logarithme dé 7 forment 0,84.

Si l'on calcule Je cette manière les logarithmes de tous les nombres premiers moindres que 10 000, il sera facile ensuite, d'obtenir les logarithmes de tous les autres nombres entiers inférieurs à cette limite : car il suffira pour cela d'additionner les logarithmes des facteurs premiers de ces nombres (SBi), et alors la table de logarithmes sera construite.

Mais si les lop^arithmes des nombres premiers n'étaient calcîulés qu'à moins d'un centième, ceux des nombres composés pourraient être erronés de plus. d'un centième : avec quelle approximation faudrait^l donc dèterrrwner les logarithmes des nombres premiers? J'observe que la puissance de 2, qui est immédiatement supérieure à 10 000, est la quatorzième, de sorte qu'un nombre moindre que 10 000 renferme au plus 13 facteurs; donc, pour que son logarithme ne soit pas erroné'd'un centième, il suffira que ceux (le ses facleuj's premiers ne le ' soient pas de ^^ de centième, c'est-à-dire d un demi-railiièq[ie.

8 m. USAGE DES TABLE3 DE LOGARITHMES.

8G84 II résulte du choix des deux progressions

*T 1 : 10 : 100 r 1000 : etc.,

•s- . 1 . 8 , 3 , etc.,

que, parmi les nombres entiers^ les nombres 1, 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire les seules puissances ete 10, ont pour logarithme des nombres entiers^ et que ces logarithmes se corn--

LOGàKITBMBS. ^ il9

ffosmt (fautant (PmiUés gu^il y a de giro» dam kê nombres auœ^ quels ils appartiennerU.

Si, de plas, on obserTe que tout nombre e$t compris entre l'unité suirie d'autant de zéros qu'il a de chiffres moins un et Funité suif ie d'autant de zéros qu'il a de chiffres, on verra que son logarithme tombe entre deux nombres entiers consécutifs, dont le plus petit indique combien le nombre proposé .contient de chiffres moins un. Ainsi la caractiéiiistiqds, e*est'à*dire la partie entière du logarithme d^un nombre entier quelconque^ renferme autant S unités qu'U y a de chiffres moins ^n dans re nombre. Nous pourrons, d'après cela, déterminer, k l'inspection d'un nombre, .quelle sera la caractéristique de son logarithme; et réciproquement, k l'inspection du logarithme d'un nombre, dire de combien de chiffres entiers ce nombre est composé. C'est pour cela que la partie entière du logarithme d'un nombre a é(é appelée caractéristiquej et que dans les tables de iQgor rithmes on peuP se dispenser d'écrire la caractéristique.

S89. Un principe fondamental dans l'usage des tables de logarithmes» c'est que, qitand deux nombres plus grands que Funité sont composés des mêmes chiffres écrits dans le même ordre j et qu'ils ne diffèrent ainsi que par la position de la 'i^rgulCy leurs logarithmes ont la même partie décimale et ne diffèrent que par la caractéristique.

Eu effet, supposons, pour fixer les idées, que le plus grand des deux nombres renferme trois chiffres entiers de plus que l'autre; ce plus grand nombre sera égal au plus petit multiplié par 1000 : par conséquent, son logarithme est égal h celui de ce plus petit augmenté de celui de 1000, c'est-à-dire de 3 unités« Donc la partie décimale des logarithmes des deux nombres proposés est la même, et la différence de leurs caractéristiques contient autant d'unités qu'il y a de chiffres entiers de plus dans l'un que dans l'autre.

200. Il faut savoir résoudre les deux problèmes suivants pour pouvoir se servir des tables de logarithmes : i* Un nombre

étant donnée trouver son logarithnu; 2* étant donné le logarithme d^un nombre^ trouver ce nombre.

Occupons-nous d'abord de résoudre le premier problème, et supposons que nous ayons une table qui, comme celle de LalandCy renferme les logarithmes des dix mille premiers nombres entiers, chacun à moins d'un demi-cent-milliëme. Si le nombre proposé est moindre que 10 000, on le cherchera dans la table, et on trouvera la partie décimale de son logarithme à côté. Ainsi la partie décimale du logarithme de 9485 est 97704, et comme d'ailleurs la caractéristique est 3, puisque ce nombre est composé de quatre chiffres (288), il s'ensuit que log 9485 = 3,97704.

Supposons maintenant que le nombre proposé excède la limite des tables, c'est-à-dire qu'il soit plus grand que 10 000, et prenons, pour fixer les idées, le nombre 721367. Nousvoyons d'abord que la caractéristique est 5 : quant à la partie décimale du logarithme, elle est la môme que -celle du- logarithme du nombre 7213,67, formé en séparant par une virgule les quxitre premiers chiffres à gauche du nombre proposé. Tâchons donc de déterminer celle-ci. Le nombre 7213 a pour partie décimale de son logarithme 85812; de sorte qu'il s'agit de trouver de combien cette partie décimale doit augmenter lorsqu'on augmente le nombre correspondant de 0,67. Or on démontre dans l'algèbre que les différences des nombres so7it à moins d'un cent-millième près proportionnelles à celles de leurs logarithmes, lorsqus les différences des nombres ne surpassent pas Vunité et que ces nombres sont plus grands que 1000; mais nous avons ici trois nombres : 7213, 7213,67 et 7214, qui se trouvent dans le cas dont il s'agit; ainsi nous pourrons leur appliquer le principe que nous venons d'énoncer, et poser la proportion suivante :

1 {différence des deux nombres extrêmes) : 0,67 {différence des deux premiers nombres) :: 6 cent-millièmes {différence deslogo/^ rithmes des deux nombres extrêmes) : x {différence des logarithmes des deux premiers).

La valeur, de x tirée de cette proportion exprimera donc de

LOGAKiTUMËS. 221

combien il faut augmenter le Ipgarithme de 7213 pour avoir celui de 7213,67.

On en tire a?=6X0,67=4,02 = 4 cent-millièmes, en négligeant les décimales du produit (on forcerait l'unité s'il y avait Ueu).

Le logarithme de 7213,67 a donc pour partie décimale 85812 4-4=85816 cent-millièmes: doncenfinlog 721367 = 5,85816.

Remarquons que le calcul qui a fourni la valeur de x revient à multiplier la. différence tabulaire 6 cent-millièmes par la fraction décimale qui reste sur la droite du nombre proposé quand on a séparé les quatre premiers chiffres à gauche par une virgule : ainsi on pourra calculer la valeur de x sans poser de proportion.

''891. Nous avons dit qu*on démontre dans Talgèbre que les dilTérences des nombres sont, à moins d'un cent-millième, proportionnelles à celles de leurs logarithmes, quand les dif- * férences des nombres ne surpassent pas Tunité et que ces nombres sont plus grands que 1000; mais on peut facilement concevoir la vérité de ce principe par les considérations sui* vantes.

En effet, les différences des logarithmes des nombres 1, 10, . 100, 1000, etc., sont exactement égales à l'unité : or, de 1 à 10, cette différence 1 est répartie entre 9 nombres ; de 10 à 100, elle l'est entre 90 nombres ; de 100 à 1000, entre 900; et enfln de 1000 à 10000, entre 9000 ; de sorte que la différence des logarithmes de deux nombres consécutifs est d'autant plus petite que ces nombres sont plus grands. On conçoit, d'après cela, qu'il doit arriver un point à partir duquel les différences des différences entre les logarithmes de plusieurs nombres consécutifs seront moindres qu'un cent-millième, et seront par conséquent constantes, puisque nous supposons qu'on a négligé les unités décimales de Tordre inférieur aux cent-millièmes. C'est ce qu'on peut vérifier en consultant la colonne intitulée différence^ dans la partie de la table qui s'étend de 1000 à 10 000. Si donc on considère trois nombres dont'les deux

228 LOaàRITHMfiS.

extrêmes ne diffèrent que d'une uQîté, oo poom tonetJW

que la difTérence des logarithmes de ces deux ^trémes soîl répartie proportionnellement siu* lea lt^Ari4fau)es d^ nomtoes intermédiaires : par conséquent, les différenoes de oo» Irofe nombres seront, à moins d'un cent-millième, proportionnelles aux diflérences de leurs logarithmes.

5ÉM. Proposons-nous mainlehant de trouver le logarithme d'un nombre décimal, de 72,1367 par exemple. La caractéristique est l ; quand à la partie décimale, nous séparerons, pour la déterminer, quatre chiffres sur la gauche du nombre proposé, ce qui nous ramènera à chercher la partie décimale dn logarithme de 7213,67, et nous venons de résoudre cette question tout à l'heure (290) : donc le logarithme demandé sera 1,85816..

ainsi, pour trowoer te loffarithme €un nombre décimal, on dépiûce la virgule de manière'à séparer quatre chiffres sur la gauche de ce nombre, ce ^qui l'amène au cas du numéro précédent; quant à lataractéristique, on la détermine â l'inspection seule de la partie entière du nombre proposé.

£93. Svppoàons actuellement que Von veuille trouver le ioga^ rithme d'une fraction décimale^ et prenons jvour exemple la fraction 0,00721367. Si Ton {)orle la virgule à droite du premier chiffre dgnificalif, ^t qu'on cherche le logarithme du nombre résultant 7,213ô7, on Irouveçi 0,85816. Or, en avan* çant la virgule de 3 rangs, nous avons multiplié le nombre pro^ posé par l'unité suivie de 3 zéros, et par conséquent nous avons augmenté son logarithme de 3 unités, c'est-à-dire d'autant d*unités qu'il est marqué par je rang du premier -chiffre décimal significatif, il faut donc le diminuer d'autant. Mais comme la caractéristique est zéro, nous ne pourrons qu'indiquer la soustraction de ces 3 unités, et nous le ferons en plaçant le signe — au-dessus de 3, pour marquer que ce signe ne porte que sur 3 cl non sur la partie décimale; de sorte que le logarithme demandé sera 3y65816, c'est^'à-dire qu*il sera.CQ{^pos^ de moim 3 amités, j)itAf la fraction décimale 0,S58 1 6«

LUGARlTHJIfS, 223

Ou voU donc que la caractéristique du logarithme d'une fraolion décimale se compose d^ autant cf unités négatives qu*U est marqué par le rang du premier chiffra décimal significatif.

294. Proposons-nous actuellement de trouver le logailthme d'une fraction ordinaire, par exemple, de ^^VA? » Comme une fraction exprime la division de son numérateur par son dénominateur, nous trouverons le logarithme de cette fraction en retranchant le logarithme du dénominateur de celui du numérateur, ce qui nous donnera le calcul suivant :

log 215ï=î:t,^3244iog 721367=:6,«^816

log 71^3^^ = ^7428

Ainsi le logarithme demandé est 4,47428, c-est-à-dire qu'il se compose de moins 4 unités, plus la fraction décimale 0,47428. Telle est la manière k plus comcsode d'employer les logarithmes des fractions dans le calcul; cependant on peut encore obtenir ces logarithmes en reUranchant le logarÀlune du wimérateur de œlui du dénominateur; mais comme la soustrao tion devrait «tce effectuée dans un ordre inverse, ou ^£fec4e le reste du signe moins^ de sorte que le logarithoM de la Xracik>ii est entièrement négatif*. Calculons ainsi le logariUune de la fraction précédente :

log 721367= 5,85816 log 215= 2,33244

iog tA^Ist =— 3,5Ji572