Lorsqu'on veut appliquer le calcul logarithmique à

* On peut encore observer que la fraoUon «f^i^^ô?? P^ exem|)te, est évidemment égale à 1.: ^//^^ (1 30), et qu'aiusi son logaiitlime est égàd à log 1 — log ^^p- (282), c'est-à-dire à— iog I^^iPj puisque log 1=0.

Textraction des racines des fractions, il arrive souvent que la caractéristique négative du logarithme de cette fraction n'est pas exactement divisible par l'indice de la racine à extraire. On ajoute alors à cette caractéristique autant d'unités qu'il est nécessaire pour rendre la division possible, mais on retient le même nombre d'unités pour les ajouter à la partie décimale. De celte manière, la difGcuIté est éludée^ et le logarithme n'a pas été altéré puisqu'on a ajouté le môme nombre d'unités à la partie positive et à la partie négative de ce logarithme. Ainsi, si nojjs voulons extraire la racine cubique de la fraction T^^y» il faudra d'abord chercher son logarithme, et l'on trouvera 4,47428, qu'on doit diviser par 3; pour céladon ajoute 2 unités négatives à la caractéristique 4, ce qui fait 6; on divise — 6 par 3 et on a pour quotient — 2 ; maintenant on ajoute à la fraction décimale 2 unités positives qui valent 20 dixièmes, et l'on trouve ainsi que

log'v/^?;ï;^ = 2,82476.

896. Cherchons maintenant à résoudre le second des deux problèmes que nous avons énoncés au n* 290, c'est-à-dire 'proposons-nous de revenir (Tun logarithme au nombre auquel U correspond, et prenons pour exemple le logarithme 2,56526; Puisque la caractéristique ne fait qu'indiquer le nombre des chiffres entiers dq nombre correspondant au logarithme donné, nous ne nous en occuperons pas ; seulement, lorsque nous aurons trouvé les chiffres qui entrent dans l'expression de ce nombre, nous en séparerons sur la gauche autant qu'il y ad'uni- ' tés plus une dans la caractéristique, et le problème sera résolu.

Cherchons donc la partie décimale 56526 dans nos tables. Si nous considérons la première série, qui s'étend de 1 à 10, nous voyons que cette partie décimale tombe entre les logarithmes de 3 et de 4; et comme le nombre demandé doit avoir t! ois chiffres entiers, il s'ensuit qu'il est compris entre 300 et 400, et que par conséquent la première série des tables ne donne ce nombre qu'à moins d'une centaine près.

En cherchant 56526 dans la seconde série, qui s*étend de 10 à 100y.on voit que le nombre demandé tombe entre 36 dizaines et 37 dizaines, et qu*ainsi cette seconde série ne donne ce nombre qu'à moins d'une dizaine près.

En cherchant 56526 dans la troisième série, c'est-à-dire de 100 à 1000, on voit que le nombre demandé est compris entre 367 et 368, et qu'en conséquence cette troisième série ne donne ce nombre qu'à moins d'une unité près.

Enfin, si nous cherchons 56526 dans la quatrième série, c'estrà-dire de 1000 à 10 000, nous trouverons que cette partie décimale correspond exactement à 3675, et que par conséquent le nombre demandé est 367,5.

Ainsi la considération de la quatrième série nous a donné exactement le nombre demandé; mais cela n'arrivera qu'autant que le logarithme donné se trouvera dans la table. Cependant il y aura toujours de l'avantage à chercher le logarithme dans la quatrième série : car nous trouverons amsi les quatre premiers chiffres à gauche du nombre demandé, tandis que par les autres séries nous n'en trouverions qu'un, deux ou trois.

207. Soit encore proposé de trouver le nombre correspon**^ dant au logarithme 5,85816. Nous chercherons la partie décimale 85816 dans la quatrième série, c'est-à-dire entre leslogarithmes de 1000 et de 10 000, et nous verrons qu'elle tombe entre les logarithmes des nombres 7213 et 7214, et qu'elle surpasse le logarithme du premier de 4 cent-millièmes. Nous obtiendrons donc le nombre demandé si nous pouvons calculer la différence qui existe entre 7213 et le nombre dont le logarithme est 3,85016 (289). Or, si nous appelons x cette différence, les trois nombres 7213, 7213 +a? et 7214 sont plus grands que 1000, et la différence des deux extrêmes ne surpasse pas l'unité; nous pourrons donc appliquer le principe que ks différences des nombres sont proportionnelles aux diffé^ rences de leurs logarithmes^ et établir la proportion :

1 {différence des deux nombres extrêmes) : x {différence des

2U LOaàMVfHUU.

deux première) :: 6 €0ni^UUJkfnêi (ài/ftrêneê dêi logm4ihmê$ des deuœ nambrei sastriméê) : 4 ùBntmmiUiknêi {différmu» dê$ logor rUhniêê dê$4miaprêmiêr$ tiùmbru).

I On tire de cette proportion œ^aO,! <en forçant rnnité) ; d*où l'on voit qne^ pour avoir la différence entra 791Set la nombre eorratpondant an logarithme 3,85816, il faut diviser la didérenea des logarilhmaft de cas deux nombres par la di|f6« rence tabulaire quicorrespond au logariliima donné.

Ainsi la nombre qui a. pour logarithme 3,85816 est 7213»7; et par conséquent le nombre demandé, devant être composé d^ six chiffres entiers» sera 7SI370* Telle est sa valeur, à moins d'une dizaine : car la différence o^ a été ^leuléa seulement à moins d'un dixième» et nous l'avons multipliée par IQO. Nous avons vu en effets au n* 800, Q^^ 5,85816 était le logarithme de 781^67, de sorte que Tireur est de 8 unités, et par conséquent moindre cpi'une disaina.

298. Si la caractéristique du logoirithnie est négative^ on agira comme daus l'exemple précédent, c^eçt-à-dîre qu*on cherchera tes chiffres qui composent totis les nombres cor^ ' respondant à la partie dédmàie du logarithme, et l'on placera ensuite la virgule de manière que le premier chiffre 9%gnifi(Mif. dMmal êoH de ford/te marqué par ta eaitaetérù^ tique.

SscempU. Quel est le nombre qui a pour logarithme 8,&2476f La partie décimale répond à tous les nombres dont les^ciuq premiers chiffres sont 66797 ; mais la caractéristique étant?, Iç premier chiffre significatif doit être du second ordre décimal (S85), ç'egl-4-direde Tordre d^s centièmes, de sorte que la fraction décimale correspondant au logarilUiue donné est 0,066797, à moiiis d'un millionième,

£neifet» en ajoutant deux unités au logarithme donné (autant qu'il y en a dans la cafactéristique^), il devient 0,82476, et le nombre correspondant est 6,6797; mais, euajoutanl deux unités à la caractéristique, on a multipiié le nombre correspondant par l'unité suivie de deux zéros ; donc il faut reculer i^ vir^ul^de

290. Si U logarithme M efUitm^rU fyiggUf, Qfi charfihe ^ nombre correspondant à, ce logqrith>m ptV po^fivefiymU et fon fait de ce nombre le 4énornimt^r d'une fraction fiant Tun^ fi4t le numérateur^ ce qui dqnnp la fraction orffjnqire gçrrpspgndffint au logarithme négatif proposé,

Sn effet, )e produit de deu^ ternies çitm§§ k tg^lp distaoc^ Af^ r%^nitéf dans la progression géoii[)étri(;[ue^ est évidemment ég^l k une unité : donc si xin P^rtm nombre, 15 } par ejc^wpje, ^ trouve à une çertaji^e distan.çjç (Jç l d^ns la p^\i^ asceudaiitfi

de cette progression, le nombre yr; oecapera le même rang

dans la partie descendante ; 4onc les bgari(hme9 SQnt égauaç

e^ de signées contrées, ifestr^-dire que log ns^— log iS}.

Donc enfm.un logarithme négatif appartient à une fraction qi}i a pour numérateur l'unité, et pour dénominateur le nombre corre^poadimt ja|i Jpg4rMto^ doAP^» nb^tnurtiaa ùHà du sâgoe

Eœemph. Quel est le nombre dont le logarithme est— ,952572? Je fais abstraction du signe — , et je cherche le nombre corre^ pondant au logarithme 3,52572. Ce noipbrq est 3355,?; par conséquent le nombre correspondant au logarithme— 3,52572 est 5^1 , ou bien ^^^ = httt; ®^ multipliant les (Jeux terjnçsde cette fï-action par l6.

MO. Si l^on wmlaU obtenir m décimales la valeur de la fraction qui correspond à un logarithme négatif donné\ on ajouterait à ee logarithme autant dfunUés plus v^fie qu'il y en a dans la caraetériêtique; on ehereherail le nombre correspondant au logon rithms résultant^ et Von reculerait la virgule d*autant de rangs vers la gauche ^u*on aurait çjouti (Tunités a^ logarUfirn^ donii^.

Reprenons, eneffet.leiogarilhme— 3,5?572j j'yajoute 4 unirtéS| ce (|ui fait 4 -T-3;5^572= 9,474^8. Le poju^^re x^orre^pon*^

danlà ce logarithme est 2,9804. Hais en ajoutant quatre unités au logarithme proposé» nous avons multiplié le nombre correspondant par 10000, de sorte qu'il faudra t[i>ûser le nombre trouvé par 10000, ce qui se fera en reculant la virgule de quatre rangs vers la gauche. Ainsi la fraction décimale équivalente au logarithme négatif proposé est 0,00029804.

Sif au contraire^ on voulait obtenir en fraction ordinaire la valeur de la fraction correspondant à un logarithme dont la caractéristique est négative, on commencerait par prendre la différence entre la caractéristique^ abstraction faite de son signe, et la partie décimale; on affecterait cette différence du signe -^y et on chercherait enfin la fraction ordinaire qui correspond à ce loga^ rithme entièrement négatif (299) .

Soit, par exemple, le logarithme 2^82476. En vertu de la règle posée dans la note du n^ 281, page 212, ce logarithme est égal à — (2— 0,82476)= — 1,17524= log j^Wl • ^^isi la fraction ordinaire qui correspond au logarithme proposé est ^9%.

SOI. Il arrive souvent que Ton a à retrancher un logarithme d'un autre : les calculateurs ont trouvé le moyen de changer cette soustraction en une addition. Supposons, en effet, que l'on veuille soustraire 36 de 584 ; il est clair que, si j'ajoute à 584 l'excès 64 de 100 sur 36, la somme 648 surpassera la différence demandée de 100 unités; de sorte qu'en en retranchant une centaine, j'obtiendrai cette différence. Le reste est donc 548. Cet excès de 100 sur 36 se nomme le complément arithmétique de 36; et, en général, on appelle complément arithmétique d'un nombre la différence entre ce nombre et l'unité suivie d'autant de zéros qu'U a de chiffres. Ainsi, pour soustraire un nombre d'un autre^ on ajoutera son complément à cet autre^ mms on retranchera de la somme une unUé de F ordre de celle qui a fourni le complément.

' Exemple. Élever la fraction^ à la troisième puissance. En suivant le procédé ordinaire, il faudait d'abord retrancher le logarithme de 376 de celui de 79 ; au lieu d'opérer ainsi, je

prends le complément du logarithme de 376 à 10 UBltés» et je l'ajoute au logarithme de 79 :

log 79=1,89763 COmpl.log 376=7,42481

somme 9^82244

Je multiplie cette somme par 3, ce. qui donne 27,96732 ; mais, comme elle surpassait le logarithme de j/^de 10 unités, ce produit surpasse le logarithme du cube de celte fraction de 30 unités ; dond il faudra diviser le nombre correspondant par l'unité suivie de 30 zéros; mais ce nombre correspondant aura 28 chiffres entiers (288) : donc le premier chiffre significatif décimal du cube demandé sera du troisième ordre. On trouve pour résultat 0,009275 1 .

502. On né prend pas toujours, pour complément d'un nombre, la différence entre ce nombre et l'unité suivie d'autant de zéros qu'il a de chiffres, parce que, dans certains cas, on serait ainsi conduit à des calculs bien plus longs que ceux que l'on veut éviter en faisant usage des compléments. Supposons, par exemple, que l'on ait à calculer la racine cubique de la cinquième puissance de ^. Si l'on suivait la méthode précédente, on devrait ajouter au logarithme de 2 le complément du logarithme de 13, et multiplier la somme par{; mais, comme cette somme surpasserait le logarithme de ^ de 10 unités, on voit que le produit devrait être diminué de lOxf =i^, de sorte qu'il faudrait diviser le nombre correspondant parle nombre qui a ^ pour logarithme, c'est-à-dire par la racine cubique de la cinquantième puissance de lO'^, calcul extrêmement laborieux. La difficulté tient à ce que la quantité dont le logarithme final est trop grand n'est pas un nombre entier (501) : on l'éludera donc en prenant le complément du logarithme du dénominateur 13, relativement au multiple de l'indice 3 qui est

* Comme le logarithme de 10 est 1, celui de ^J^ est par conséquent ^ (282 et 2UB).

mtûéâiAiêthm, iiipériëtif à eë logarithme, c'ést^&^âité à 3 ûâb^ notre exemple. Ainsi on exécuterai le calcul stiifant i

\0g Âsâ0,30103 COmpl. tog 13=± 1^88606

sommei.^... .2^18709

Multipliant cette somme par |^ il viendra 3,64515; mais, comme elle surpassait le logarithme de ^ de 3 unités, ce produit surpasse le logarithme de \/(^ de âxf =^& : donc, en divisant par IGOôOO le nombre correspondanti le problômé «era l'ésolu* On trouvera ainsi que (/(|^)»ss=ïr,ô44l7î.

g tt. RËÔLÉ À GALtitiîi.

505. Une des applications pratiques les plus ingénieuses des IdgâritHttiëë cotiëlsfé dans remploi dëà Réglés à cdlM ou Èègles iégdmfmt^ues. ftépàhdU ëii Atigleterré dès là fin du dil-sëp-* liÈihë ëiâôle, m in^trijtiiërit I»! siitiple et ël utile était ëtléord pB^ éoïihU éh Frâtieé il y â quelqUëë années i itfais tdUt poHê à ëi^péi^éi^ ttu*il hé tafdët'â pas à y devéhit* usUel, couiiilë cheÉ les Àn^laiS^ poWf tditis leâ caldtils qui h'èmgent paé ii'épdépH^ ùiëiôh et que tùfi âésifhb eff'èctuèr pirompUmetit.

504. La Règle à calcul est un instrument composé d'une partie fixe ou hègUy et d'une partie mobile appelée Réglette^ qui glisse à Tintérieur de la première; Tune et Fautre peuvent d'ailleurs être en bois, en ivQire, en métal ou en carton. (Nous supposerons que Ton a sous les yeux une Règle à calcul, et plus particulièrement la Règle à calcul à enveloppe de verre de M UonLoianne^ ingénieur en chef des ponts et chaussées \)

* dette lîêgléf, doht lé ^ril é»t de beaucoup Ihfêrïéur à eeltii dé la règflé en bois dé lendtr^-Gfavét, ée trouve chez MM. HaèheUe et C*', avec une ian^ struction très-complète, applicable d'ailleurs à toutes les Règles à calcul. Nous avons emprunté à cette instruction la majeure partie de ce qui va suivre; 6t noHè ne ffotiYonii mieux fair« que d*y tétx^^ U» IwMur pour dé plus amples détails.

LOttABITHMES. f3l

SOS. Si Ton eXamine la fau fnindpaU de la &ègl«, on remarque de Suite une échelle graduée portant à sa gauehe la désignation abrégée tu>m6. (nombres). Sur la première moitié à gauche de cette échelle que ron nomme ichéUd desnmbres^ ou ichellê principale, sont inscrits à des intervalles inégaot et décroissants les dix nombres ,

la seconde moitié à droite e»c aussi divisée en neuf parties, respectivement égales aui neuf parties de Ift première; ^lle porte^ fc partir de 10, les nombres

Sur la Réglette est tracée une échelle identique à celie des nombres, portant les mêmes divisions et les mêmes chiffres. Si donc on amène le chiffre 1 de la Réglette sous le chiffre l de l'échelle des nombres/ toutes les autres divisions principales numérotées 9» 3, 4»..«) 90, 100 devront se correspondre parfaitement.

Les neuf parties de chacune des moitiés dâ Téchelle principale sont toutes subdivisées en dix autres: la subdivision de 1 à a est la même que celle de 10 à 90; celle de 8 à 4 est la même que celle.de 30 à 40, et ainsi de suite. Les points de division entre 10 et 20 pourront être considérés comme correspondant aux chiffres

ceux entre 90 et 30, aux chiffres

91, 99» 93, 94, 95, 98, 97, te, 90,

etc. ; de sorte que Ton pourra compter tous les nombres de 10 à 100 sur la moitié à drxûte de l'échelle.

Ces subdivisions peuvent être à leur tour partagées en un certain nombre de parties*^ ; il n^y a diantre limite que i*impos-

* Sur ufie Rëgle de p"^2& de loDfueur, comoM celltt que nous «mndéraiii.

sibilité matérielle de tracer des divisions facilement appréciables à i'œil.

506. Ainsi, les nombres compris entre 1 et 10 seront lus exclusivement sur la moitié de gauche de la Règle et de la Réglette. Les nombres compris entre 10 et 100 seront lus sur la moitié de droite ; mais ils pourront Tétre aussi sur la moitié^ de gauche, en supposant que le 1 de cette moitié vaille 10, et que le 10 vaille 100. Or, en faisant cette supposition, le 10 de la moitié de droite vaudra 100, et le 100 vaudra 1000, de sorte qu*on pourra compter sur celle-ci les nombres suivants de 10 en 10:

à son tour, la moitié de gauche se prêtera à une semblable lecture, si Ton y considère le 1 comme valant 100, le 2 comme valant 200, et le 10 comme valant 1000.

Maintenant, il est facile de voir qu'au moyen des dernières subdivisions (note du n** 505) on pourra lire les nombres entiers de deux en deux :

et les nombres entiers de cinq en cinq :

à partir de 500, il n'y a plus de subdivision, et l'on ne lit les nombres que de dix en dix :

' Les divisions entre 1 et 2, 2 et 3,..., 9 et 10 de la moitié h

elles sont partagées seulement en 5 parties entre les divisions principale! 1 et 2, 10 et 20| et en 2 parties entre les divisions principales 2 et 5, 20 et 50.

gauche de l'échelle , peuvent aussi être considérées comme donnant les nombres de dixième en dixième :

De même au moyen des subdivisions (note du n*" 503) on pourra lire les nombres de deux en deux centièmes :

et , de cinq en cinq centièmes :

à partir de 5, on ne lira que les nombres de âixen dix centièmes :

307. Enfin, à la partie inférieure de la face principale de la Règle, on remarque une échelle portant la désignation abrégée car. (lignes des carrés). Sa longueurtotale est la même que celle de l'échelle des nombres; mais ses divisions principales sont doubles de celles tracées sur Ja Règle et la Réglette, de sorte que son chiffre l étant placé sous le chiffre 1 de la Règle et de la Réglette, son chiffre 10 correspondra au chiffre 100 de celles-ci.

Les échelles que nous venons de décrire, suffisant pour tous les calculs de Farithmétique, nous ne nous occuperons pas des échelles portant les dénominations abrégées : cosy sin, îang^ cot.

508. Supposons, maintenant, que Ton ait pris pour unité la longueur commune aux deux moitiés de l'échelle principale, et que les distances respectives da chiffre 1 aux divisions 2,3, 4, ..•.,9 aient été prises proportionnelles aux valeurs numériques des logarithmes dés nombres 2, 3, 4, ••••,9; que, de même^ les distances du chiffre L aux subdivisions (1,1), (1,2),. . . . , (1,9) aient été prises proportionnelles aux logarithmes des nombres (1^1), (1,2),. . • • , (1,9) ; et ainsi de suite

id4 LMAKlflitfËS.

pour I0i{.ceti11èmë6. Il e^t évldèf^t tpxé la diâtfttice du ebi'flh» i à là division 21, pflf eXëfiiple^ dd là moitié d^ droite de Tèôbelle représentera précisément le logarithme de 21. En effet,

Iog21=logl04-log2,l.

Or la distance du chiffre 1 au chiffre 21 se compose de deux parties, savoir : la distance du chiffre 1 au* chiffre 10, qui, ayant été prise pour unité, représente le logarithme de 10, et la distance du chiffre 10 au chiffre SI, laqndle est égale, par suite de la construction de la Règle (50S), à celle du dhiffre 1 à la division 2,1, c'est-à-dire au logarithme de 2,1; donc la distance du chitlte l au chiffre 21 rejpréaente bien le logarithme de 21. «

Ainsi, éii considérant ^ensemble des deux moitiés de l'échelle principale, les longueurs successives comptées à partir du chiffre 1 jusqu'au chiffre lÔD représentent les logarithmes des nombre» de 1 à 100 pris avec leur caractéristique exacte. Quant aux nombres tn dehors de ces limites^ l'échelle donne la partie décimale de leurs logarithmes^ abstraction faite de la caractéristique» Soi^nti parâxemplci les nembres 0^70 et 340; les parties décimales des logàriljimes de cas nombres sont tes mêmes que celles des logarithmes àêi nombres 75 et 34 coiin pris entre 1 et lOO; elles tont'doDc représentées tur la Règ^d.

509. hè ce qui précède résulté évidemment cette propriété fondamentale de la Règle k calcul :

Pvui* tf&mtf U PRODUIT de deux nombres y il faut placer le chiffre 1 de la RégleUt smu VUn des deux mm^ei tUs iMt la •moitié à goûchê dé Véchêih principale dé la Mgk. U produit cf^erché correspond^ sur la Règles au second nombre lu sur la HégUtte.

Il est clair, en effets que l'on détermine aihsi ittr la Règle un nombre dont la di^tanee au chiffre 1 de la Règle, c*est-à*dire le logarithme^ est égale à la somme des distances du premier nombre au ohifire I de la Règle, et du second nombre au chiffre

1 de là ftégletté, c^est-à-'dire à la somme dés lôgafithmes des deux nombres donnes. Ce nombre est doné leur produit (12B1). La tbanière d'opérer peut être indiquée d'une façon abrégée aiilsi quHi suit; sbit à lûuiiiplier 2 par 3, ôii àiii'a :

Règle. 2 (1^ facteur) 6 (produit).

i Réglette, i ^^ â (2« lacleur).

510. Nous allons appliquer, comme exercices, cette règle à différents exemples; mais nous commencerons par énoncer un principe très^sifnple et très-géiléfal pour âêteriîliner d'avance le nombre des chiffres d'un produit de deux nombres entiers;

Lorsque le produit obtenu (par le procédé du n* S09) ^e trouve sur la moitié à droite de T échelle fixe dé la Règle ^ ce produit a juste autant de chiffres qu'il y en a à là fois dans les deux facteurs; lorsqu'il tombe sur la moitié à gauche ^ U a un chiffre de inoins.

511. Nous considérerous d.*abord des ïactelirs fa*ayant pas plus de deux chiffres chacun.

!• Soit 36 à multiplier par 2b. Oh placera le chiffre 1 de la ftéglette sous le point 36 de la moitié à gauche de la Règle, et oi) lîi*a le chiffré auquel correspond sur la Règle le nombre 2ô lii siir là ftéglette. Ce chiffre est 9, et se trouve (encore sur là itîoîtié à gauche de la Règle; ot le piroduit doit avoir trois ôbiffrès; donc, eh ajoutant deux zéros à la droite de Ô, on âui*à 900 pour le produit cherché.

2«* Soit à mditipliei' 23 par 19. Ayaht placé le 1 de la Réglette èùuh le point 23 de la Règle (hioilié de gauche), On trouve que le pohii correspondant aii nombre 19 lu sur la ftéglette ne se trouve pas exactement être une division de la Règle, mais qu'il tombe ëhtfe leâ divisions 430 et 440, plUs près de là seconde que de la première. Dans ce cas, et dans les cas analogues où le point correspondant au produit cherché tombe entre deux divisions consécutives de l'échelle, on imagine que Tintervalle entre eea d«bz divisions soit subdivisé en un nombre suffisant de parties égales, et on prend pour le troisième thlSte ûnptù^

duit cherché le nombre des parties que Ton peut compter à vue entre le point correspondant au produit et la division la plus voisine à gauche*. Ainsi, les plus petits intervalles entre 1 et 2 étant partagés, à vue^ chacun en deux, on lira les nombres entiers consécutifs :

100, 101, 102, 103,.... jusqu'à 200;

lès plus petits intervalles entre 2 et 5 étant partagés, à vue, chacun en cinq , on lira les nombres entiers consécutifs :

200, 201, 202, 203,.... jusqu'à 500;

enfin, les plus petits intervalles entre 5 et 10 étant partagés, à vue, chacun en dix, on lirçi les nombres entiers consécutifs :

500, 501, 502, 503,.... jusqu'à 1000.

De sorte qu'avec ces lectures à vue, on pourra déterminer d'une manière plus ou moins exacte tous les nombres possibles de trois chiffres.

Revenons à notre exemple. Les deux premiers chiffres du produit cherché sont 43; la distance qui sépare la division 430 du point correspondant au produit peut être évaluée à vue à 7 ou 8 dixièmes de l'intervalle total entre 430 et 440; on pourrait donc prendre 437 ou 438 pour valeur du produit. Mais nous remarquerons que le produit des nombres 23 et 19 se ■ termine nécessairement par un 7, puisque 9 fois 3 font 27; le produit exact sera donc 437.

Ainsi, il est toujours facile d'obtenir rigoureusement un produit de deux facteurs, quand ce produit ne doit pas avoir plus de trois chiffres. Les deux premiers chiffres sont donnés par la Règle sans incertitude; et le troisième est donné parla multi^ plication, faite de mémoire, du dernier chiffre de l'un des facteurs par le dernier chiffre de l'autre.

* Remarquons que ceci revient à faire usage du principe énoncé au n^ 200 : les différences des logarithmes sont sensiblement proportionnelles à celles des nombres correspondants.

3"* Soit à multiplier 24 par 33. On trouve que le point correspondant au produit tombe entre les divisions 126 et 128, plus près de la seconde que de la première; on en conclut que le nombre 127 forme les trois premiers chiffres du produit. Mais ce produit doit avoir quatre chiffres; de plus, son premier chiffre à droite est un 2; donc le produit cherché est 1272.

4* Soit à multiplier 79 par 84. Le point correspondant au produit tombe entre les divisions 66 et 67, à un intervalle qui parait être de 3 ou 4 dixièmes à partir du point 66. D*un autre côté, le produit doit avoir quatre chiffres, et son dernier chiffre à droite est 6 ; on supposera donc que le point de rencontre est à 3 dixièmes et 6 centièmes de Tintervalle entre les deux points, et l'on prendra 6636 pour le produit cherché.

On voit donc que» lorsque le produit a quatre cniffres, on n'a plus la même certitude sur le résultat ; il y a erreur possible ^ur le troisième chiffre, parce que sa détermination tient à une lecture dans l'appréciation de laquelle on peut se tromper d'ime unité.

518. Supposons maintenant que les deux facteurs aient trois chiffres.

Soit à multiplier 627 par 384. Le facteur 627 sera pris sur la Règle fixe entre les divisions 62 et 63, par évaluation à vue, à 7 dixièmes de l'intervalle qui les sépare. Le 1 de la Réglette étant placé sous le facteur 627 ainsi déterminé sur la Règle, on lit le second facteur 384 sur la Réglette, au delà du point 380, et à 4 cinquièmes de l'intervalle entre ce point et le point 385, par une seconde évaluation à vue. Ce second facteur correspond, sur la moitié à droite de Téchelle, au point 241. Le produit devant avoir six chiffres, on complétera ce nombre de chiffres en ajoutant trois zéros, et on prendra 241000 pour le. produit cherché. Le produit exact est 240768; Terreur relative commise est donc de 232 sur 240768, ou de 1 sur 1038.

515. Si nous supposons enfin que les deux facteurs soient composés d'un nombre quelconque de chiffres, on procédera

(Je 1» wêrpe w^pière- On pe feorper» à opérer Qoxnmê «'ils étaient l'iin §t Taiitpç réduite ^ leurs trpU prfliniaFç i^iiïrmi 0» ijétariujQçra, çomm^ àm^ Iç wmérp précérfeijt, l#§ tf oi» premier? phiOrc» 4u produit, et ou pliera à l^aur drçjlte p» non)bre de lévo^ s^ffl?40t ppur compléter l? mmPv^ d^ chiffrée indiqué par 1a règle du n* 5iO,

Si le preniier cliiffre apr^ les trois uhiffr^ çon^epf^ d^ps Vm dtfs facteurs était éj^j^i^ &, ou pliis gr^nd qu« 6, or> wg* menter^t d'une unité Je dernier çl^iffre çpftservé. Su générait on ne devra pas faire eette augmeoi^tOQ ds^us )es 4eax fa^^ teurs h la fois.

Soit, par e^^mple, h muUipJier %^^^ par ?i097. Au liew 4e 238607, 0» prendrai 238000 ou plutôt 358 j au Ijeu de 31997, ou prendra- 31100 ou plutôt 311, JJuUipliant ?38 par 311, çn trouvera 7W pour les trois premier;^ ehififres du prodnit; le produit doif d'ailleurs avoir di^i^ cWOr'es ; nous aurons donc à écrire sept zéros à la droite de 7.43, ç^ qui donije 742Q0p0pûO pour la valeur approchée du produit.

H4, Noua n'Avone eoQ«idéré jusqu'à présent qnt des Hma-

bres entiers. Si Ton a à opérer sur des nombres décimausPy on comtMneep^ /sub^pitu^ (me dmçs ffiPHws l^srmnbrespimltant de la mppresmn (U tous les chiffres placée à dr^Ua de kws troUpr^ nmrs chiffra significatifs, On effecm ensuite k, vmUiplisatiofi du dmsç nombres ainsi çbimu^, abstroMmn fàiifi de la vif gv^, somme s'ils étaieni mli^rs; pms^ if, la droite rf« hur produit, eofnm piété par V^dditiçn d'un nombre suffisant ds &iros, on. sépare au^ tant d0 j^hiffnjs dépimam qu*U y en a à la fois dans ks deux faistùms ■ rçdmt$ l'un et l'autre à Uurs troig pr0mi^s chiffrés signifusaMfh

Qiielques ejuemples vont écjairçir cette régie ;

l^Soii à multiplier 0,35 par 0,0025. Le produit de 36 par 25ebt 875; ce produit est exact (5ii, 2^'); séparant six déeimaJes^ autant qu'il y en a à la fois dans les deux fociep/s, npus trouvejons 0,000875 pour le produit cherçWt

S'^SoU h mjltifïkr 0,o3836 par 62,721, Noys remplac^ri)))s le$ <kux factaurs par lai nombre» P,039^ et 62,7, Multipliant 384 par 637, m tr^we pour produit 2ftl0po (518) ; séparant en&ncmq déciinales, autant qu'il y ç» a à la ôroite des deu?^ nombres 0,0384 et 62,7, qu trouve 2^4) ppur la produit cherché.

y Soit k multiplier IS,4745 peu- «,02^2. On prendra pour Ucmr» 12,5 ^t 8,03 ; 1# produit de }2^ par 803 m 10û400; séparant trois décimales, on aura 100,4 pour la valeur clier^ chef.

0IK. Nous «ayons maintenant effeètner, dans tons les cas, la multiplication de deux nombres quelconques entiers ou décimant. Voyons comment on pourra procéder h Fopéralion inverse^ la êivisUm. Or, si Ton considère le dividende comme un produit, le diviseur et le quotient comme les deux facteurs de ce produit, on verra que la division se fera en trustant la Régule et la Réglette comme pour la multiplication. Soit à diviser 6 par 3, on aura :

Règle. 2 (Quotient) 6 (dividende).

KégJ^tOt 1 ^ 3 (diviseur).

Ainsi, pour dMser émsm iumbrés l'un par Va/uirê, il fem amener It point de la partie à gauche de la Réglette eorrespàn^ dant au diviseur, som le point de ta partie à droite de la Règle correspondant au dividende. Le point de Féchslle de la Règle som lequel tombe le l de la RégleUe indique la wdeur du quô^ tient.

On déterminera d'ailleurs le nombre des chiffres du quotient par le principe suivant :

Lorsque le point coirespondartt au quotient tombe iwr la QTwitié à gauclu d^ la Règle, le iwmbre des chiffres du quotient s'obtient en relrancfmnt le nombre des chiffres du diviseur du nombre des chiffres du dividende. Lorsque ce point tombe sw la moitié à droite^ il y a au quotient un chiffre de plus que dofns le cas précéderu.

1* Soit à diviser 6636 par 84. Kous amènerons le nombre 84, pris sur la moitié à gauche de la Réglette, sous le nombre 664, pris sur la moitié à droite de la Règle. Le 1 de la Réglette tombera sensiblement au-dessous du nombre 79 de la Règle et sur la moitié de gauche de celle-ci. Le nombre des chiffres du quotient sera donc égal à deux, c'est-à-dire à Texcès de quatre^ nombre des chiffres dît dividende, sur deux, nombre des chiffres du diviseur. Le quotient cherché est donc 79.

£• Soit à diviser 7419961879 par 31097. Nous prendrons 742 pour dividende et 311 pour diviseur. En lisant le premier sur la moitié à droite de la Règle et le second sur la moitié à gauche dé la Réglette, on voit que le 1 dé la Réglette tombe sensiblement sous le chiffre 239 de la moitié à droite de la Règle. .Le nombre des chiffres du quotient surpassera donc d*une unité l'excès du nombre des chiffres du dividende sur le nombre des chiffres du diviseur. Le dividende a dixchiffres, le diviseur en a cinq; le quotient en aura donc six; nous prendrons donc 239000 pour la valeur approchée dij quotient.

316. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'effectuer la division de deux nombres décimaux. Considérons d'abord le cas où le dividende contient le diviseur, et où par conséquent le quotient a une partie entière.

!• Diviser 0,0953 par 0,0006237. Avançons la virgule d'ua même nombre de rangs dans le dividende et le diviseur, ce qui n'altère pas le quotient ; la question sera ramenée à diviser 953 par 6,237. Les trois premiers chiffres du quotient sont 153, et le quotient tombe sur la moitié à droite delà Règle; il doit donc avoir à sa partie entière un chiffre de plus que le nombre des chiffres entiers du dividende (trois) diminué du nombre des chiffres entiers du diviseur (un), c'est-à-dire qu'il aura trois chiffres entiers ; le quotient est donc 153.

2« Diviser 0,00953 par 0,0006237. Nous ramènerons encore la question à diviser 953 par 62,37; les trois premiers chiffres du quotient sont 153; le quotient doit d'ailleurs avoir à sa

partie entière un chiffre de plus que l'excès de trois sur deux, c'est-à-dire deux chiffres; ce quotient est donc 15,3.

517. Considérons rAaintcnant le cas où le dlridende est plus petit que le diviseur. On ramènera facilement ce cas au précédent, en avançant la virgule d'un nombre suffisant de rangs vers la droite dans le dividende ; on déterminera le quotient, comme dans le premier cas, puis on y reculera la virgule vers

^ la gauche d'autant de rangs qu'on l'avait avancée vers la droite dans le dividende.

1* Diviser 0,ô237 (ou 0,624) par 95,3. J'avance la virgule de trois rangs vers la droite dans le dividende, afin d'avoir un nombre plus grand que le diviseur, et j'ai 624,0 dont la division par 95,3 donne 6,54 (516); reculant la virgule de trois rangs vers la gauche, il vient, 0,00654 pour le quotient cherché.

2» Diviser 2,4 par 62,721 (ou 62,7). J'avance la virgule dé deux rangs vers la droite dans le dividende, et je divise 240 par 62^7. Les trois premiers chiffres du quotient sont 384; comme ce quotient tombe sur la moitié à gauche de Téchelle, il a uu chiffre entier (trois moinsdeux), et est 3,84; en reculant la virgule de deux rangs à gauche, on aura 0,0384 pour le quotient cherché.

518. Ainsi, nous sommes actuellement en état d'effectuer la multiphcalion et la division de nombres quelconques entiers ou décimaux. Il nous reste à indiquer un autre procédé que Ton peut employer pour effectuer ces deux opérations, au moyen de la Réglette renversée.

Supposons qu'ayant retiré la Réglette de sa coulisse, on l'y introduise après l'avoir retournée bout pour bout, de manière que ses chiffres apparaissent à l'envers pour l'opérateur qui lient la Règle droite. Il est facile de voir que si l'on place le niulliplicateur,lu sur la Réglette, au-dessous du multiplicande, lu sur la Règle, le produit se trouvera soit sur la Règle au-dessus du 1 de la Réglette, soit sur la Réglette au-dessous du 1 de la Règle. Il est évident, en effet, que dans les deux cas la longueur correspondant au produit est égale à la somaie des lon-

giie^^ Mriwpaadani ftu& deuiL facteurs» Boit à mulliplieri par exemple, 6 parQvL'opAratkms'mdique delà manière suivante s

Hêgla \ t jmtAûpHe^ i^ (ffltttti^ie*) g» (pfrtmt).

Recela mvmtè. &l (p^âdt) d (iâuiupliû*'; « (Uttiiipii(^ i

On etfeetuera la division avec la même facilité; cette opératioa s'indiquera ainsi qu'il suit (division de 54 par 6) :

Règto 1 6 (diviseur) 9 (quotient) &4 (ftifrteirt <>,

MlièttS Itéilfeme. M (di¥idl»idë) 9 (^iiôtiélit) 6 (ttiviseur) 1 "

Ainsi) en opérant avec la Réglette renversée» on pétii lire simultanément lé résultât sûr deux échelles différentes. II y a un certain avaâktge dans cette doublb lecture, dont Tune Sert à vérifier Tautre.

Les principes relatifs à ta dètermiliatioh dû nonàbrè des cliiiTres, soit du produit, soit dii quotient, sont d'ailléûfs applicables à la position renversée de là BTéglêlie. Ainsi, torsqilè la lecture du multiplicande el dû produit se (ait suf lès deux moitiés difîéreules de la même ééhellé, le produit à àlitatit de chiffres qu*il y eti a à la fois dans les detix fa6teul*s, etc.

518. La division avec la Réglette droite, lorsque le dividende et le diviseiir m coitespôndém fii l'un ni Tàutre à im des traita de la g^râdualiDn tracée Èur leià échelles, exige qu'on mette en regiird ruû de l'autre deu^t points dont la posltioû donne lieû & t}ueique mtertitude. Av^^e la Réglette renversée, il sera plus facile d'ajuster le chiilre 1 i&0U3 le point qui corr^pond m dividende, et de lite ensuite le quotient eôrreepontfantmtlitiMir.

Au edàtraire, dam la multipUéation, il sera plus ctimmodc Je Rit tis detut facteurs avec k Réglette droite.

«M. Prop^MMiMs û(mm& i^erelM» lei qâ6âito&6 sui^ vftfitési

t wM0i. ScHt) par a&tttiptoi à fo^aâer lèê neuf |ir«ii^«ri multt*

pies de ses. ramène le 1 de la Réglette sons 365 de la Règle, et^ sùns changer de place la Réglette supposée drùite^ }e lirai simultanément sur la Règle les nombres 365, 730, 1095, U60, 1625, £190,2555, 2920 et 3265, au dessus des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6 et 9 lus sur la Réglette.

Hègle. 365 7 èO i095 1460 1825 2190 2555 2920 3t»S

Réglette. ^ /' 2 3 4 5 6 7 6 9

2"* Diviser v/fie suU4 de nombres variMespar um mime quat^ tHé, Soit à diviser les nombres 12, 18, 24, 30, 36 {nr 6. Je pliM» le 1 de la Réglette sous le 6 de la Règle^ et, sans changer depku» la RégleUe supposée droite^ je lirai sii.iullanémcnt sur la Réi^letta les qbutlents 2, 3, 4, 5 et 6 au-dessous des dividendes 12, 18, 24, 30 Cl :.c ?uf sur Li Règle.

Règle. 6 12 18 24 30 36

Réglette. >» 1 2 3 4 5 6

Remarquons qu'en rentersaiM la Rêgi^te, il ett ^ Impos* sîble de résoudre ces deux questions au moyen d'une saule lecture stmullanée.

dP Dicieer un nomàre contimu pc^ «us smte de quaniUés wrkh bUs. Soit à diviser successivement 360 par 2, 3, 4, à, 6« Après aToir reaversé la Réglette, j'amène sou chiffre 1 sous le ditidende 360 lu sur la Règle^ et, sam changer de place la téglem renversée^ Je Us simultanément sur la Règle les quotients successifs 180, 120, 90, 72, 60 correspondant «ix dinseurs2»3, 4, 5, 6 lus sur la Réglette.

Règle. 60 72 90 120 180 360

Réglette renversée. . «-$ 6 5 4 3 2 i

Si I « Nous avons dit (SOT) qui! existait, à la partie inférieurt de la face principale de la Règle et ao^essous de la Réglette, une échelle portant la désignation car. Les divisons de cette échelle sont respectivement ie double des divisions correspooliimcs des èctielles de la Règle et de k RégleUe. 11 s'enstii*

que sur cette échelle la distance du cbififre 1 à la division 3, par exemple» est égale à deux fols la distance, sur la Réglette, du chiffre 1 an même nombre 3, et que par conséquent elle représente le logarithme de 3*=9; donc le 3 de l'échelle, des carrés doit correspondre au 9 de la Réglette. Ainsi :

Pour trouver le carré d'un nombre donnéj on cherche ce nombre sur VécheUe inférieure j et on lit son carré sur la Réglette immédiatement au dessus,

11 faut remarquer avec soin que, en ce qui concerne les carrés, les lectures sur la Réglette ne peuvent plus se faire comme dans la multiplication et la division, où Ton prenait à volonté les multiples ou les sous-multiples décuples des nombres inscrits sur l'échelle.

La règle que nous venons de donner ne présente aucune . diftlculté, lorsque le nombre dont on cherche le carré est compris entre 1 et 10. Quant aux autres cas, on les ramène tous à ce premier cas ; il suffit de multiplier ou de diviser le nombre proposé par 10, 100, 1000, etc., de manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 10 ; on cherche le carré du nombre ainsi obtenu, et on divise ou multiplie ce carré par le carré de 10, par le carré de roo, parle carré de 1000, etc., suivant que Ton a multiplié ou divisé le nombre proposé par 10, 100, 1000, etc.

Soit, par exemple, 0,008247 à élever au carré. Je multiplie par 1000, et je cherche le carré de 8,247 ou plutôt de 8,25 ; je trouve 68,0; en divisant ce résultat par 1000^=1000000, il vient 0,000068 pour le carré cherché.

322. Pour trouver la racine carrée cfun nombre donné^ on cherche ce nombre sur la Réglette^ et on lit sa racine sur F échelle inférieure, immédiatement au-dessous.

^ Cette règle s'applique à un nombre compris entre 1 et 100. Tous les autres cas se ramènent à celui-ci, en multipliant ou divisant le nombre proposé par 100, 10 000, 1 000 000, etc., de manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 100; on extrait la racine du nombre ainsi obtenu; cette racine est com-

LOGARITHMES. 24 b

prise entre 1 et 10 : puis on la divise ou multiplie peir 10, 100, 1000, etc., suivant que Ton avait multiplié ou divisé le nombre proposé par 100, par 10 000, par 1 000 000, etc.

Soit, par exemple, à extraire la racine carrée de 0,4. Je multiplie par 100, ce qui donne 40, dont la racine carrée est 6,32; ' divisant ce résultat par 10, il vient 0,632 pour la racine cherchée de 0,4.

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