a;: 2 nO:iOt:îf:* 140: 10 :u

d'Où

«=:2.^t==2.24^4«; Jkâtt5.24«!fcl20;

et, en effet, la somme de ces trois nombres est 240.

LVII. PûHàptt 191 en trûU punies uttsë que la premièn styaàto seCMée :: 6 t 5, a( ^tie ta prefniète soit à ta trxnsième :: lu : o.

Représentons les trois parties inconnues par x^y^ z^ et nous aurons immédiatement

a?:y:: «:5, x:z::ib:s.

Si les seconds antécédents de ces deux proportions étaient égaux comme les premiers, elles acquerraient un rapport com uiun ea intervertissant l'ordre des moyens, et Ton retomberait dâûs te cas du problème précédent. Tâchons donc de rendre égaux les seconds antécédents* On y parviendrait évidemment &ï multipliant tes deux termes >du second rapport de la pre-* mière proportion par 15, et les deux termes du second rap* port de la deuxième par 6 : mais il sera plus simple d'opérer Sûr ces deux rapports comme si l'on voulait réduire les deux fractions ^ et -pâleur plus petit dénominateur commun (108). Le plus petit nombre divisible par 6 et par 15 i^ao; je le divise

successivement par 6 et par 15, et je multiplie les deux termes du second rapport de la première proportion par le premier quotient 5, et les deux termes du second rapport de la deuxième par le second quotient 2, ce qui donne :

a?: y:: 30: 25 ) ^,wq««x ( a?: 30;: y: 25 ).

partant, a? : 30 :: y : 25 :: « : 16, etc.

LVIII. Trois joiteurs qui s'étaient associés ont fait un bénéfice de 30 francs. Le premier avait mis 20 francs^ le second 60, et le troi^ sièm^ 70. Combien revient-il à chacun*?

Si les joueurs avaient tout perdu, celui dont la mise aurait été 2, 3, 4 fois plus ou moins grande que celle d*uu autre, aurait éprouvé une perte 2, 3, 4 fois plus ou moins grande; il est donc juste qu'il gagne au&si 2, 3, 4 fois plus ou moins que cet autre; donc les gains sont proportionnels aux mises. La question revient donc à partager 30 francs en parties proportionnelles aux nombres 20, 60 et 70. On trouvera ainsi que les bénéfices des trois joueurs sont 4 francs, 12 francs et 14 francs^ - LIX. Trois négociants s'étant associés ont fait un bénéfice de 4750^ On propose de le répartir entre eux, sachant que le premier avait fourni 2000' pendant 5 mois, le second 3000^ pendant 15 mois y et le troisième kOOO^ pendant 10 mois.

* Cette question et la suivante sont de celles que les arithméticiens nomment des règles de société simples et composées. On y admet que les pertes ou les gaii*s des associés sont proportionnels à leurs mises et aux temps penduut lesquels ces mises sont restées dans la société ; et Ton en conclut facilement que les pertes ou les gains sont proportionnels aui produits des mises par les temps. En effet, soit h le bénéfice correspondant à une mise m faite . peudaut le temps ( j le bénéfice correspondant à une mise m' pendant le

mî ih'

même temps t sera b — ; mais si 6 — est le bénéfice correspondant à la mise

m' faite pendant le temps t^ le bénéfice &' correspondant à la môme mise m' faite

m' V m'tf

pendant le temps t' sera b'=5 — ^ -, ou b'=&— ; c'est-à-dire que Ton a

ii' = — , oub':6::mV;iîU.

Le bénéfice produit par une somme qui est restée dans la société pendant 5 mois doit être le même que celui produit par une somme 5 fois plus grande placée srâlement pendant un mois : donc

2000' placés pendant 5 mois=2000f.5 ou lOOOO' placés pendant un mois»

On verra de même que

3000' placés pendant 15 mois=3000M5 ou 45000^ placés pendant un mois« 4000'. id 10 =4000^.10 ou 40000' id. id.

Ainsi la question revient à celle-ci : Trois négociants ont fait un bénéfice de 4750' ; on propose de le partager entre eux^ sachant que leurs mises respectives sont 10000', 45 000' et 40 000'. Le premier recevra 500*, le second 2250', et le troisième 2000'.

LX. Trois marchands se sont associés pour fournir à un ri' giment, le premier 510" rfe drap rouge^ le second 2000" cte drap bleu, et le troisième 3900" de toile. La qualité du drap bleu est les ^ de celle du drap rouge^ et le prix de la toile est le huitième de celui du drap bleu. On demande ce qui revient à chacun swr un bénéfice de a750'.

Réponse. Le premier a gagné 765', le second 2400', et le troisième 585'.

S m. QUESTIONS SUR LES INTÉRÊTS.

On appelle capiM la somme que Ton prête ou que Ton place, et intérêt celle que Ton se Tait payer par l'emprunteur pour s'indemniser de la jouissance de ce capital pendant la durée du prêt ou du placement.

Le taux de Tintérèt est la somme que rapporterait un capital de 100 francs prêtj ou placé pendant un an. Létaux s'indique ainsi :'4 p. 7çi c'esl-à-dire 4 pour 100.

L'intérêt est dit simple^ quand le capital reste le même durant tout le placement. On dit au contraire que les intérêts sont composés^ lorsqu'à la fin de chi^que période de temps cou-

tbi moEtfeiu».

Yeiuitt, à ta fei àe ebsep^e aonée, par exemple, an jokit les Înlèfèt9 aa capital priaiîtif, pow former aa noov^aq ea^tak 9aî» à aoa laiir,. i^rodtiira ii^èrè^ pendaDtkt période de temps suivante.

Les questions relatives aux intérêts simples se résolvent k Taide des deux principes suivants : [•'l'intérêt, lorsque le temps ne change pas, varie dans le même rapport qiie te capital ; 2* Tinlérêt d'un même capital varie d^ns. le même rapport que. le temps du pUcemeut»

Soit, en général, uu capital Â, placé pendant nn temps t^ au laBX ♦ ; q»el sera nntérét I produit par ce eapftalî On posera ^tnà k ^estk», qai a*eat autre qu^une règle de trois r

VOQ* rapportent en. 1 au* , . Vy

et Ton tro»vere feeflemwit que

T)Blte est ter formirfe générale dea tntêrks^ simples.

iXi. Um pm^onm emprun» AOO^ à m^m <k^. 5 poun l^ par an ; on demande quel intérêt elle devra payer au bout ds s^ mais.

Cette questjbwfc reviaot èi c^^(â : ïQ^ rappoKtfint 5* d'intérêt en 12 mvis : combien 800* produiront-ils en 7 mois^ et rentre 4aaa>prob)è«mLia.

mp(nm : d3^,sa^

Si V(m avail^ Youte vésoodre ca^ questioii am inoya» dé la formule générale, on aurait remplacé^ A par aoo^, i pi^r5, el f par ^; an «ffi»l^ i rapréseiOaitt axdasiveoi^nt IfiHC^ét de VOû. francs, paadant wft fm,'t reprâoeute le teinps. exprimé, sm ann^; puisque le temps est 7 moiS| oa âewa deiîc pi'etidi^

par êMffffurrêafêi^ m hm ék éé mipif i9¥ tâht en prtnûtpA qkim ihiàtiUf

Llntérét du capital SOO' est évidemdiéDf 99, dé È&Mê qttêh question n'est autre que celle-ci : 100' rapportent 5' dHntérét en 12 mois; en combien de UfmpftOCf f^apporteront-ils 36ff

Réponse : 10 mois 24 jours.

LXIII. À combien pour 100 par an faudrait-il placer SOQ^pour retirer 36' d'intérêt au bout de ajoura?

Ce problème revient au suivant : dOO' rapportent 36< en 96 jours ; combien 10(/ prûduiseniHls en 360 jours?

Réponse : 16',87.

Si Ton avait voulu appliquer h formule générale, on y aurait fait < = ^7j. (Dans les questions d'intérêt, on considère chaçnn dés doure mois dé Taiinée comme composé uniformément de 30 jours, ce ({ni revient & compter seulement 3*60 Jours dans l'année.)

LXIY . Quel est le capital primitif de 500', somme reçue UM m principal qu'en intéritê au bûui de S m^is, finté^H étam dé 10 pour iOO-paranf

On trouvera faeileineift que l'iâtèrfrl é'im franc plAeé à l(r% par afn est^' pour &B)oitf^ el(|u'aiâf)i l' vastl'+^âc IfTao bwM de 5 moisf lanten prineifMtl qa^nik idléfèts^ 0oftfey|i«ci# aivir li valeur d'uo capital au bout de 1^ mois et àr }(k%^ î4 fiamè mâttipticf 1^ par ce cap»taL Par eonsé^uen^, 500' ett te prodiiîlé9|{ péi le capital inconnu : donc- on obtiendra ee cdpilak eadhrisaM 500' par fî, ce qui donne 4i^*=4S0'.

On peut aussi résotidre cette question m> moye» det {Hro^r<* tions,^ de la manière^ suivante ;

Représentons par â? le capital incôniiu et par y^^» iâtèrM pouc 5 mois : nous trouverons une relation entre ce capital et son intérêt en nous proposant celte question : Le capital 100' rapporte ttf m t» moi»; 0omHen kf àc^iài if rapparteta-Ml m 5 mxiis? Nous obtiendrons la sotulion de ce problème par la proporfion

Divisant le premier moyen par 5 et multipliant le second par . ce nombre (S53)y pour que rr forme seul le consé^iuent du premier rapport, il viendra

Donc, en vertu du principe du n"" 2S8^ nous aurons

i200+50:a?+i/:: 1200: a?, oubien 1250:500:: 1200:0;;

d'où a?=ûûo^^mo = 480'.

LXV. Une personne qui a besoin d*argent comptant propose^ le 4 mai, à un banquier de lui escompter un billet de SOO^ payable fe 12 décembre suivant. Le banquier prend Tescompte à raison de 6 pour 100 par an : quelle somme remeUra-t-U au porteur du bUlet?

U est clair que le banquier, sortant de sa caisse une somme qui ne doit y renU'er que dans 222 jours*, doit retirer un certain intérêt de cette somme, lequel s'évalue à raison de 6 pour 100 par an d'après les conditions de l'énoncé, et dont il devra trouver le remboursement à l'échéance du billet. La question proposée revient donc à celle-ci : Qud est le capital primitif de 800% somme reçue tant en principal qu*en intérêts au bout de 222 jours, Vintérit étant à 6 pour 100 f

Héponse : 771^,46 (Problème LXIV).

Majsles banquiers n'opèrent pas ainsi: ils trouvent plus commode de regarder le montant du billet comme un capiial ; ils s'en font donc payer rinlérét, et retirent par conséquent l'in-

* Oû calculera le nombre de jours du 4 mai inclutivement au 12 décembre exclusivement (28 -f 30 + 31+31 + 30 + 31 + 30+ 1 1 =222) . Dans le commerce où la banque, on compte le nombre exact des jours; mais, pour simplifier les calculs, on regarde le jour comme ^ de Taonée, et non comme j^^, ainsi que nous Pavons déjà dit (Problème LUU).

PftOBLSlIES. 261

térèt de l'intérêt de la somme quMls devraient remettre au porteur du billet. Ainsi ils cherchent quel est rintirét de dOO' pour 22% jours j le taux de V intérêt étant de 6 pour 100 par an. On trouvera de celte manière (Problème LXI) que le porteur du billet recevra 770'y40, Tescompte étant 29',60. On dit alors que V escompte est en dehors, tandis que dans la première manière d'envisager la question il est en dedans.

Ainsi on appelle escompte combiercial ou en dehors la re^ tenue qui est faite sur le montant Sun» créance qui ne doit être payée qu'au bout d'un certain temps, et dont on veut être payé avant l'échéance, La manière dont se calcule cette retenue dans la banque ou le commerce n'est pas équitable ; on retient, en effet, rintérét de la somme portée sur le billet (ou de sa valeur nominale), et on ne paye néanmoins qu'une, partie de cette somme.

LXVI. Un banquier qui a un compte cootant avec un négociant a reçu pour lui: !• 4528' le 16 février 1847 ; 2« 3256',75 le 13 mars; 3^1520' le 1*»^ avril; déplus^ il lui redevait, au 31 décembre 1846, 2321', 15. D'un autre côté, il a payé pour lui 2500' le \k janvier, et 5000' le 3 mai. On propose de régler le compte au ZOjuin 1847, sachant d^ ailleurs que le banquier s'est réservé une commission de ^ pour 100 sur les sommes qu*il a encaissées, et que létaux de IHntérit est de 5 pour^ 100.

On pourrait évidemment résoudre la question en calculant d'une part ce que le banquier doit <iu négociant, tant pour les sommes qu'il en a reçues que pour leurs iniérêts, et d'une autre part ce qui lui est dû, tant pour les payements qu'il a faits que pour leurs intérêts et pour son droit de commission. Mais on a trouvé un moyen très-ingénieux d'établir un compte courant, et qui permet de te régler, presque sans calculs, le jour qu'on le désire.

Il est clair que, si le banquier qui areçu 4528'le 16 février 1847 en paye l'intérêt depuis le 31 décembre 1846 jusqu'au jour où l'on règle le compt?, le négociant lui devra l'intérêt de cette sommo depuis le 81 décembre jusqu'au 16 février, c'est*à-dire pour

9êt PaOBLÈHBt.

^7 jooni» On portera donc U premkr de ces intérèCe au doft da baoqitleF, et la seecnd 4 son avoir.

Or, puisque iOO* rapportent 5* en «60 jours, Hntérêt fxjv franc p0W un jour est 7^ «e? ^gi, et par conséquent le capital khf^ rapportera en 47 jours ftfflli j SjViZ gpig&||Ju. Ainsi, poat ofKiîr finiérA d'un capital à 5 potcr lOO par an^ H faut multiplier le centième de ce capital par le nombre des jours pendant lesquels il a Hé placà^ et dimsâr Is produit {tes banquiers F appellent le tfoilBRCl) par It, de sorte que la somme des intérêts produits par âiffàretHs capHavm êst égale à telle 'des «ombres correspondants dkiisée parl^*,

D*après cela, le jonr nnème oft une somme entre dans sa caisse ou en sort, le banquier porte en regard à son avoir ou à son DOIT le nqubre correspondant. Ainsi il écrira vis-à-vis de 4528 et à son avoir le nombre SISS*^*, produit de 45,fi8 par 47.

Yeutron maintenant régler le compte aq 30 juin, par exemple; QP M reppeliera que le banquier doit l'intérêt de chacune des sameief qu'il a reçues depuis le ai décembre jusqu'au 30 juin, c^^St^^dire pour là) jours, et qu'il a (on lui doit) Tintérôt pour le fnftme temps de chacune de celles qu'il a payées s de sorte qu*it foudra ainsi porter à spn doit ou à son avoir l'intérêt pour 181 jours de la différence entre la somme des capitaux qui sont entrés dans sa caisse et la somme de ceux qui en sont sortis, différence qu'en style de banque on SLpptWe la balance des eapi-

^ €0 vomlvelt, cocrei|iondaBt «u taux de 5 pour 100, p'appelle le divisBçm ^ cb^ug tauv GOFr9»pQQ4 ua 4ivissvr qui ea dépQiu) et m dépend que de lui. Ainsi, les diviseurs correspondants aux taux de 3 pour 100, 4 pour 100,

l pour 100, sont respectivement 120, 90, 80. En général, si Ton appelle A le eapital, t le taux ée rîQtéfét, n le eembfe de jours pendaet lesquels ce

capital a été placé, la valeur du nombre est Nr= — xn, celle du diviseur est9«^^, stVmtl^ «9U^^^

** Ce nombre est calculé à moins d'une demi-unité: car on conçoit qu'en le 4lvi«uil par Vt, la quetient ne sera pas erroné d'«n centime.

raûBLtilE8.

taux. Elle est ici, en fiiveur du négociant, de 1 1 6S5%dO— 7500' 3:4125^90, somme quipour 181 jours produit Iokombrs 7468, que l'on porte au doit. On voit alors que la balance des nombres est 8112, dont le quotient par 72 fournit un intérêt de 1 12^,67 que Ton écrit dans la colonne de$ sommes reçues, puis on additionne cette colonne, ce qui donne 11738^57. En ajoutant ensuite aux payements faits par le banquier sa commis* sion, qui, à | pour 100 sur une somme de 9304^75 qu*il a encaissée, produit 3I',02, on trouve pour résultat 753l',02. Ainsi le banquier doit 11738^57, et il a 753l',02 : donc le négociant est créancier de la différence» «'6St-4-dire de 4207^,55.

On dispose ordinairement les comptes courants comme ciaprès :

Doit Jf. Jf*** son compte courant chez N***, banquier. Awîr.

Janv, Mai..

Juin ,

fr. c

Payé 2500, »

Pavé 5000, »,

BHianre de- capitaux 4125,90 Comtoi>sitnîii sur 9394,75»: 31,02, Cfé»ncief pour balance .... . . 4'i07,55

Dec.

Févr.

MAra.

Avril

rr.

Créancier....

Reçu

H«vu. .«

iniér«t êwt \à balance des nombres. . ..

' Il veau, vaiewlr !• juin 1847. .«

fitfiS

èit9

XVn. Um personne qui a besoin <f argent prtfpoae^ le %Ojuin 1853, à un banquier de lui escompter les effets suivants : V* un billet de 600 francs payable k 5 septembre 1853; %• un bUlet de 850^50 payable le \^ décembre 1858; 3* Un billet de 1000 francs payable le 10 jarnHer 1854. U banqui^ prend Vescompte à raison de 6 pour 100 : quelle ^omme remetlra4^ au porteur des bUkts?

On appliquera avantageusement à îa solution de eeitt» qafit«

264 PROBLËMES.

lion la méthode des nombres et dés diviseurs. Lé diviseur correspondant au taux de 6 pour 100 est 60; on disposera le calcul de la manière suivante :

Capitaux. Dates. Jours. Nombres,

600' du 20 juin au 5 sept. 77 462

850,50 » l'idée. 164 1395

1000 » lOjanv. 205 2050

2385,38 (à payer) ; ^ = 65', 1 2 (escompte).

On a compté les jours pour chaque effet, et formé les nombres correspondants; puis on a divisé la somme des nombres par le diviseur correspondant au taux donné. On a ainsi obtenu l'escompte que le banquier relient sur le montant de la valeur nominale des billets.