S IV. QUESTIONS DIVERSES

LXXIL Trouver au bout de combien d'armées, la population de la France sera doublée ^ en supposant que l'accroissement^ qui e^ -actuellement de j^ par an^ se maintienne le même.

On verra facilement (Problème LXXI) que la population de la France sera, au bout de n années, les (fJJ)* de ce qu'elle est actuellement, de sorte que, pour qu'elle soit doublée, il faudra que ce nombre soit égal à 2. Donc le logarithme de 2, c'est-à-dire

0,30 1 03 = log {{II)'' = (285) n . log (fg^) = n . 0,00223.

Ainsi 0,30 1 03 étant le produit du nombre inconnu n par 0,00223, on aura la valeur de n en divisant 0,30103 par 0,00223, ce qui donne 135 ans environ.

LXXIII. Un corps qui tombe dans le vide à la surface de la terre parcourt 4"»,9 dans la première seconde de sa chute; le triple de ce nombre dans la deuxième, le quintuple dans la troisième, le septuple dans la quatrième, et ainsi de suite. Gela posé, on laisse tomber une pierre dans un puits de mvne^ et F on trouve qu'elle est arrivée au fond au bout de n secondes. QwUe est la profondeur du puits, en faisant abstraction de la résistance de Tair, qui est peu considérable si la pierre est lourde, et du temps que le son emploie à se transmettre?

Les espaces parcourus pendant la première, la deuxième, la troisième..., seconde de la chute, forment une progression par ditTérence dont la raison est le double de 4",9 ; de sorte que la profondeur du puits est la somme des n premiers ter* mes de cette progression. Hais il est évident que celte somme est égale à 4°',9 multipliés par la somme des n premiers nombres impairs, c'est-à-dire par n' (Exemple du n* U7I) ; de sorte que pour obtenir la profondeur du puits U faut multiplier le nombre 4",0 par U earré du nomàre de secondes que la pierre a mis pour arriver au fond.

LXXI V. Quelle somme devra-t-on remettre à un agent de change pour acheter 800 francs de rente sur l'état en 3 pour 100 ^ et 500 francs de rente en 4 ^ pour 100, sachant : 1* que^ le jour de Vopèrationy le cours de la rente 3 pour 100 est 76^,75, H quz celui de la rente 4 ^ pour 100 est lOlSlO; 2* qu'il est dû à Vagent de change un courtage de 5 pour 100 du prix de la rente achetée?

Puisque la renie 3 pour 100 est à 76', 75, cela signifie que, pour acheter 3 francs de rente, l'agent de change devra donner 76',75; donc, pour acheter 800' de rente 3 pour 100, il devra donner 2ii^^i^^fiûfi = 20466',67 (Problème LUI). De môme, on trouvera, que pour acheter 500 francs de rente 4 ^ pour 100, il devra donner ^ Q<'^V^"<> = 11233',33. L'agent de change

dressera donc son bordereau de la manière suivante :

800' de rente 3 Vo à 76',75 20466',67

500' de rente 4 ^ 7o à 101',10.. . . 11233',33

3l700',00 Courtage (Va p. Vo) 39',63

On devra donc remettre 31739',63 à l'agent de change.

LXXV. Combien, pour une somms de 22 000 francs ^ pourrort-^n faire acheter de rente 3 pour 100 au cours de 76',75?

On commencera par observer que là somme de 22 000', remise à l'agent de change chargé de l'opération, se compose de la somme nette employée à l'achat de la rente, plus de ^ de cette somme pour courtage; donc 22 000' valent les gjj de celte somme; donc cette somme est 22 000'xfgû. Or, pour 76',75 on achète 3 francs de rente; donc, pour 22 000'. |^, on aura rêr^X^^jl^ ^^ncs de rente, c'esl-à-dire 858',85.

On trouverait tacilement qu'en achetant du 4^ pour 100 au cours de 10 1', 10, on aurait eu, pour la même somme de 22 000'^ 978 francs de rente.

LXXVI. Une personne a acheté une propriété 50000' payables dans dix ans et à raison de 5 pour 100 d'intérêt par an; mais

PROBLËMëS. 269

elle s'est réservé la faculté d^ acquitter sa dette au moyen de dix payements égaux effectués à la fin de chaque année* On demande quelle est Tannuité, c'est-à-dire quelle est la valeur de chacun de ces payements.

Od voit d'abord que la dette à acquitter se compose du ca* pital 50000' et de ses intérêts composés pendant dix ans, et qu'ainsi sa valeur est (Problème LXXI) 50000^ (f^)".

Cela posé , admettons que l'on paye un franc seulement au commencement de chacune des 10 années, et cherchons quelle partie de la dette on aura ainsi acquittée. En payant 1' au bout de la première année, le débiteur anticipe ce payement de 9 années, de sorte qu*il se prive, en faveur de son créancier, de ce capital et de ses intérêts composés pendant 9 ans, (;'est-à-dire d*une somme égale à (f^)*; donc il éteint de cette manière une partie de sa dette égale à (J^)'. On verra de même que les payements effectués à la fin de la 2% de la 3*...., de la 9" et de la 10' année diminuent la dette respectivement de (^)', (|i)'..., 1^ et de 1' ; le débiteur aura donc acquitté une somme égale à

(îi)'+(^)'+(!i)'+...+fi + i,

c'est-à-dire à la somme des 10 termes d'une progression géométrique croissante dont le precnier terme est 1, le dernier (fj)*, et la raison M. En appliquant la règle du n"" 276, on trou\era,

pour cette somme, ^ — p = [(|i)" — 1].20. Telle est donc la

portion de la dette que le débiteur aura éteinte au moyen de 10 annuités d'un franc ; donc , pour l'éteindre entièrement, il faudra que chaque annuité soit d'autant de francs que [(fj)^* — 1].20 sera contenu de fois dans 50 000'. (f^/*, c'est-à-dire que l'annuité soit égale à

5 0000. (1^)** 2500>.(|^)*' [(|l,io l].20- (ti/^-l •

Pour eflèctuér ce calcul , on prendra la différence des logarithmes de 21 et de 20, on multipliera cette différence par 10, ce qu^ donnera le logarithme de (^y^\ on cherchera le nombre correspondant dans les tables, et, en en retranchant l'unité, on

270 noBifein.

aura la vateur du dénominatâur» Il sera fieicile d'aTonr eiisoito k logarilhme du numérateur, de sorte qu'il n*j aura ptu» q\fk en sou&lraire le logaribbirie du dénoo^inateur, et à chercher le nombre correspondant au logarithme résultanU Qel trourera ainsi que UannuUé eal de ^kl^^^è*

LXXYIi* Une eampagniê ùffre^ p&ur un eetpital de 1000' ptaeé sur la Uie ê'vn enfant nouifpeaw^fiéy 3660^ payabtes à $a mngtième année. Il résulte des tables t>z MORTAuri que^ sur 1 000 000 d'ê%^ f<mss nés la mime arniée, U n'em reste après ^ ans que 502218. On demcmde quel sera le ténéfiee de la eomfaffnie si elle assufe lOOO enfants?

La somme des mises e^ de 1 000 000^^ capital qm^ pkeé k i«k térèt« composés et au: taar de 5 pour 100 par ai», r<vadni SS5d'29l'a€ibou( (te 20 arvs. Ofy pubifoestfr lOOOOOOd'ea^ £ints nés la mêmearaiée, il n'en reste que 5Ct 21 6 apiès 20 at», sur lOOO il en restera 502 ; done k compagnie aura à payter, au bout de 20 an&» 3660' X 502ss 1 837 320, et pnr conséqœûi son bénéfice sera de 2653291 — l &37 320 = 815 971.

LXXVflI. Vue personne âgée de soixante ans possède un capital qt/f elle voxd à fonds perdu^ moyennant une rente viagère de 7600^ par an. -On demande quelle est la valeur de ce capital, en supposant que ktauof de Viniêrit soit de ^pour 100 ^ qu'une persomte dffSe de soixante ans ait la probabilité de f>ivre encore treise ans,, et on admettant que la renie de 7600^ doive tire acquittée par manee M commencement de chaque emnée.

li &uit de l'énoncé de ce problèim qee l'aequéreur dueapital a dû supposer qu'il aurait à faire treize: pajerneiite de 760tf chacun, le premier étant effectué le jour même de la signature du contrat de veniez €t le^ dernier au commencement de la treizième année. Ainsi, ati commenxîcmenr de la treizième année, le rentiev aura) joui du premier payittienl pewfarnt donoii années, du second pendant onze années,, du^troisiàme pendant dix années, et ainai desuitev St. donc sa rente érait de. 1', et qja'autlieu de rem^loyeA pwr sea-beaoiniv îL^eùt^Ittcée chea

w teaqttîer auK u»% i» f^ pour 100 par aii,M Imaast aceur muler les intérêts, il se trouverait poMéd^^aKtetelreiuâiBA payement effectué, une somme égale à

Telle serait donc la somme que Tacquéreur du capital aurait déboursée, s'il n'avait eu à payer qu'une renie de l^. Ptris donc que la rente est de 7600', îl aura réeUemeut payé

mr- 1]. 2o.r«)a=r 152000. mv'- n.

«Or cette somme doit être égale à. la valeur (|a'aura acqvisa la capital inconnu dans rintervalle compris entre Le premier ai W dernier payement» c'estrà-dire pendant douze ans^ et cette Yakur s'obtient en muUipUaut ce capital par (|^"î danc on trouvera le capital cherché en divisant 152000. £(ii/*— 1] P*^*' (îé)" ce qui donnera

En effectuant les calculs d'après les indications données dans le problème LXXVI, on trouvera pour résultat 74960', 50. Telle est donc la valeur du capital demandé.