THÉORIE DB8 APPROXIMATIONS; ERREURS ABSOLUES ET RELATIVES

S36. Les quantités qui entrent dans un calcul sont souvent incommensurables ou ne sont connues qu'approximativement; il s'ensuit que le résultat de ce calcul n'est lui-même qu'approché, et diffère plus ota moins du résulukt exact que Ton

aurait obtenu en opérant sur lès valeurs exactes des quantités données.

. L'erreur commise sur une cpjantité peut être appréciée de deux manières: où en elle-même et d'une manière absolue, ou bien comme une partie de la quantité sur laquelle elle a été commise. Dans le l** cas, Terreur est dite absolue; ainsi, en mesurant une longueur, on a trouvé qu'elle était égale à 1250"»,73 : si l'on prend seulement pour cette longueur 1250"*,70, on commettra une erreur absolue de 3 centimètres. Dans le 2« cas, l'erreur est dite relative; ainsi, dans le même exemple, on a négligé 3 centimètres, c'est-à-dire 3 fois la ISSOVS^" partie de la valeur exacte; on a commis une erreur relative des j^^j^ de cette valeur. Ainsi nous appellerons ERREUR ABSOLUE la différence entre la valeur exacte d'une quan-tité et la valeur ^ approchée qu'on lui svhstitu^. Nous appellerons ERREUR RELATIVE le rapport de V erreur absolue à la valeur exalté de la quantité considérée.

537. Soit A un nombre quelconque^ entier ou décimal ^ composé de m 4-n chiffres; soit A! la valeur approchée de ce nombre^ obtenue en remplaçant par des zéros les n chiffres à droite du m"' chiffre significatif {dernier chiffre conservé à partir de la

gauche) : Verreur relative — - — commise sur la valeur appro^

cîiée A! sera moindre que ■ ,^ .

En effet, le numérateur A — A', ou Terreur absolue, est un nombre de n chiffres nécessairement plus petit que Tunité suivie de n zéros, ou que 1 unité de Tordre du m«* chiffre du nombre A ; le dénominateur A est un nombre de m-|-n chiffres, plus grand que Tunité suivie de m-j-n— 1 zéros, ou que 10*"* unités de Tordre du m"»« chiffre du nombre A; donc

la fraction — j — , c'est-à-dire Terreur relative, est plus petite que j^irT- Ainsi, soit A =1584372 16^; je prends pour valeur appro-

chée A' = 1584372000; on a m=7, n=3; Terreur relative A— A^ 1584372169—1584372000 169

est<^.

Soit encore A= 1584,37216975; je prends pour valeur approchée A' = 1584,372 16; on a m=9, n=3; Terreur relay^g ggj 1584,37216975 — 1584,37216 0,00000975

158437216975' '^ ^"^ ^^^ < ÎÔ^'

558. Si terreur relative commise sur un nombre cherché est moindre Ç'^Jq^j l'erreur absolue sera moindre qu*tme unité de r ordre de son m"* chiffre à partir de la gauche.

Supposons, en effet, que l'erreur relative ^^—r^ soit <-i-î

on en déduit, pour la valeur de Terreur absolue, A — A' <— •

Or A est plus petit que lO"» unilés de Tordre de son m^ chiflre ;

donc T^ et, à fortiori^ Terreur absolue est moindre qu'une

unité de cet ordre.

U ne suffirait pas que Terreui relative fût moindre que — ^

pour en conclure que Terreur absolue sera moindre qu'une

unité de Tordre du m*^ chiffre. En effet, soit T^<:: ^ \

on en déduit, pour Terreur absolue, A — A' <--A-. Mais

comme A est plus grand que 10**"* unilés de Tordre de son m"*' chiffre, on ne peut pas en conclure que Terreur absolue soit moindre qu'une unité de cet ordre.

559. Nous allons nous proposer de déterminer avec quel degré d'approximation il faut évaluer les quantités incommensurables qui entrent dans un calcul, pour que Terreur absolue commise sur le résultat de ce calcul soit moindre qu'une gran-

SB6 AmilDICK.

deur donnée r. Pour traiter cette question dans toute sa généralité'^y nous allons examiner successivement les six eas qui pourront se présenter, et nous conviendrons de représenter par e Terreur absolue commune dont les quantités proposées devront être affectées pour que le résultat final ne aoU pas

fautif de j.

Nous donnerons dans les notes correspondantes à chaque cas la valeur de l'erreur relative du résultat en fonction d^ erreurs relatives des données.

540. ADDTnoN. L'errcnr absolue totale ne peut pas évidemmeLt surpasser la somme des erreurs absolues partielles commises sur chacune des quantités à additionner; si donc la somme de m quantités incommensurables doit être erronée

d'une grandeur moindre que p il suffira que chacune d'elles ne

le soit pas de --T .

* Une partie de cette théorie exige des notions d'algèbre.

*' V erreur relative d'une somme est moindre que ta Mmme dêâ ertÈwrs absolues partielles divisée par la somme des valeurs approchées des quantités ccnsidéréêt, ces valeurs étant prisés par défaut. Elle est compriae entre laplus giande et la plus petite des erreurs relatives partielles; ainsi, soient A, B, C lef vateurs exactes ; €,€f, tf les erreurs absolues partielles : Terreur relative de la ttomme «1 ]«« erreurs relatives partielles sont

Soit

M aura

d'Où 'f<\^y

d'où «^<£c;

APFENDIGB, 287

Ml. Soustraction. Si les deux nombres étaient erronés dans le même sens, les erreurs se compenseraient en partie par la soustraction» de sorte qu'il suffirait que chaque nom*

bre fût exact à moins de r pour qu'il en fût de même du

reste.

Hais si les deux nombres sont erronés en sens contraire, les

erreurs s'ajouteront> et par conséquent il faudra calculer cba-

1* cun d'eux à moins de ^ •

849. MutTiPUCATiON. 1* Si un teul des fadeurg est ineom^ 'mmsurabkj il faudra que Terreur commise sur ce facteur,

multipliée par le produit P de tous les autres, soit plus petite

que r ; donc ce facteur doit être exact à moins de pr.

Exemple I. Supposons que Von demande le plus grand nombre entier contenu dans le produit du nombre incorhmensurable ic= 3,141592653.... par 17. Il semble qu*on pourrait résoudre cette question en faisant en sorte que l'erreur commise sur it fût plus petite que ■^; et comme ^ est > 0,05, on prendrait 3,1 pour valeur de ic, car la partie négligée serait ainsi moindre que 0,05, et à plus forte raison que ^. Le produit 3,1X17 = 52,7 est donc inférieur à Htc de moins d'une T^nîté. Or, on conçoit que si l'on prend 52 pour valeur de 17iç,

d'où Vonlire^ en additionnant,

On prouvera de même que ^^v^ >y

* L'erreur relative d*une différence est moindre que la somme des erreurs aJ}S(^iius partieUes des deux nombres à soustraire Vun de Vauêre, di9i9é€ par^ la différence des valeurs approchées de css quantités. On suppose le plus^ grand nombre approché par défaut^ et le plus petit par excès : l'erreur est

l'erreur dont 52,7 est affecté, étant ainsi augmentée de 0,7» pourra très-bien surpasser une unité, et que par conséquent on n'est pas sûr que 52 soit le plus grand noml)re entier contenu dans 177C. M. Gmlmin a donné la règle suivante pour lever cette difficulté* :

Si vous voulez U plus grand nombre entier contenu dans h pro-^ duit du nombre commensurable m par le nombre incommensurable a, au lieu de prendre la valeur desL à moins de i près, calculez-la à moins de rê:^* * ^^^^ Q^ '^ produit correspondant ne sera pas trop faible de 0,1; si alors le premier chiffre décimal de ce produit est moindre que 9, sa partie entière répondra à la question, car elle ne sera pas inférieure d'une unité km.a.

Mais si le premier chiffre décimal est un 9, vous prendrez une valeur de a exacte à moins de tuÀts,, de sorte que le produit corres-pondant ne sera pas trop faible de 0,01 ; alors si la partie déd" maie de ce pxoduit est moindre que 0,99, sa partie entière répondra à la question^ car elle ne sera pas inférieure d'une unité à m.a^ et ainsi de suite.

En conséquence, nous allons calculer ic à moins de ^^ près, et comme cette fraction est > 0,005, nous prendrons 3,14 pour valeur de it; le produit 3,14.17=: 53,38 sera donc inférieur à l^TT de moins de 0,1 ; ainsi 53 est le plus grand nombre entier contenu dans 17 ?7.

Si Ton remarque qu'en ajoutant 0,1 à 53,38 on obtiendra un nombre > 17^ et <53,5, on en jconclura que 53 est la valeur de 17 ic à moins d'une demi-unité près. ~ *

EXEMPLE II. Calculer le produit de ir par 4,729 à moins de ^ millième. Nous allons, conformément à ce qui précède, chercher quelle valeur on[doit donner à irpour que le produit ne soit pas fautif d'un dix-millième. Il faudra, pour cela, que cette valeur ne soit pas en erreur de^^inrnnroô=?=T7lTMi><^>00002; ainsienprenant pour la valeur de tt, 3, 1416, quantité quin'estpas

* Nouvelles Annales de mattiémaHques, V volume.

tropgrandede 0,00001, leproduit3,14I 3X4,729= 14,8566264 ne sera pas Irop grand d'un dix-millième. Donc, si on le diminue de 0,0001, le nombre résultant 14,8565264 sera plus pelil que le véritable produit ; ce véritable produit surpasse donc

14.856 de plus de 5 dix-millièmes ; il est d'ailleurs inférieur à