AB ^B"^! AB^B"*"Î
oe qu'il fallait démontrer. On eu déduit fueilemeolle caâ d'un Boàabre quel* conque de facteurs.
* l'erreur relative 44 Uk m** pui«»nc$ 4*un mmUm 9st vmndre que m fou Verreur relative de ce nombre.
548. Division. I® Le diviseur est exact et le dividende est incommensurable. Soient A et B le dividende et le diviseur, et A — e la valeur approchée, par défaut, du dividende; le quotient
approché sera représenté par —g—, et, le véritable Tétant par g, l'erreur commise sera g : donc
2® Le diviseur est incommensurable j mais le dividende est exact. Supposons que Ton prenne le diviseur par excès et représentons-le par (B + e) , le Téritable étant désigné par B. L'erreur commise sur le quotient aura pour expression
A A Ae
B B + e^BcB+e)'
de sorte qu'on devra avoir
Ke 1
d'où l'on tire ôAe<B*+Be, puis (ÔA-.B)e<BS et enfin
Désignons par B' un nombre quelconque <B; B'^ sera <BS et 5A — B' sera au contraire'> SA — B ; par conséquent, la
* V erreur réUitive du qiMtimt^ lorsque U dividende seul est incommensurable, est égale à Verreur relative du dividende. En effet, Terreur absolue du quotient est g, le quotient exact est g ; Terreur relative est donc
^ : - c= ^ , c'est-à-dire égale à Terreur relative du dividende* B B A'
fraction Tj—g7 sera < v.y de sorte qu'on devra prendre
e < jT—^ [4] » ou plus simplement « < ir P]»
car il est évident que ^r < tt^Zw •
S*" Le dividende et k diviseur sont incommensurables. Je suppose que Ton prenne le dividende par défaut et le diviseur par excès ;
ainsi, le véritable quotient étant K 9 le quotient approché sera ç^, de sortequererreur commise sera
A A— e (A+B)e B BH-e""B(B+6)* on posera donc
(A+B)e ^ 1 ,, . ^ B* B(B+^^Î' ttoa e^___..
Soient B' un nombre quelconque < B, B'^ au contraire un nombre >B, et A" un nombre >A ; on aura évidemment B'*<B", SCA'^+B'O — B'>5(A+B)— B, de sorte que la fraction
a(A^^+B^O— B' s^ramoindre ^^^ ^(j^^bj^b ; par conséquent la limite de l'erreur qu'on devra commettre sur le dividende et sur le diviseur sera donnée par la formule
* L'erreur relative du quotient, lorsque le divisetir seul est ineommenr-
surahlej est moindre que Verreur relative du diviseur. Nous venons de voir,
en effet, que l'erreur absolue commise sur le quotient avait pour valeur
Ae A
dans ce cas . ; or le quotient exact est = ; Ferreup relative est donc
BfB + fl) * B^BTê* quantité plus petite que |, c'est-à-dire que l'erreuK •lative du diviseur.
294 APPENPICK.
OU plus simplement par
846. DADsIa plupart des applications, le (ïuotîent que l'on substitue au véritable doit être évalué en décimales ; mais alors si Ton néglige dans ce quqtient les chiffres qui ^ut d'un ordre inférieur à celui dont est l'unité décimale qu'on a prise pour Umtie de l'approximation, il pourra se feire que cette erreur, ajoutée à celle dont ce quotient est déjà affecté, soit plus grande que celle que l'on yeut commettre. On évitera cet inconvénient en appliquant encore ici la règle que nous avons donnée à la page 288 pour la multiplication, c'est-à-dire que l'on prendra pour e une valeur 10, ou 100, ou 1000 fois plus petite que celle donnée par les formule» que nous venons d'établir.
Exemple. Calculer h moins dSm demî^centième pr^ Iq va-
Uv/r de la fractiov^ — j— , dans laquelle w représente le nombre
3,1415926535.... Pour appliquer ici la formule [7], nous poserons S^2000, B'=4, l, B"=4,2, et A"=2,2, ce qui donnera ^<Caûîî o.^ .4=^4lïï^> 0^ c^t'^ fraction étant plus grande qu'un millième, nous devons prendre la valeur de f à moins de 0,001, ce qui nous conduit à diviser 2,141 par 4,142, car nous fipmmes convenus d^ prendre le dividende par défaut el le diviseur par excès (548, 3^). Le quotient est 0,516.... Comme son troisième chiffre décimal surpasse 4, il est évident qu'il est plus près de 0,52 que de 0,51, de sorte que 0,52 est la réponse à la question.
* L'errwr relaiwe du quotient j lorsque le dividende et le diviseur sont incommensurables j est plus petite que la sorfime des erreurs reUitives du dividende et du diviseur. Soient, en effet, A — ^ le dividende approché par défaut, B + e* le diviseur approché par excès; Terreur ahsolue du quotieot est
quantité moindre que — '■ = 5 + t ; c'çst-à-^ire moindre gué la somme des erreurs relatives du dividende «t du diviseur.
Si le troisième chiffre décimal eût été plus petit que k^ il est éTident qu*en ajoutant au quotient upe quantité moindre quç 0^005 ou n'aurait pas obtenu 0,515, et qu'alors ce quptient eût été plus près de 0,51 que de 0,^%; doue oq aurait dû prendre 0,51 pour sa valeur.
Si le troisième chiffre du quotient eût été 4, alors, en ajoutant à ce quotient une quantité inférieure à 0,0005, on aurait pu irmY&r m nomln^e plus petit ou plus grand que o,5U, de sprte qu'il ii'y aurait pas eu de raison pour préférer 0,^1 gxi 0,52. Dans ce (las, Il aurait fallQ r^commisncer le çaicnl en prer nant 0,0001 pour limite de e, et si le quatrième chiffre du nouyeau quotient n'était pas un f ^ il n^yanrait aucune incertitude* et l'on prendrait 0,51 ; mais si ce quatrième chiffre est un 9, il faudra recommencer le calcul en prenant 0,00001 pour limite de e*.
