Racines. Pour extraire la racine wf^^ Sun» quantité

* Les principes que nous avons donnés s\^r l'évaluation des erreurs relatives peyvent aussi être employés pour déterminer un produit ou un quotient avec une approximation donnée. En effet, pour calculer ce produit ou ce quotient à moins d'une unité de Tordre de son tn"* chiffre à partir de la gauche (ou en d'autres termes pour trouver ses m premiers chiffres), il faudra faire en sorte que

Terreur relative commise soit moindre que t-— ou que . , ,^ ,^, . (338),

lu (K-f" 1) 1U"~

en désignant par K le premier chiffre signiicatif à gauche; or, cette erreur résultant des erreurs relatives soit des deux facteurs, soit du dividende et du diviseur, on verra facilement quelles erreurs relatives il conviendra d^ eommett» sur ceux-ci, c'ei&t-à-dire combien de chiffres U faudra prendre dans chacun d'eux (339).

PwBiQER SxEMPLB.— Calcutm t9s CINQ premiers chiffra si^ntficaUfk à gauebê du produit de i23,4&07A95 par 18,97654327 à moins d'wM unité de Tordre du dernier coffre çaky^U; ei> d'ajjtres term^, calcyjier c5 produit à

' moips de ^^^^ = — de sa valeur exacte. Pour que Terreur relative de ce

produit soit < 7^> il suffit que Terreur relative commise sur chaque facteur

m% -? f • J5 if^^^ d^ »" ?*?)> ?t 4 fjtrtiori, gu'elle «>i* <î ^ • {5 ^ j^* On pmndfs donedana chaque fketwir «-|* lasl chiffres à partir du premier

quelconque k, à moins de r, multipliez cette qiuintité par 8°", eo?-

trayez la racine m'*"' du plus grand nombre entier contenu dansHe produit^ en ayant égard à la règle donnée à la page 288, et divisez cette racine par B. La démonstration est celle même que nous avons donnée pour les racines carrée et cubique.

348. Pour faire une application de toutes les règles que nous avons établies, nous allons nous proposer de calculer à moins d'un demi-centième près la valeur de la fraction

TT»— l0g7 '

chiffre significatif à gauche, et Ton multipliera 123,4567 par 18,97654. On fera d'ailleurs usage du procédé de la multiplication abrégée (145) :

Le produit cherché est 2342,7; il est exact à moins d'une unité de Tordre de son cinquième chiffre significatif, c'est-à-dire que Terreur absolue est moindre qu'un dixième.

Druxièmb Exemple. — Calculer les trois premiers chiffres du quotient de 25,2 jparn^ 3, 1415926535...., à moins d'une unité de Vordre du dernier

chiffre calculé; en d'autres termes, calculer ce quotient à moins de r— = — , 1000 10»

de sa valeur exacte. Pour que Terreur relative de ce quotient soit < ^,il

suffira que Terreur relative du diviseur soit < ^ (note du n* 845^ 2"). On

prendra donc au quotient 3 + 1 = 4 chiffres, et Ton divisera 25,2 par 3,141. Le quotient 8.02 est exact à moins d'une unité de Tordre de /son troisième chiffre significatif, c'est-à-dire que Terreur absolue est moindre qu'un centième.

dans laquelle ic représente le nombre 3,141592653589793. . . . Il est facile de voir : !• que w étant compris entre 3, I et 3, 2, son carré est>9,61 et < 10,24 ; 2« que w»> 9,61. 3 = 28,83 et < 10,24 X 3,2 = 32,768 : que par conséquent v^î?> 5.

D'ailleurs, log 5>0,6l et log 7<1, Ou fera donc dans la formule [7]

et l'on trouvera, d'après la règle de la page 288, e< ao^rfo^atf ==5loUïï= 0fi09. . • . Ainsi il suffira que les deux termes ne soient pas erronés chacun de neuf millièmes. En conséquence, comme le numérateur doit être pris par défaut (345, 3®), w* et log 5 devront être évalués par défaut à moins de 2 millièmes (542), et v^TC* par excès à moins de 4 millièmes (543) ; mais il seira plus commode de calculer ces trois valeurs à moins de 0,001. Commençons par \/ic*. Pour être sûr de Tapproximatioa demandée sur v/w*, il nous faudra calculer cette racine avec quatre décimales, et par conséquent t^ avec huit; en conséquence nous déterminerons, par la méthode iiOughtred^ ir* à moins d'un billionième, et nous en déduirons n* à moins d'un cent-millionième. On trouvera ainsi

Tc» = 9,8696044007

et par 9uUe ^^bfi^S^, , . , de sorte que la valeur pw exc^ de v^ic^ est &>M9 à moins d'un mUUèoEiie prè9 ; dQoc

log 5=0,602

it*+log5— v/?=4,902.

Le dénominateur de la fraotion proposée devant être calculé par exoèSy nous pr^iâmna

it»==31,pÛ7 log 7?= 0,8^5 ii»^l0g7 5=3P,J62.

Enfin, en dirisant 4,902 par 80,162, on trouvera 0,1685, de sorte que lataleur demandée est 6,16.

549. Il arrive spuyent que Top doit opérer sur diçs nombres qni Ujç sont qtfapproctiés, et on a alor§i en général, des idées fort peu exactes sur la grandeur des erreurs qui pepvenl affecter les résultats que Ton obtient. Nous allons nous occuper de ' l'évaluation de ces erreurs, et d'abord nous observerons que, comme le cailcul des nombres décimaux se ramène à celui des nonibrcs entiers^ nous pouvons nç considérer que de pareils nombres; et, pour déterminer Terreur définitive, il suffira de multiplier ou de diviser celle relative aux nombres entiers par Tunité suivie d'autant de zéros que Ton devra porter la virgule de rangs vers la droite ou vers la gauehe du résultat entier que Ton aura trouvé.

380. Soient a et ô deux nombres entiers supposés erronés de moins d'm^e demi-unité: il est clair que nous n-jron'^une limite de l'erreur qui peut affecter leur produit, si nous les supposons tous deu:^ erronés d*une demi-unité et dans le même sens. En conséquence, le véritable produit devra être

(a±i). {b±i) =ab±:i ia+b)+i.

AFPENOIGE. 809

Donc Terreur commise» en sabstituant le produit ai à celuK-ci» est lensiblement ^{(k+b); mais Ha+b) contient au plos autant de chiffres qu*il y eii a dans le piu^ grand des deux nombrefi ^eti : donc, un produit de d$ux facteurs^ epsacts ckueun à moins d^une d^mi^unUéf pw^ aveir autant 4$ chiffres er^ ronés sur sçk droite que le phis grand de ei^ facture contient de chiffres.

On venra de même que si fun des deux facteurs est exact, ce prodmt pourra avoir autant de chiffres erronés quHly a de chiffe dans la moitié de ce facteur.

Exemple. Soient les deux facteurs 734,1 et 8,24, exacts chacun à moins d'une demî-unîté de Tordre dont est son dernier chiffre décimal. Le produit des nombres 7341 et 824 pourra avoir 4 chiffres erronés, et coiqme le produit demandé doit avoir 3 décimales, on voit que Ton ne pourra pas mènie compter sur le chiffre des unités de ee dernier.

551. Passons à la division, et supposons d'abord que le dividende sçul soit erroné et qu'il le soit d'qn^ demi-unité.

Le véritable quotient sera donc 2-^, de sorte que Terreur commis en prenant r pour sa valeur sera

jPpnCy qtèand le dimdfnde sera erroné de moifu d'une demi? i^itéf rerreur commise ^^ l^ quotient sera moindre que l'miti divisée par Ip doublet du dimeur; ainsi il 3era facile de Tévaliier dans chaque cas particulier.

Espemple. Diviser 2,76 par 0,1456, le dividende étant erroné de moins d'un demi-centij^me. Ramenons c^tte division 4 celle de deuQi nombres éviers tels que le dividende soU erroné d'une demi-unité at^ plus, et nous aurons ainçi à diyiser 276 par H56 ; donc Terr^iir^cpmmisa 3ur le quotient de cette division 9^r% moindre q}j^ rhn<hThmi 9>aj»ice quQtjçni çer* \QQ fois

moindre que le quotient demandé, donc celui-ci ne sera pas erroné d'un demi-dixième. Or, en effectuant la division de 2,76 par 0,1456, on trouve 18,95...; si donc le dividende est erroné par excès, 18,9 sera la valeur du quotient à moins cCun dixième; mais si le dividende est erroné par défaut, on ne pourra pas affirmer que 18,9 n*est pas trop faible d'un dixième.

582. Supposons maintenant que le dividende et le diviseur soient tous deux erronés d'une demi-unitë. L'erreur dont sefa affecté le quotient des deux nombres a et 6 sera maximuni quand ils seront tous deux erronés en sens contraire. Dans cette

hypothèse, le véritable quotient devrait être r^% tandis que

nous prenons pour sa valeur p donc l'erreur que nous commettons est

Si l'on observe que (bzp^) est évidemment plus grand que 6— 1, on verra que l'on pburra prendre

pour limite de l'erreur commise.

Supposons, par exemple, qu'on ait & diviser le logarithme de 2 par celui de 3; on devra faire a=0,30103 et 6=:0,47712; de sorte qu'en prenant f^^ au lieu du quotient de ces deux logarithmes, on commettra une erreur moindre que

h T77Jra.47TïT«

Si Ton veut évaluer cette erreur en décimales, on observera que cette fraction est plus petite que j^^Afe = -^^l^^i^, d'où l'on voit que la limite de l'erreur sera inférieure à 0,00003. Si donc on réduit f Ç^ïi ^^ décimales, comme on trouvera que le cinquième chiffre est un 3, on en conclura que l'on peu

compter sur les quatre premiers, et qu'ainsi pL = 0,6309, à moins d'un dix-millième.

Mais si, le quotient étant erroné par défaut, le cinquième chiffre était un 7, on ne serait pas sûr du quatrième chiffre ; car,en ajoutant Terreur à la partie du quotient qu'on néglige, il pourrait se faire que la somme surpassât un dix-millième.

De même, si, le quotient étant erroné par excès, le cinquième chiffre était plus petit que 3, il pourrait arriver qu'en retran? chant une quantité moindre que 0,00003 de ce quotient, le chiffre des dix-millièmes fût altéré, de sorte que Ton ne pourrait pas compter sur ce chiffre.

*5S3. On peut mettre la formule

sous une forme qui permette de reconnaître sans calcul sur combien de chiffres on peut compter. Nous diviserons pour cela le numérateur et le dénominateur par b, ce qui donnera

Ainsi, en représentant par q le quotient demandé de a par b, on pourra prendre pour limite de Terreur commise sur ce quotient

Cette quantité sera maximum quand b sera le plus petit et g le plus grand possible. Supposons donc que 6 renferme w chiffrés et que q en contienne n-^-m; le minimum de b — 1 sera un nombre formé de (n — 1) chiffres 9, et le maximum deq-{-l sera Tunité suivie de (n-j-m) zéros. Alors le quotient de $-(- 1 par b — 1 sera composé de (w-f-2) chiffres, dont le premier

stjra 1; de sorte que ca quotient sera moindre que deux unités de Tordre (m -|-i). Donc sa moitié, c'est-à-dire la limite de l'erreur, sera moindre qu'une unité de cet ordre, et par conséquent les (m +2) derniers chiffres du quotient pourront seuls être erronés, pourvu toutefois que le (w+2)'*~ chiffre à gauche ne soit pas un 9 si le quotient est erroné par défaut, ou ne soit pas un zéro s'il l'est par excès*; mais ce quotient se compose de n+m chiffres, donc il en aura n+m— (m+2) = n— 2, dont le dernier ne sera pas m général erroné d'une unité.

Les raisonnements qui précèdent s^appliquent évidemment au cas où m serait nul.

Mais si q contenait moins de chiffres que bj on ramènerait ce cas à celui où m est nul, en écrivant à la droite du dividende a un nombre convenable de zéros ;^car le quotient et l'erreur seraient tous deux multipliés par l'unité suivie de ce nombre de zéros.

Concluons donc que, quand le dividende et le diviseur seront tous deuâB erronés de moins d'une d&mi^imiîéy si n répréserUe h nombre des chiffres du diviseur^ on pourra toujours compter sur lés (n— 2) premiers chiffres à gauche éhi quotieniy à moins que^ si le quotient doit être erroné par défaut ou par excès ^ le (n — 1)**^ de ces chiffres ne soit un 9 ou un zéro.

En appliquant cette règle à l'exemple du numéro précédent, on verra qu'on ne pourrait compter que sur les trois premiers chiffres de ce quotient, tandis que la formule [9] nous a appris que les quatre premiers étaient exacts.

De même, si l'on a à diviser 9,6 par 0,0004, je ramène cette division au cas de deux nombres entiers erronés chacun cCune demi-unitéj ce qui me conduit à. diviser 96 par 4. La règle, ainsi

* On conçoit, eu effet, qu^en ajoutant une quantité moindre qu'une unité de Tordre (m + 3) au nombre exprifflé par les (m 4- 2) derBiers chiffres du quotient, on ne formera pas uue unité de l'ordre (m-i-3)» si le (m + S)^^»* chiffre n'est pas un 9, et qu'en retranchant de ce même nombre une quantité moindre qu'une unité de l'ordre (m +2), le (m-f 3)'^*c}xiffre ne sera pas non plus aUéré, si la i«+ll)^« n^oet pas un zéio«

At^PENblCË. 303

qae la formule ^. . J^i\ > indiquent que Ton ne peut pas même compter sur le premier chiffre du quotient; mais en employant ia formule plus exacte irTr^iTx» <>» reconnaîtra que

le Quotient ne peut pas être erroné de 4 mille : donc le ({uotietit d^mAûdé eit BOOOO à moins â*une demi-dizaine de mille i^è.

^^354. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine carrée d'un nombre a exact i moins d*une demi-unité. L'erreur eommiie m substituant ce nombre à adb^ sera

^a-{-i— v^î ou v^a— Va— J.

Multiplions et divison* la première expression par v'o+J+V^S et la sêcoûde par v^5-f-/a— J, et elles deviendront respectivement,

)":\r/ y quantité plus jK^tiie que -L

-* '■ , quantité plus petite que ■

On pourra donc prendre " ■■ ■!■ ■ ■■ pour limite de l'erreur eom<^

misO) et on l'évaluera facilement en calculant les deux premiers diiUres de v^a— !•

Veut-on, par exemple, la racine carrée du nombre 8,235, supposé trop faible de moins d'un demi-inillième ; cette racine

est égale kÙ^^, Or, comme le nombre 82360 est erroné de

moins d'une demi-dizaine, au lieu de l'être d'une demi-unité» la limite de Terreur que l'on commettra en extrayant sa racine

carrée sera ■ ; mais la racine carrée de 82849 com-

menée par 28; donc cette fraction est <roQA<û»^i î ^^^

Terreur commise sur la racine carrée de 8,235 sera moindre

que r^= 0,0001. Ainsi Ton pourra pousser le calcul de cette

racine jusqu'à la troisième décimale; mais si Ton va jusqu'à la quatrième décimale, on trouvera 2,8696.... On voit parla que 2,870 est la racine demandée, à moins d'un demi-millième. En efiet, si l'on ajoute à 2,8696.... une quantité moindre qu'un dix-millième, on obtiendra un nombre moindre que 2,8698.

*55S. On peut déterminer, à l'inspection du nombre proposé, sur combien de chiffres on peut compter dans l'expression de sa racine carrée. Supposons, en effet, !• que le nombre de ces chiffres soit 2n : Terreur sera la plus grande possible lorsque a sera le plus petit possible, c'est-à-dire 10*"^*, et alors (a — 1) sera composé de (2n — 1) chiffres 9; donc sa racine sera plus grande que trois unités de Tordre n, donc

;ï7^<Trro^<iF ^°'^* p^"'^'' ^^^ ^^ (n-hir-

chiffre décimal ne soit pas un 9 si la racine est erronée par défaut, ou un zéro si elle Test par excès, on pourra compter sur n décimales; et comme la racine a d'ailleurs n chiffres entiers, on en conclut que Ton pourra compter sur 2n chiffres, c'est-à-dire sur autant de chiffres qu'il y en a dans a.

2*» Supposons que a contienne (2n4-l) chiffres : son mini-» mum sera donc 10**, et par conséquent a — I sera composé de 2w chiffres 9, de sorte que \/a — 1 sera plus grand que neuf

unités du n^ ordre : donc .j^^<::^^^<±^ d'où

Ton conclura que Ton peut compter sur n-hl+w=2n4-l chiffres. Donc on pov/rra compterj en général, sur autant de chiffres qu'il y en a dans le nombre proposé^ et le dernier de ces chiffres ne sera pas erroné d'xme imité de V ordre dont il est.

Si Ton applique cette règle à Teiemple précédent, on verra que, comme le nombre 82350 est erroné d'une demi-dizaiue au lieu de Têtre d'une demi-unité, il ne faut pas tenir compte du dernier chiffre ; de sorte que Ton ne devrait compter que sur

4 chiffres de la raciue dans 82350, et parlant sur les millièmes seulement de celle de 8,235 : ceci est d*accord avec ce que nous avons vu plus haut.