PROBLÈMES SUR LES PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCE ET PAR QUOTIENT

586. Si Ton convient de représenter en général par a, r, /, net s respectivement le premier terme y la raison, le dernier terme ^ le nombre et la somme des termes d'une progression par différence, les règles que nous avons établies aux n""* 267 et S7i donneront

Z=^a+(n-l)r [I], et- .= ^i^ [2].

On a donc ainsi deux équations entre les cinq quantités a, r, /» n eis; de sorte que, si Ton donne trois quelconques de ces quantités, il sera facile, à l'aide des principes élémentaires de l'algèbre, de calculer les deux autres. Or comme avec ces cinq quantités prises deux à deux pour inconnues on peut former les dix combinaisons

aet r, aet/, aetn, aet5,retZ, r etn,ret«, Zet n, l eis, nets, on voit qu'il y a ainsi dix problèmes à résoudre sur les progressions par différence. Nous ne nous occuperons que du huitième.

Problème. Étant donnés a, r ets^on demande 1 et n. On remplacera dans [2] l par sa valeur donnée par [1], et il viendra

^^|2a+(nl^x)r{n^3j^ d'où „•+ (!ii:I>i 2j =o [4].

Ainsi, en résolvant cette équation, on obtiendra la valeur de n, et, en la substituant dans la formule [1], or aura celle de /.

n étant un nombre entier positif, il faudra, pour que le

problème soit possible, que les racines de l'équation [4] soient

réelles, et qu'il y en ait au moins une qui soit positive et

.entière. Si r et ^ sont de signes contraires, il faudra, pour que

les racines de Téquation [4] soient réelles et positives, que

l'on ait

(2a— r)*+8r«>0 et 2a— r<0;

et siy de plus, les deux racines de l'équation [4] sont entières, le problème aura deux solutions.

Si r et S sont de mêmes signes, le dernier terme — —'de

l'équation [4] sera négatif, et les deux racines seront réelles et de signes contraires; de sorte que, si la racine positive est entière, le problème aura une solution.

557. Si la racine négative est aussi entière^ on pourra seproposer d*en trouiver l'interprétation.

Pour y parvenir, on changera n en — n dans la formule [3J, ce qui donnera

en changeant les signes des deux facteurs du numérateur, ce qui n'altère pas sa valeur. Ainsi il faudra, en se reportant à la formule [2], que ~2a+ (n+ l)r représente la sommedes deux extrêmes de la progression. Mais si Ton désigne par x le premier de ces termes, cette somme aura pour expression 2x + {n^l)r; donc on devra avoir

2j;+(n— l)r=a— aa-H(n+l)r, d'où ««—(a— r);

de sorte qu'il ftiudra ftiire commencer la progression par ^{a-^r).

358. Pour les progressions géométriques, la traduction algébrique des règles que nous avons posées aux n<* 275 et 270 donnera les deux équations

Î=ar-»t5] et * = 7=f [6];

en conséquence, on pourra se proposer, sur les progressions géométriques, dix problèmes analogues à ceux que nous avons indiqués (556) sur les progressions arithmétiques.

APPE19D1CE. 307

La résolution da deuxième, du quatrième, du septième et du neuvième ne présente aucune difficulté; le premier et le cinquième dépendent d'équations d'un degré supérieur au second sr n>>3; quant aux quatre suivants, ils présentent une application du calcul des logarithmes.

559. Problème. Étant donnés r» 1, s, calculer a ein. De réquation [6] on tire immédiatement

substituant dans Téquation [5], on trouvera

d'où, en prenant les logarithmes des deux membres (281 et

log/=log j /r— 5(r— 1) j + {n— l)logr, et, par suite»

logr

360. Problème. Étant donnés a^ 1 H s, trouv&r r ein. On tire de Téquation [6]

* — ^ mettant cette valeur de r dans [5], il viendra

d'où, eu prenant les logarithmes (281, 282 et 285),

log/=loga4-(n— l){log(5— a)— log(5— /){, et partant

n=14-^ loifl— loffa

log («— a)— iog(*— //

561. Problème. Étant donnés a, r, s, calculer 1 et n. L'équalioû [6] donne

l^ a+sir-l) r

* Je substitua cette valeur de l dans l'équation [5] et je trouve successivement

log {a+(r— 1)5} — logr=loga+(n—l)Iogr,

log [a+ir-^ l)s] =loga+nlogr,

log|fl4-(r — 1)5}— logg logr

562. Problème. Étant donnés a, r, 1, troxwer s ei n. L'équation [6] donne immédiatement la valeur de s. Quant à

celle de n^ on la tire de Téquation [5] en prenant les logarithmes des deux membres. On trouve ainsi

logl=loga+(n-l)logr; d'où „=i+l2E^II^.

565. M. PoiNSOT a publié, dans le dixième volume Avl Journal de Mathématiques de M. Liouville, un Mémoire très-remarquable sur la théorie des nombres, et duquel nous allons extraire plusieurs propositions que cet habile géomètre a démontrées avec une simplicité qui permet de les faire entrer dans un cours d'arithmétique. Ces propositions formeront ainsi le complément de notre chapitré III.

\ Il résulte du principe du n® 81 que si plusieurs nombres sont premiers avec un autre nombre N, leur produit est premier avec 'ce nombre N. La démonstration est la même que celle donnée au vfi 85.

5C4. Si m et V sont deux nombres premiers entre eux^ les restes que Von trouvera^ en divisant par N les produits obtenus en multipliant par P tous les nombres 1, a, b, c,..., (N — 1) mférieurs et premiers à N, seront, dans un avJtre ordre^ ces mêmes nombres 1, a, b, c,..., (N — 1).

D'abord, tous les produits P. 1, P.a, P. 6, P.c,..., P.(N— 1) seront premiers avec N (303), et par conséquent tous les restes que Ton trouvera jouiront de la môme propriété; car tout facteur commun au diviseur et au reste d'une division est aussi commun au diviseur et au dividende (démonstration du n*78). En second lieu, si deux restes étaient égaux, la ditTérence des produits correspondants, tels que P. 6 etP.d, serait divisible parN, et cette différence P.d — P.5 = P.(d— 6) est un de nos produits; ainsi les restes que Ton trouvera, étant premiers avec N, différents, et en même nombre que les quantités 1, o, &, c,..., (N— 1), seront, dans un certain ordre, ces mêmes quantités 1, o, 5, c,..., (N — 1).

56S. Si n marque combien U y a de nombres inférieurs et premiers avec N, et que P soit un nombre premier avec N, P*— 1 est divisible par N.

Soient I, a, 5, c,..., (N— 1) les n nombres inférieurs et premiers à N : multipliez tous ces nombres par P, vous obtiendrez n produits qui, divisés par N, donneront pour restes, dans un certain ordre, tous les nombres l,a,5,c,..., (N — 1), d'après ce qui précède (3G4); par conséquent le produit P*. 1 ,a,bx. . ..(N — 1) desnombresP.l,P.a, P.ft, P.c,..., P.(N — 1) est un multiple deN, augmenté du produit l.a.6.c....(N — 1) de ces restes* (71).

* n est évident que si l'on considère nos deux premiers produits P.l et P.a, chacun d'eux peut être regardé comme un multiple de N augmenté du reste de la division de ce nombre par N ; de sorte qu'en multipliant ces derx produits entre eux, le résultat sera composé de quatre parties, dont trois seront . des multiples de N, et dont la quatrième sera le produit des deux restes (démonstration du n" 71), c'est-à-dire qu'il sera un multiple de N augmenté de ce produit des deux restes. En multipliant ce produit par notre troisième produit P.&, on obtiendra de môme un multiple de N augmenté du produit des trois premiers restes, et ainst de suite* .

310 APPBNDIGB.

Donc ladifférence entre P*.l.a.ft.c.,..(N—l) et l.a.6.(?...(N—i), c'est-à-dire (P*— l)Xl.a.t.c....(N — 1), est divisible par N; mais N est premier avec le second facteur i.a.bx.,., (N — i); donc il doit diviser le premier P" — 1 ; ce quHI fallait démontrer.

806. Si N en un rumbre premier absolUy auquel cas il est nécessairement premier avec P, fi=N — 1, car tous les nombres qui sont inférieurs à N sont premiers avec lui; et on voit alors que P*^— l est divisible par N. Donc, si N est un nombre premier qui ne divise pas P, P""* — I est divisible par N. Tel est le* fameux théorème de Fermât.

567. Le carré du produit de tous les nombres inférieurs et premiers à un nombre entier quelconque N, étant diminué de f unité, est toujours divisible par N.

Soient 1, a,d,c,..., (N — 1) les n nombres inférieurs à N et premiers avec lui : si vous divisez leur produit successivement par chacun d*eux, vous obtiendrez n quotients différents entre eux et tous premiers avec N (568) ; et si vous divisez chacun de ces quotients par N, vous retrouverez pour restes, dans un certain ordre, lesn nombres l,a,6,c,..., (N — I). Car ces restes sont premiers avec N (démonstration du n» 568), et de plus ils sont tous différents. En effet, s'il y en avait deux qui fussent égaux, la différence des quotients qui, divisés par N, auraient donné ces deux restes égaux, serait divisible par N, ce qui ne se peut; car, d'après leur formation, ces quotients ont (n— 2) facteurs communs et deux fadeurs inégaux, de sorte que leur différence est de la foime l.c.d....(N— l)X(ft— a); et si N, qui est premier avec le facteur l.c.d....(N— I), divisait ce produit, il devrait diviser l'autre facteur 6 —a, ce qui est impossible, puisque bel a sont <N. Donc les n restes que Ton obtiendra seront les n nombres I,a,è,c,..., (N — 1).

Donc le produit de ces n quotients est un multiple de N augmenté du produit l.a.6.c,... (N— 1), que, pour abréger, nous

désignerons par A; donc la différence t--»t- - w^ ' i "^ ^»

API^ENDIGE. 311

A* c'est-à-dire "Y —A ou A*^ — A, est un multiple de N ; donc le

produit A" — A* de cette différence par A en est aussi un. Or, en vertu du théorème démontré au n» 30», A* — 1 est pareillement un multiple de N ; donc. la différence A* — 1 entre A»-i-A* et A*— l est divisible par N; ce qu'il fallait démontrer,

568. Comme A* — 1 est le produit de A + 1 par A — 1, il s'ensuit que si N est un nombre premier, l'un de ces fticteurs doit être divisible par N. H. Painsot a montré, par des considérations qui ne sauraient trouver place ici, que c'est le premier qui jouit de cette propriété ; d*où cette conséquence : Le produit de tous les nombres consécutifs 1, 2, 3, 4, 5j...., (N — 1), mgmenU d$ l'unitèj est divisible par N, lorsque N est un nomifv premier. C'est là l'énoncé d'un théorème dû à Wilson^ et que Lagrange a démontré le premier.

SOU, PROBLàirs. Combien y a^t*il d$ nombru inférimn 4 un nombre donné N et qui soient premiers avec lui?

Supposons le nombre N décomposé en ses facteurs prômiarSi

et soit Ji = a^b^{f Si de la suite naturelle des nombres

1, 2, 3, 4, 5, ... jusqu'à N, on ôte tous les multiples de a, que des nombres restants on ôte tous les multiples de 5, et ainsi de suite, il est clair qu'on aura ôté tous les nombres qui peuvent avoir avec N quelque commun diviseur. Ainsi les nombres rcs< tants, qui ne peuvent contenir aucun des facteurs simples de Nt seront nécessairement premiers avec N. Il s'agit donc de trouver combien il doit rester successivement de ces nombres à mesure qu'on reti'anchera de la suite

tous les multiples de a, et du' reste tous les multiples de 6, et du nouveau reste tous les multiples de c, et ainsi de suite.

Or, si p est un nombre premier avec » et qui divise n, il est facile de voir que les termes de la progression par différence

fe(.2«(.3oe.4a«$a..,.nf(

que p divise, sont

de sorte que ces tennes sont en nombre marqué par ^ ; en

p effet, le plus petit multiple de a et de p est ap (93), et si dem termes de cette progression sont divisibles par p, leur différence doit l'être aussi, de sorte que celte différence ne peul pas être moindre que ap.

* Gela posé, on voit que la suite

étant une progression par différence, dont la raison est égale

au premier terme, le principe que nous venons d'établir pourra

s'y appliquer, et qu'en conséquence le nombre des multiples

N de a qu'elle renferme est-. On aura donc, pour le nombre N'

N des termes restants, quand on ôte les - multiples de a,

Actuellement de ces N' nombres il faut ôter les multiples

de b ; or, je dis qu'il y en a t-. En>effet, je puis considérer ces

N' termes comme composés de la suite des N premiers moins la suite des multiples de a qu'on a soustraits. Or, dans la pre-

mière suite, il y a r multiples de ft, de même qu'il y a- multiples de a; et dans la seconde, c^ui est aussi une progression arithmétique -fa. 2a. 3a. 4a.... Ao=N*, il y a pareillement -r multiples de b ; donc, dans les N' termes qui restent, après la

* On a représenté, pour abréger, ~ par A ^ et on désignera -r- parB.

APPEI9DIGE. 313