S IV. MULTIPLICATION DES FRACTIONS
115. Pour multiplier une fraction par un nombre entier, multipliez son numérateur par ce nombre, en conservant le dénominateur (07, 1®); ou bien divisez son dénominateur par le nombre entier, en conservant le numérateur (97, 3**).
La seconde méthode a sur la première l'avantage de donner un résultat plus simple; mais aussi la première est générale, tandis que la seconde n'est pas toujours applicable, car le dénominateur de la fraction multiplicande peut n'être pas divisible par le multiplicateur. On préférera donc celle-ci lorsqu'on pourra l'appliquer, et dans le cas contraire on aura recours à l'autre.
116. Pour muUiplier deux fractions l'une par l'autre, mu^ttipliez les numérateurs entre éux^ et les dénominateurs aussi Pu/n " par Cautre. Soit proposé, par exemple, de multiplier f par f . D'après la définition de la multiplication, le produit est composé avec le multiplicande de la môme manière que le multiplicateur l'est avec l'unité (23); donc, puisqu'ici le multiplicateur est les I de l'unité, le produit devra être les | du multiplicande. Ainsi, multiplier f par |, c'est prendre les | de f .^Si je connaissais le huitième def , il n'y aurait qu'à multiplier^ce huitième pai^^è, et le problème serait résolu. Mais prendre le huitième d'un nombre, c'est le diviser par 8 : donc le huitième
de f sera -g^ (97, 4"). Par conséquent le produit demandé sera fr3-. Donc B X i = «ti» ce qu'il fallait démontrer.
117. On prouverait de la même manière que ^ pour multiplier un nombre entier par une fractiouy U faut le multiplier par le numérateur, en conservant le dénominateur, et qu'ainsi
118. Il suit de ces trois principes que Yonpeut, dans lamulr tiplication des fractionsy intervertir Vordre des facteurs sans altérer la valeur du produit. Car cela revient à intervertir de la même manière l'ordre des facteurs dans les deux termes de la fraction-produit, ce qui n'altère pas la valeur de ces deux termes (37).
Ainsi les produits |.|.J et |.§.f sont égaux, car ils le sont l'un et l'autre à §^g.
Il suit de là que les principes n" 58 et 59 sont également vrais lorsque les quantités que l'on considère sont frac- , tionnaires, car ils sont une conséquence immédiate du principe du n* 57.
, 119. Il pourra arriver que le multiplicande et le multiplicateur, ou seulement l'un d'eux, contiennent des nombres entiers joints à des fractions. Alors on réduira chaque nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction, ce qui ramènera à un des cas que nous avons considérés précédemment.
Pour réduire un nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction, on multiplie ce nombre par le dénominatew* de la fraction, on ajoute le produit au numérateur, et l'on conserve le^ dénominateur.
Soit, en effet, l'expression 4 f . J'observe qu'ici une unité , vaut f , et que par conséquent 4 unités valent 4 fois | ou ^^. Donc 4 | = fiè*+f=H^^- Mais le numérateur a été obtenu en multipliant le nombre entier 4 par le dénominateur 5, et en ajoutant le produit au numérateur 3 : donc, jSfcir réduire un nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule
Traction, il faufmulli plier ce nombre entier par le dénominateur, ajouter le produit au numérateur, et conserver le dénominateur.
Exmçle. Multiplier 3 | par 5 |^. On trouvera :
120. Si l'un des facteurs était un nombre entier et que Vautre fût composé d'un entier et d'une fraction , on ne réduirait pas celui-ci en une seule fraction : il serait plus simple de multiplier successivement ses deux parties par Vautre facteur, en commençant par la fraction y afin que, si le produit contenait des unités,! on pût les extraire et les ajouter immédiatement au produit de la partie entière.
Exemple. Multiplier 4236 f par 24. Le produit de f par 24 est i|â= 13 1= 13^. Je retiens donc 13 unités, pour les ajouler au produit de 4236 par 2k , et je trouve ainsi que
4236 fX24=: 101677 i-
121. Nous avons vu qu'une fraction .exprime une partie ou la collection de plusieurs parties égales de l'unité : par conséquent, si nous concevons qu'une fraction soit partagée en plusieurs parties égales, une de ces parties ou la réunion de [)lusieurs d'entre elles sera une fraction d'une nouvelle espèce : nous l'appellerons fraction de fraction. ^
On conçoit qu'il est possible de diviser de même ces nouvelles fractions en parties égales ; et en prenant une ou plusieurs de ces parties on formera une fraction de fraction de fraction, . et ainsi de suite.
122. On peut toujours trouver une fraction ordinaire équivalente à une fraction de fraction. Il suffit pour cela de multiplier entre elles toutes les fractions dont il s'agit. Proposons-nous, en ^ effet, de trouver une fraction ordinaire équivalente aux | des
f de |. La première chose à faire pour obtenir la valeur de cette quantité, c'est de prendre les ^ de f , ce qui se fera en multipliant | par | (23). Ainsi les | de | sont égaux à | x f •
Il ne reste plus qu'à prendre les f de ces f de J, ce qui se fera en les multipliant par f . Ainsi les f des f de f sont égayx à
g V. DIVISION DES FRACTIONS.
.23, On divise une fraction par un nombre entier de deux manières: !• en multipliant le dénominateur par le nombre entier ^ et conservant le numérateur (97, 4*) ;
2« En divisant le numérateur par le nombre entier ^ et conservant le dénominateur (97, 2»).
Ce dernier procédé a sur le premier l'avantage de conduire à un résultat plus simple; mais aussi il est moins général, car il arrive très-souvent que le numérateur de la fraction dividende n'est pas un multiple e<act du diviseur. Ainsi on préférera la seconde méthode toutes les fois qu'on pourra l'appliquer; dans le cas contraire, on aura recours à la première.
— 124. Pour diviser une fraction par une fraction; U faut multi-
plier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
^Soit proposé de diviser f par f . Le dividende est le produit du quotient par le diviseur f . Or, multiplier le quotient par f , c'est en prendre les f (23) : donc le di^dende f est les ^ du quotient; par conséquent, en le divisant par 3, on aura le septième de ce quôtienU Ce septième est donc -^ (97, 4*) : ainsi, pour avoir le quotient, il suffira de multiplier ce septième par 7, ce qui donnera ^. Mais cette quantité est le produit de f par J (liO)» et l est la fraction diviseur renversée ; donc, pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier la fraction dividende par 3a fraction diviseur renversée.
125. Si les deux termes de la fraction dividende étaient exac-
tement divisibles par ceux de la fraction diviseur ^ on pourrait
encore obtenir le quotient demandé en divisant les deux termss de
la fraction dividende respectivement par les deux termes de la
raction diviseur.
j^aî^-
Ainsi ||.|^|.j.
La démonstration est la même que la précédente; seulement les division et multiplication partielles s'exécutent d'après les régies du n« 07, 2*» et 3«.
126. On (jlémontrerait absolument de la même manièreque, pour diviser un nombre entier par une fraction, il faut multiplier ce nombre entier par la fraction diviseur renversée: qu'ainsi
127. Si le dividende et le diviseur, ou seulement le diviseur^ contenaient des nombres entiers joints à des fractions, on convertirait chaque fraction et le nombre entier qui Vaccompagne en une seule fraction (iiO), ce qui ramènerait à Vun des cas précédents.
Exemple : Soit proposé de diviser 14 -f par 3 |. On aura
l4§:3f=^:^ = A?X3fe = W(99, 2o)=|f = 3^.
Si le dividende était composé d'un nombre entier plus une fraction, et que le diviseur fût entier, on diviserait successivement la partie entière et la partie fractionnaire du dividende par le diviseur, en ayant soin d'ajouter à cette dernière^ avant de la diviser, le reste auquel aurait pu conduire la division de la ^ première.
Exemple: Diviser 101677 ^ par 24. La division de 10167^7 par 24 donne pour quotient 4236, et 13 pour reste; j'ajoute 13 à ia fraction ^, ce qui donne ^ (110); et en divisant cette fraction par 24, je trouve ^*^=5^ = f ; de sorte que le quotient demandé est 4236 1 (120).
128. Les principes établis au u? B2 étant des conséquences de ceux démontrés aux n** 58 et 50, ont. par conséquent le même degré de généralité que ceux-là; donc ils s'appliquent aux nombres fractionnaires aussi bien qu'aux nombres envers (118). Donc, pour diviser un produit par un nombre quel-
FRACTIONS OROINAIBES.
conque y il svffît de diviser Vun de ses facteurs par ce nombre^ en conseivant les autres facteurs; et pour diviser un nombre quelconque par un produit de plu>sieurs facteurs, U suffit de le diviser successivement par chacun de ces facteurs. On peut, au reste, le démontrer directement de la manière suivante :
Supposons, par exemple, que Ton veuille diviser partie produit des facteurs | et | ; on aura évidemment (118 et 124} :
