L NUMÉRATION DES FRACTIONS DÉCIMALES

129. Si l'on conçoit que Ton partage l'unité en dix parties égales, chacune de ces parties sera un dixième de l'unité; que chaque dixième soit partagé en dix parties égales, l'unité le sera alors en cent, et par conséquent chacune de ces nouvelles parties sera un centième de l'unité. Si de môme on partage chaque centième en dix parties égales, il y en aura mille dans Tunilé, et par conséquent ces nouvelles parties seront des miU lièm^s de l'unité, et ainsi de suite.

Ces parties de l'unité et la collection de plusieurs d'entre elles ont reçu le nom de fractions décimales, parce qu'elles se composent de parties de l'unité de dix en dix fois plus petites. Or nous avons fait cette convention qu'un chiffre placé à la droite d'un autre représente des unités dix fois plus petites que celles indiquées par cet autre (| i) : donc le chiffre que nous écrirons à la droite des unités simples représentera des dixièmes; celui qui sera à la droite du chiffre des dixièmes représentera des centièmes^ et ainsi de suite : de sorte que l'on pourra représenter les diverses collections d'unités décimales que contiendra un nombre par les mêmes chiffres que les unités entières, en faisant occuper à ces chiffres des places convenables. Seulement, pour ne pas confondre la partie décimale avec la partie entière, on l'en séparera par une virgule.

Veut-on écrire vingt^inq unités, trois dixièmes, deux centîè^ mes et quatre dix-millièmes, on écrira : 25,3*204.

Comme il n'y a pas de millièmes, on a dû les remplacer par un zéro.

conque .

conseï v conque success' démou:

Snpiprodui*

vingt'trois mille sept unités , quarante millions vingt-huit dix-trillionièmes,

151. On peut encore comprendre dans un mêire énoncé la partie entière et la partie décimale. Ainsi pour le nombre 25,3204, on observera que le chiffre des unités est de Tordre des dizaines de mille par rapport aux dix-millièmes^ et que le chiffre des dizaines est de l'ordre des centaines de mille par rapport aux dix-millièmes; de sorte que ce nombre s'énoncera : deux cent cinquante-trois mille deux cent quatre dix-millièmes.

Ainsi, pour comprendre en un seul et même énoncé la partie entière et la partie décimale^ on énoncera le nombrCy ahstractien faite de la virgule^ comme s'il était entier^ et Von ajoutera après son dernier chiffre le nom des unités décimales que ce chiffre représente (150).

152. On déduit encore de ce qui précède, que pour écrire un nombre décimal sous la dictée, il faut écrire d'abord la partie entière, puis la partie décimale en se conformant à la règle du n" 12; mais il faut avoir soin de placer, entre la virgule, et le premier chiffre significatif décimal, autant de zéros qu'il est nécessaire pour que le dernier chiffre décimal soit à la même distance des unité/ simples que celui qui représente des unités entières de même dénomination que lui. S'il n'y avait point de partie entière, on mettrait unjséro pour en tenir lieu.

Exemple, Écrire vingt- trois mille quarante unités, quinze mille deibX cent sept dix-billionièmes. On écrira d'abord les vingt-trois mille quarante unités : 23040. J'observe ensuite que les dizaines de billions se trouvent au second rang de la quatrième tranche, et qu'ainsi le chiffre des dix-Mllionièmes sera au (9 + 2)*^, c'est-à-dire au onzième rang. Mais le chiffre des unités est déjà écrit ; de plus, il faut cinq chiffres pour représenter quinze miUe deux cent sept : donc il faudra écrire 11 — 6 = 5 zéros entre la virgule et le premier chiffre significatif décimal; donc l'expression du nombre proposé sera

On verra dt môme q!ie quatre mille six cenU^millièmes, s'écriront 0,04006.

153. Les chiffres qui représentent des collections d'unités décimales, de xéme que ceux qui représentent des collections d'unités entières, ne tirant leur valeur que du rang qu'ils occupent par rapport au chiffre des unités simples, on ne changera pas la valeur (Tune fraction décimale en écrivant ou en supprimant sur sa droite un ou plusieurs zéros : car les chiffi es significatifs occuperont encore les mêmes places par rapport aux unités simples, et représenteront par conséquent toujours les mêmes collections des mêmes unités. . '

On peut dire encore : en ajoutant deux zéros, par exemple, à la droite d'un nombre décimal, on exprimera qu'il se compose alors do cent fois plus de parties de l'imilé ; mais aussi ces parties seront cent fois plus petites : donc la valeur du nombre décimal n'aura pas été altérée, et son expression seule aura

changé.

Remarquons que la transformation que l'on fait subir à u.i nombre décimal, en écrivan ou en supprimant des zéros sur sa droite, revient à celle que /on opère sur une fraction ordinaire en multipliant ou en divisant ses deux termes par v.n môme nombre (99). '

154. Il suit encore du môme principe q^ii^en portant la t?tr- ' gule de plusieurs rangs vers la droite ou vers la gauche Sun nombre, on muliipUe ou l'on divise ce nombre par l'unité suivie d'autant de zéros que la virgule a parcouru de rangs.

Si par exemple on avance la virgule de deux rangs vers la droite d'un nombre, chaque chiffre aura reculé de deux rangs vers la gauche et représentera par conséquent des unités cent fois plus grandes : donc toutes les parties du nombre étant devenues cent fois plus grandes, le nombre luimôme est devenu cent fois plus grand : donc il a été multiplié par cenî.

Ainsi 12,346X100 = 1234,6. Si l'on voulait diviser 12,346

par 1000, il faudrait reculer la virgule de trois rangs vers la gauche; mais comme il n'y a que deux chiffres entiers, on écrira à la gauche de ce nombre deux zéros, dont l'un tiendra la place des unités. Ainsi Ton aura 12,346 : 1000 = 0,012346.

8 n. ADDITION DÈS NOMBRES DÉCIMAUX.

• 155. Puisque les unités décimales sont soumises à la môme loi de composition que les unités entières, Faddilion des nombres décimaux doit s'opérer d'après la même règle que celle des nombres entiers. Ainsi i/ faudra d'abord écrire les nombres à additionner les uns au-dessous des autres , de manière que les unités de même ordre se correspondent dans une même colonne; effectuer ensuite V addition ^ en faisant abstraction de lavlrguky diaprés la règle du n» 16, puis placer cette virgule dans lasomme^ de manier 2 qu'elle se trouve au-dessous de celles de tous les nom^ bres proposés.

Exemple. Additionner les nombres 0,78; 9,489; 7,9; 0,0497 HÎ 6,574. On les disposera comme il suit :

Somme 24,7927

S ni. SOUSTRACTION DES NOMBRES DÉCIMAUX.

156. Si les deux nombres décimaux dont on demande la différence ne renferment pas le même nombre de décimales^ écrivez à la droite de celui qui en contient le moins autant de zéros ^u* il y a de chiffres décimaux de plus dans Vautre nombre. Cela fait, écrivez le plus petit nombre sou^ le plus grand, de manière que les unités de même ordre se correspondent ; puw, faisant abstraction de la virgule, effectuez la soustraction d'après la règle dur^2i.

et placez enfin la virgule dans le reste au-dessous de celles des nombres proposés.

Exemple. Soustraire 4,052 de 13,04. On écrira d'abord un zéro à la droite du second nombre, puisqu'il n'a que deux chiffres décimaux et que l'autre en contient trois, et Ton disposera les calculs comme ci-dessous :

Différence 8,988