CONVERSION DES FRACTIONS DÉCIMALES

chacun d'un nombre indéfini de chiffres ; il faut donc employer un autre procédé pour convertir une fraction périodique en

fraclion ordinaire. ,

Supposons d'abord que la fraction soit périodique pure, et prenons pour exemple 0,27272727...; Si nous portons la virgule à droite de la première période, le nombre 27,272727.... que nous obtiendrons ainsi, sera composé de deux parties : l'une entière, qui est la période 27 ; Faulre décimale, qui est la fraclion proposée elle-même*. Donc, si de ce résultat on retranche la fraction proposée, il restera la période. Mais, en portant la virgule à la droite delà première période, nous avons

* Si cette démonstration ne paraissait pas suffisamment rigoureuse, on pourrait dire : Supposons que la fraction proposée renferme n périodes ; si nous portons la virgule à la droite de la première de ces périodes, le nombre 27 272T27..., que nous obtiendrons, sera composé de deux parties : rune entière, qui est la période 27, et l'autre décimale, qui est la fraction proposée elle-même, moins la valeur de sa dernière période, c*est-à-dire 27 . donc, si de ce résultat on retranche la fraction proposée, il restera "la période 27, — -^^ Mais, en portant la virgule à la droite de la première période, nous avons rendu la fraction proposée cent fois plus grande: ainsi ^ de cent fois la fraction proposée nous avons retranché une fois cette fraction ; donc le reste que nous avons trouvé, c'est-à-dire 27 — j^, vaut 99 fois la fraction proposée ; donc en divisant ce reste par 99, nous obtiendrons la fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale 0,272727....

Donc

0,272727.... =|i- |oSZ.Oi» U**)-

Or la quantité 100" sera d'autant plus grande (331) que n sera plus grand, et on peut même assigner à n une valeur assez grande pour que la quantité __âl- et par conséquent pour que la différence entre 0,272727. ... et -^-"7- soit pioinifre que tout© grandeur assignable; donc fj est une limite dont la fraction 0,272727. . . . approche là'autant plus qu'on la compose d'un plus grand nombre de périodes, mais qu'elle ne peut atteindre qu autant que le nombre de ces périodes est infini; c'est alors seulement qu'on a

Donc, 'gmkf conrerttr um fration décimale périodique purSf etc.

£N FUACTJONS ORDINAIRES. 113

rendu la fraclion proposée cent fois plus grande : ainsi, de cent fois la fraclion proposée nous avons retranché une fois cette fraction; donc le reste que nous avons trouvé, c'est-à-dire la période, vaut 99 fois la fraction proposée ; donc, en divisant cette période par 99, nous obtiendrons la fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale 0,27272727... . Donc

0,27272727.... = |î = pf.

Donc, pour convertir une fraction décimale périodique pure en fraction ordinaire, il faut prendre pour numérateur la période^ et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 quHl y a de chiffres dans la période.

En appliquant cette règle à Texpressîon 3,054054054...^ on trouvera qu'elle est égale à 3 ^ = 3 îfT= 3 sV = W (* '^)-

160. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une fraction périodique mixte, et soit pour exemple la fraction 0,3454545...,

Si nous portons la virgule successivement à droite et à gauche de la première période, les nombres 345,454545.... et 3,454545..., que nous trouverons, seront composés de deux parties entières différentes, mais d'une m^me partie décimale, qui sera une fraction périodique pure, ayant même période que la proposée. La différence de ces deux résultats sera donc la différence (345 — 3) de leurs parties entières. Or, en portant la virgule à droite de la première période, nous avons rendu la fraction proposée mille fois plus grande, et en la portant à gauche, nous l'avons rendue dix fois plus grande : ainsi, de mille fois la fraction proposée, no^^otfs retranché jdix fois celle fraclion, et par conséquent Italie (345— 3) vaut 990 fois cette fraclion; donc on aura la valeur delà fraction proposée en divisant ce reste par 990, ce qui donne ^5^ = ^ = ^!*.

* En répétant sur la fractfenQ, 3.454545... les raisonnements que nous avons faits dans la note du numéro précédent, on donnera à cette démonstration toute la rigueur qu'on pourra désirer.