CONVERSION DES FRACTIONS DÉCIMALES

Donc, pour convertir une fraction périodique mixte en frac^ tion ordinaire, il faxU prendre pour numérateur la différence de deux nombres entiers que Von obtient en portant la virgule successivement à la droite et à la gauche de la première période j et pour dénominateur un nombre composé (P autant de 9 qu'il y a de chif" fres dans la période^ suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres irréguliers»

Exemple. Réduire la fraction 0,09702702702

en fraction ordinaire. En portant la virgule successivement à droite et à gauche de la première période, on trouve les nombres entiers 9702 et 9 : donc la fraction proposée est égale à

161. Il suit de cette règle que le numérateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé par wn zéro : car, pour que cela fûl, il faudrait que le dernier chiffre de la période fût le même que le dernier des chiffres irréguliers; mais alors ce dernier chiffre serait le premier de la période, de sorte que l'on n'aurait pas fait commencer cette période là où elle commence réellement

*1G2. Il suit du n* 157 que, lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible renferme d'autres facteurs premiers que 2 et 5, cette fraction ne peut pas être convertie exactement en décimales, et nous avons vu qu'alors elle donnait lieu à une fraction périodique : or on peut se demander si cette fraction sera pure ou mixte.

Toute fraction irréductible dont le dénominateur ne renferme aucun des factewrs premiers ^ eth est équivalente à une fraction périodique pure.

En effet, si la fraction décimale équivalente à la fraction proposée n'est pas une fraction périodique pure, elle sera une fraction périodique mixte, et en convertissant celle-ci en fraction ordinaire, le résultat devra être équivalent à la fraction génératrice : il faudra donc qu'en réduisant cette fraction résultante à sa plus simple expression, tous les fadeurs 2 et 5 qui se trou-

vent dans son dénominateur (160) disparaissent, et pour cela il faut qu'il y ait autant de zéros à la droite du numérateur qu'à celle du dénominateur. Or on a vu (161) que le numérateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé même par un seul zéro : donc il n'est pas possible qu'en réduisant en décimales une fraction irréductible dont le dénominateur ne renferme aucun des facteurs 2 et 5, on puisse trouver une fraction périodique mixte ; donc on trouvera une fraction périodique pure.

* 163, Si le dénominateur cTune fraction irréductible renferme qmlques-uns des facteurs premiers 2 et b, la fraction décimale équivalente sera une fraction périodique mixte, dans laquelle il y aura autant de chiffres irréguliers qu'il y a (Tunités dans le plus haut exposant des facteurs 2 et b qui se trouvent dans son dénominateur.

En effet, si la fraction décimale équivalente à la fraction proposée n'est pas une fraction périodique mixte, elle sera une fraction périodique pure, et, en convertissant celle-ci en fraction ordinaire, le résultat devra être une fraction équivalente à la fraction génératrice. Or cela^ est impossible, puisque le dénominateur de cette fraction résultante, étant exprimé par un certain nombre de chiffres 9 (tS9), ne renfermera aucun des facteurs 2 et 5 ; et par conséquent, en réduisant cette fraction à sa plus simple expression, on ne pourra pas retomber sur la fraction génératrice, dont le dénominateur est supposé contenir quelques-uns de ces facteurs. Donc la fraction décimale équiva^ lente à la proposée doit être périodique mixte.

Gela posé, si on convertit cette fraction décimale en fraction ordinaire, on obtiendra une fraction dont le dénominateur sera terminé par autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique (iOO). Or, en la réduisant à sa plus simple expression, il restera nécessairement dans le dénominateur tous les facteurs 2 ou tous les facteurs 5 qui s'y trouvent, puisque le numérateur n'est pas divisible à la fois par 2 et par 5 (i6i), mais on retombera ainsi sur la fraction génilTalrice : donc le plus

116 CONVERSION bES FRACTIONS DÉCIMALES

haut exposant des facteurs 2 et h contenus dans le dénominateur de cette fraction est précisément égal au nombre des chiffres irréguliers de la fraction périodique mixte équivalente.

164. Sil'oii applique la rëgledun''tS9àlafra€tion 0,9999..., on trouvera qu'elle est équivalente à f = 1» résultat qui parait absurde au premier abord. Mais si l'on considère que

la fraction 0,9 diffère de Tunité de 0,1

etc.,

on concevra qu'en prenant dans l'expression de la fraction périodique 0,999.... un nombre suffisant de chiffres, la fraction décimale que l'on obtiendra pourra différer de l'unité d'aussi peu que l'on voudra. L'unité est donc une limite dont la frac* lion décimale 0,999... différera d'autant moins qu'on la composera d'un plus grand nombre de chiffres, et qu'elle atteindra seulement quand le nombre de ses chiffres sera infini ; alors on aura rigoureusement 0,999.... = 1 .

168. Pour approcher de la valeur d^un nombre décimal à moins d'une demi-unité d'un ordre décimal donné , il faut supprimer tous les chiffres qui suivent celui de l'ordre dont il s'agit en ayant soin de forcer l\miié sur le dernier de ceux que l'on conserve lorsque le premier des chiffres que l'on néglige surpasse 5, ou est un 5 suivi S autres chiffres.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on demande la valeur d'un nombre décimal à moins d'un demi-centièyne^ et considérons l'expression 0,235. Celte fraction diffère évidemment d'un detni-centièmcyie chacun des deux nombres 0,23 et 0,24 ; donc en prenant chacun d'eux pour valeur delà fraction 0,235^ on commettra sur celte fraclio*n une erreur d'un demi-centième.

Si maintenant on considère un nombre décimal dont le (roisiëmç chiffre soit moindre que 5, par exemple 0,234678., ce nombre sera évidemment compris entre 0,23 et 0,235, et comme ces deux-ci diiïèrent d'un demi-centième, on en conclut qu'en prenant 0,23 pour valeur de la fraction 0,234678 on n'aura pas commis sur cette fraction une erreur d'un demicentième.

Supposons au contraire que le troisième chiffre du nombre proposé soit un 5 suivi d'autres chiffres, ou soit plus grand que 5 : considérons par exemple lenombre 0,23758423. Ce nombre sera évidemment compris entre 0,235 et 0,24; et comme ces deux nombres diffèrent d'un demi-centièmef on voit que 0,24^ est sa valeur à moins d'un demi-centième.