S III. MULTIPLICATION
181. Pour étendre aux nombres concrets la définition du n* 23, il faut concevoir que le produit se compose avec le multiplicande comme le multiplicatey/t* est composé avec l'unité de son espèce; de sorte que, multiplier un nombre quelconque par un nombre complexe, c'est multiplier le multiplicande par le rapport du multiplicateur à Vunité de son espèce.
Cela posé, nous distinguerons deux cas, suivant que le mul« tiplicateur sera un nombre incomplexe ou un nombre complexe.
Proposons-nous donc d'abord de multiplier 12»13'10* par ^ toises*. Le rapport de 5' à V étant le nombre abstrait 5, il s'agira simplement de multiplier 12*i3'10* par 5. Pour cela nous multiplierons successivement les diverses espèces d'unités de ce nombre par 5, en commençant par celles de l'ordre inférieur, aûn de réunir à chaque produit partiel les unités de son
"^ On est conduit à cette opération pxr la question suivante : Une toise d'ouvrage a été payée 12* 13* 10'; quel est le prix de 5 toises du même ouvrage ? En effet, le prix de 5 toises doit être composé avec celui d'une toise comme 5 toises sont composées avec une toise; de sorte que, pour avoir ce prix, il n'y a qu'à multiplier 12* 13* 10* par le rapport de 5^ à F.
espèce que pourra renfermer le produit partiel précédent. Nous dirons donc : 5 fois 10** font 50**, qui valent 4"+ 2"*; j'écris 2^ et je retiens 4»; 5 fois 3', 15% et 4", 19'; j'écris 9' et je retiens 1 ; 5 fois 1, 5, et 1, 6; 6 dizaines de sous valent 3* : je retiens donc 3*; 5 fois 12 , 60 , et 3 , 63 . Ainsi le produit demandé est 63* 9* 2*.
On sent que cette méthode serait trop longue si le multiplicateur était un nombre considérable : on a trouvé le moyen d'arriver plus rapidement au résultat^n décomposant les collections des diverses unités que renferme le multiplicande en parties aliquotes de l'unité immédiatement supérieure, c'est-àdire en partias qui soient des diviseurs exacts de cette unité» Cette méthode de multiplication a reçu en conséquence le nom de midtiplication par les parties aliquotes.
182. Proposons-nous, pour l'expliquer, de multiplier 12* 13- 10"* ;?ar 535.
Pour multiplier 12* 13» 10* par 535, nous multiplierons successivement toutes les parties de ce nombre par 535, en commençant par les unités de la plus haute espèce, et nous disposerons les calculs comme ci-dessous :
Produit de 10' par
lO*»
Le produit de 12* par 535 est 6420*. Maintenant je décompose 13- en parties aliquotes de lalivre, qui vaut 20% c'est-àdire en 10* -|- 2" + 1'; de sorte que, pour multiplier 13» par 535,
il suffira de multiplier successivement 10", 2* et 1* par 535. Or LC'Somt la moitié de la livre : donc le produit de 10* par 535 est la moilië du produit d'une livre p'^r 535 ou la moitié do 535* ; on voit feuDilement que cette moitié e8t.267* 10*. 2' sont { de 10*; donc le preduit de 2* par 535 sera le cinquième du précède» t^ c'est-à-dire le cinquième de 267* 10*. Or, le cinquième de 267» est 53^9 et il reste 2*, qui valent 40% et 10% 50% dont le cinquième est 10*; ainsi le produit de 2* par 535 est 53* 10*. 1* est la moitié de 2* : donc le produit de 1* par 535 sera la moitié du précédent, ou 26* 15*. Il nous reste à multiplier 10' par 535. Pour cela, je décompose 10' en parties aliquotes du sou, qui vaut 12*, c'est-à-dire en 6'-|-4*; de sorte que, pour multiplier 10* par 535, il faudra multiplier ces deux parties par ce nombre; mais 6' sont la moitié du sou, et 4' en sont le tiers: donc les produits de 6' et de 4' par 535 seront respectivement la moitié et le tiers du produit de i* par 535, c'est-à-dire de 26* 15*; ainsi il sera facile de les former. En additionnant ensuite tous les produits partiels, on obtiendra 6790* 10* pour la valeur du pix>duit total demandé.
185. Proposons-nous maintenant de mulUpUer deux nom-bres complexes Vun par FaiUre, par exemple, 12* 13* 10* par 535"^ 5»* tf I*.
Il s'agira donc de multiplier le multiplicande par le rapport du multiplicateur à la toise, ou, ce qui revient au même, de le multiplier par les rapports respectifs de 535 toises, de 5 pieds, de 8 lignes et des { d'une ligne à la toise. Nous allons effectuer successivement ces quatre multiplications partielles, et nous disposerons les calculs de la manière suivante :
* On est conduit à cette opération par la question suivante : Une toise d'ouvrage a été payée 12* 13* 10* j quel sera le prix de 535^5? g» |î
Pmduil par b^b'^ 6790* 0» 10^
4 1 2 iés = m-
il 1 &^ 1997
6 ^ " ^ 8UΗ 2692
D'abord le produit du multiplicande par 535^ a été calculé tout à l'heure. Pour obtenir le produit de ce nombre par 5^, je Recompose 5** en parties aliquotes de la toise, qui vaut 6**, c'està-dire en 3^+ 2^ : or 3"* et 2** sont respectivement la moitié et le tiers de la toise. Ainsi j'aurai les produits du multiplicande par les rapports de 3** et de 2** à la toise en prenant la moitié et le tiers de ce multiplicande, ce qui est facile. Pour multiplier maintenant 12* 13* lO'' par 8^ (c'est-à-dire parle rapport de 8* à la toise), je décompose 8^ en parties aliquotes du pouce, qui vaut 12\ et la décomposition la plus simple est évidemment 4* -f- 4^ : de sorte qu'il s'agit de multiplier le multiplicande par 4*. Or 4^ sont 7^ de 2** : donc le produit du multiplicande par 4* est ^ de celui de ce nombre par 2**. Mais comme il n'est pas commode de prendre directement 7^ d'un nombre, j'observe que ^=i X i, et qu'ainsi nous obtiendrons le produit par 4' en prenant d'abord i du produit du multiplicande par 2**, ce qui nous donnera le produit de ce nombre par 3** (c'est ce que les arithméticiens appellent produit auxUiairé)^ et cherchant ensuite ^ de celui-ci. Nous avons eu soin de barrer le produit auxiliaire afin de n'en pas tenir compte dans l'addition des produits partiels.' Enfin on obtient le produit du multiplicande
par I en décomposant cette fraction en parties aliquotes de Funité, qui vaut 6 sixièmes, c'est-à-dire en | = ^, plusf= J- On sera ainsi conduit, pour avoir le produit du multiplicande par I de ligne, à prendre | et 1*5 du produit de ce nombre par 4^ Il ne restera plus qu'à additionner tous les produits partiels, et on aura le produit total demandé.
