XXIX. Quel est le nombre qui surpasse ses f de

Un nombre surpasse ses { de ses f; donc les f du nombre inconnu font 420; don^c, etc.

Réponse : 945.

♦ C'est-à-dire que, pour faire payer 10 roubles à Pétersbourg, il faut payer 44' à Paris ; et coqqime 10 fouliles ne valent tlellement que 40', on voit que le prix du change est dfe 4'. «

XXX. Quel est le nombre qui, augmenté de ses J, fait 650 ? Réponse : 450.

XXXI. Quel est le nombre qui, diminué de ses |, fait 72 î Réponse: 180.

XXXII. Quatre joueurs se sont associés : le premier a gagné 35'; le second, le neuvième du gain total; le troisième, les^ de ce gain; et le quatrième. Us ^ de ce même gain. Combien chaque joueur a-t-il gagné ?

Si l'on observe que i + J + ^^e^^ on verra que le gain total se compose de ses 51, et en outre de 35'; donc 35' sont les ifs de ce gain : donc, etc.

Réponse : 360'.

XXXIII. Un père, en mmrant, ordonne que Vatné de ses enfants prendra le quart du bien qu'il laisse; le second, 12000' et le cinquième du reste; lé troisième, 8000', le cinquième du reste n le seizième des deux premiers, plus 5000' ; enfin, que le quatrième recevra le reste, 24000'. Quelle m la part de chaque enfant?

L'inconnue de la question est évidemment la valeur de l'héritage. Or rainé, prenant le quart du bien, ne laisse que les | à partager entre ses frères. Sur cette somme le second prélève d'abord 12000' : le reste est donc égal aux | du bien diminués de 12000', quantité dont le cinquième égale ^ de rhéritage, moins 2400'. La part du second fils est donc composée des ^ delà succession et de 12000'— 2400' = 9600'; la somme qu'il laisse aux deux autres est donc égale à (| — t^) de l'héritage moins 9600', ou aux % du bien, moins 9600'; en sorte que les deux aînés ont eu \ de la succession augmentés de 9600'. Le troisième enfant prélève 8000' sur ce que ceux-ci ont laissé; ainsi le reste vaut | du bien, moins 9600', naoins 8000', ou moins 17000'. Il en prend le chiquième, c'est-à-dire ^ de rhéritage, moins 3520'; il reçoit encore un seizième des deux premiers, plus 5000', ce qui fait i^ du bien, plus 600', plus 5000', ou plus 5600' ; la part du troisième enfant est donc égale à 8000' + ^i^ du bien — 3520' +^ du bien -f- 5600'=^ du -bien -f- 10080'. U laisse conséquemment au quatrième | di^

bien — 9600' —^ du bien— 10080', ou ^ de rhéritage diminués de 19680'. Hais le quatrième enfant a pour sa part S4000' : par conséquent,

^ de r héritage— 10680' égalent 24000'; donc ^ de rhérilage égalent 24000' +19680' = 43680';

^5 de rhérilage égale ^¥^=^80'-

L'héritage vaut donc 480' x 200 = 96000'.

Le père a donc laissé 96000' à ses enfants. Effectuant maintenant les opérations indiquées dans Ténoncé, on trouve que chaque enfant devait recevoir 24000'.

XXXrV. Un ouvrier n'avait plus que 6' lorsqu'on lui paya b semaines de travail; 2 semaines aprhSj il avait déjà dépensé les \ de tout son argent; mais ayant alors reçu le prix de son travait^ pour ces deux semaines^ il se trouva avoir 21'. Combien gagnait-U }ar semaine?

Deux semaines après avoir reçu le prix de son travail pour 5 semaines, cet ouvrier ayant dépensé les | de tout son argent, il ne lui en restait plus que le quart, c'est-à-dire le quart du prix de son travail pour 5 semaines, plus f '= l',5, ou, ce qui revient au même, f de ce qu'il gagnait par semaine, plus l',5. Mais il reçoit alors le prix de ces deux semaines : donc les 21' qu'il possède alors se composent de l',5, plus des | et encore desf de son gain par semaine, ou des -^ de ce gain, plus l',5 r donc les ^ de ce gain valent 21'— 1',5= 19',50, etc.

XXXV «^ Une femme de campagne porte des œufs dans une ville de guerre où il y avait trois corps de garde à passer. Elle vend a%e premier la moitié de ses œufs, plus la moitié d^ttn opuf; au second ^ ■ la moitié des œufs qwi lui restent^ plus la moitié d'un œuf; au troi^ sième^ la moitié des œufs qui lui restent^ plus la moitié d'un œuf, . , et arrive au marciié avec 36 œufs. Combien a-t-elle laissé dœufs^ dans chaque corps de garde f

Puisqu'elle laisse dans le troisième corps de garde là moitié des œufs qui luîVestaient, plus la moitié d'un œuf, les 36 œuf? qu'elle porte au marché valent la moitié de ce nombre d'œufs^

moins la moitié d'un œuf; donc elle était entrée au troisième •corps de garde avec 36^X2 = 73 œufs; donc elle y en a laissé 37. On verra de même qu'elle avait 73^X2 = 147 œufs •en arrivant au second corps de garde, et qu'elle en avait vendu 74; enfin qu'elle était partie de chez elle avec 147 JX2 = 295 œufs, et qu'elle en avait laissé 148 au premier corps de garde. ^

XXXVI. Une personne charitable rencontre des pauvres auxquels elle distribiie le quart de Vargent qu*elle a dans sa bourse, moins { rfe franc : Dieu^ pour la récompenser^ double ce qui lui reste. Alors elle entre dans une église, et dépose dans un tronc le tiers de ce qu'elle a dans sa bourse, plus J de franc; Dieu triple ce qui lui reste. EUe se rend ensuite dans une prison, où elle distribue ïa moitié de ce qu'elle a, plus ^ franc; Dieu quadruple ce qui lui reste; et elle rentre chez elle avec 100'. Combien avait- elle en sortant?

Réponse : 17'.

XXXVII. Un marchand prélève tous les ans une somme de 4000' sur les fonds qu'il a dans le commerce, et cependant chaque année sa fortune augmente du tiers de ce qui lui reste, et elle se trouve doublée au bout de trois ans. Combien avait-il au comment <:ement de la première année?

Réponse: 59 200'. '

XXXVIII. Un banquier voudrait payer 95' en employant 10 pvbces tant de 5' que de 20'. Comment doit-il s'y prendre?

Si le banquier n'employait que des pièces de 5', il ne payerait que 50', et il redevrâit ainsi 95' — 50'== 45'. Or^s'il sub» -stituc une pièce de 20' à une pièce de 5', il paye 15' de plus; donc, en remplaçant 3 pièces de 5' par 3 de 20', il auili atteint le but qu'il se propose. Ainsi il devra donner 7 pièces de 5' et 3 de 20', ce qu'il est facile de vérifier.

Remarquons que, si l'on avait proposé de payer une pmme moindre que 50' avec dix pièces tant de 5' que de 20', le problème eût été impossible. ".

XXXIX. Un marchand a reçu deux caisses contenant chacune 150 kilogrammes de thé; il les a payées ensemble 4800', et Cune lui

coûu 600^ de plus que r autre. Il veut faire un envoi de 100 Ulo^ grammes^ qu'on lui payera 2000'. Combien doitril prendre de chaque espice de thé pour gagner S'^SO par kilogramme?

Réponse : 70 de Tune et 30 de Tautre.

XL. Un orfèvre a deux lingots Sot aux titres de 0,920 et 0,750^ (109). Combien doit-il prendre de grammes de chacun pour en composer un lingot de 850 grammes au tUre de 0,840?

Répwise : 400< à 0,750 et 450< à 0,920.

Xll. Un orfèvre a deux lingots de 1800 grammes chacun^ Vun au titre de 0,920, et Vautre à celui de 0,750. Combien doit-il ajouter de grammes du 2* au 1*' pour en abaisser le titre à 0,840?

Réponse : 1600 grammes.

XLII. Un orfèvre a un lingot de 1200 grammes au titre d& 0,750. Combien doit-il y ajouter (for pur pour en élever le titre à 0,840?

Ce problème peut se ramener aux précédents, en regardant For pur comme étant au titre de 1000 millièmes,

Réponse : 675 grammes.

XLIII. Trois frères ont acheté une propriété moyennant 50 OOC // manque au premier^ pour la payer à lui seul, la moitié de T argent qu'a le second; celui-ci payerait l'acquisition si le premier lui donnait le tiers de ce qu'il a; enfin le troisième^ enjoignant à ce quil possède le quart de la fortune du premier ^ pourrait payer les 50 000'. Combien chaque frère Ort-il d'argent?

Il résulte de la première condition que le double de la fortune du premier, augmenté de celle du second, forme 100 000',mais, d'après la seconde condition, la fortune du second frère jointe au tiers de celle du premier compose 50000'; donc Texcès du double de la fortune du premier sur le tiers de cette même fortune égale l'oxcès de 100 000' sur 50 000', ou, ce qur revient au même, les J de ce que possède le premier forment 50000'; donc, etc. Le premiei: avait 30000', le second 40000', le troisième 42 500'.

XLIV. Un ouvrier travaillant chez un particulier pendant l^joursy sur 7 desquels U aeu avec lui sa femme, a reçu 74'^ //a

travaillé ensuite chez le même particulier 8 autres jours sur 5 desquels il s'est encore fait aider de sa femme, et il a reçu 50'. Combien Vouvrier gagnait-il par jour, et combien sa femme gagnaitelle aussi pendant le mime temps?

En comparant les temps pendant lesquels l'ouvrier et sa femme ont travaillé dans le second cas, avec les nombres qui expriment les quantités analogues dans le premier, on verra qu'en travaillant (12 — 8) = 4 jours sur (7 — 5) = 2 desquels il a eu avec lui sa femme, l'ouvrier gagnait (7 4' —50') = 24'; donc, en travaillant 8 jours, sur 4 desquels il a eu avec lui sa femme, il gagnait 48'. Mais en travaillant 8 jours, sur 5 desquels il a eu avec lui sa femme, il gagnait 50'; donc la femme gagnait (50' — 48') = 2' par jour, et partant 10' en 5 jours ; le mari recevait donc, pour 8 jours de travail, 50'^ 10' = 40', et par conséquent il gagnait 5' par jour.

XLV. Deux joueurs vont au jeu avec 425' et perdent 2t)0'; t^ comptent alors leur argent^ et Use trouve que Vun a perdu les | de son argent, et Vautré la moitié du sien. Combien avaient-ils chacun en entrant au jeu?

En supposant que nos joueurs aient fait une perte double de la leur, vous trouverez qu'il ne leur resterait plus que 25', qui exprimeraient alors le cinquième de la mise du premier, etc.

Répome : Le premier était entré au jeu avec 125', et le second avec 300'.

XLVI. Une personne qui a des jetons dans les deux mains dît : Si j'en fais passer un de la main gauche dans la droite y il y en aura deux fois plus dans celle-ci que dans Vautre ; si au contraire fen fais passer un de la droite dans la gauche, il y çn aura le même nombre dans les deux mains. Combien y en a-t-il dans chacune?

Il résulte de la seconde condition qu'il y avait deux jetons de plus dans la main droite que dans la main gauche ; donc, si l'on fait passer un jeton de la gauche dans la droite, il y aura dans celle-ci 4 jetons de plus que dans l'autre. Mais la droite doit en contenir 2 fois plus que la gauche ; donc il y a

alors 4 jetons dans celle-ci et 8 dans celle-là; donc il y avait 5 jetons dans la main gauche et 7 dans la droite.

XL VU. Trois persomies ont mesuré sxiccessivemsnt la distance entre deux objets : la première a trouvé 536",25, la seconde 536",40, et la troisième bZb'^^90. Cependant il importe de connaître cette distance le plus exactement possible. Comment faire?

Si chaque personne avait opéré exactement, la somme des résultats qu'elles auraient trouvés formerait le triple de la distance cherchée, qui par conséquent serait le tiors de celte somme. Or, les trois résultats trouvés étant diffcrenis, il est probable qu'aucun n'est exact, et que le véritable est compris entre le plus grand et le plus petit des trois. En ajoutant ces trois résultats, les erreurs dans un sens détruiront en partie celles qui sont dans Taulre, en sorte que leur somme approchera plus du triple de la véritable distance que ne le ferait le triple de chacun de ces résultats en particulier; donc aussi le tiers de leur somme différera moins de la distance cherchée que ne le fait chacun de ces nombres. On aura donc, d'après cela :

Dislance cherchée = fi'^"""^ fr ^ ^gi ^ MO ^ <^a^->P9 = 536", 1 8.

Cette distance s'appelle distance moyenne^ parce qu'elle tient à peu près le milieu entre les résultats trouvés.

XLVIII. Un marchand a trois sortes de vins, savoir : 48 litres à 0^55 le litre; 72 o 0^,45, et 60 à 0',75. Il les mêle, et on demande à combien lui revient le litre du mélange *?

48 lilres à 0^55 valent. 0',55X48 = 26',4 72. . . . 0,45. .. . 0,45X72 = 32,4 60. . . . 0,75. .. . 0,75X60 = 45,0

Donc les 180* du mélange valent ..... 10j',8

et par conséquent le litre du mélange revient à -^j^ = 0^,58 à moins d'un demi-centime.

* Ces sortes de questions sont connues des arithméticiens sous le nom de règles d'alliage.

XLIX. Un marchand a du vin qui lui coûte 15 décimes le litre. Combien doit-il y ajouter d^eau pour gagner 6 décimes par litre?

Lorsque dans une certaine quantité de vin on substitue un litre d*eau à un litre de vin, on diminue la valeur de cette quantité de vin du prix d*un litre de vin, c*est-à-dire de 15 décimes dans notre exemple; on la diminuera donc de 1 décime en remplaçant -^ litre de vin par -^ litre d'eau : le marchand diminuera conséquemment le prix d*un litre de vin de 6 décimes en substituant à ^ = I litre de vin la même quantité d'eau. Le litre de mélange sera alors composé de f de vin et de f d'eau; donc un mélange de 6 litres sera composé de 3 litres de vin et de 2 d'eau : donc il faut à un litre de vin en ajouter § d'eau.