S I. RACINE CARRÉE

180. On appelle carré d'un nombre le produit de ce nombre multiplié par lui-même; ainsi le carré de 6 est 36.

On appelle racine carrée d'un nombre le nombre qui, élevé au carré, reproduit le nombre proposé; ainsi la racine carrée de 36 est 6.

190. On appelle en général racine ii**"* d*un nombre le nombre qui, élevé à la n**"* puissance, reproduit le nombre proposé (41). Ainsi la racine cinquième de 32 est 2^ parce que la cinquième puissance de 2 est 32.

Pour exprimer que Ton doit extraire une racine d'un nombre, on place ce nombre sous le signe ^ "i dans les branches duquel on écrit Yindice de la racine à extraire, excepté pour la racine carrée, à Tégard de laquelle on supprime l'indice. Ainsi v^ et v^32 signifient respectivement que l'on doit extraire la racine carrée de 36 et la racine cinquième dfe32.

191. La racine carrée de 100 étant 10, on voit que la racine carrée de tout nombre plus petit que 100 est moindre que 10, de sorte qu'elle est exprimée par un nombre d'un seul chiffre.

Au contraire, la racine carrée de tout nombre plus grand que 100 surpasse 10, et contient par conséquent des dizaines e! des unités.

Nous distinguerons donc deux cas dans V extraction de la racine carrée des nombres entiers, suivant que le nombre proposé sera plus petit ou plus grand que 100.

1 02. Pour extraire la racine carrée d'un nombre plus petit que 100, cherchez dans le tableau suivant :

dont la seconde ligne renferme les carrés des neuf premiers nombres, quel est le plus grand carre contenu dans le nombre proposé; la racine de ce plus grand carré sera la racine demandée à moins d'une unité. Ainsi la racine carrée de 72 est 8, parce que le plus grand carré contenu dans 72 est 64, qui a 8 pour racine. Cette racine est exacte à moins d'une unité : car, 72 étant compris entre 64 et 81, sa racine tombe entre 8 et 9, et diffère par conséquent de chacun de ces nombres de moins qu'ils ne diffèrent entre eux, c'est-à-dire de moins d'une unité.

'"193. Cette quantité dont 8 diffère de la racine carrée de 72 ne peut pas être exprimée exactement en nombre. Supposons, en effet, que la racine carrée de 72 puisse être exprimée par 8 unités, plus une fraction. Convertissons le nombre ainsi formé en une expression fractionnaire irréductible que nous

représenterons par r. Alors, si on élève cette quantité au carrée

le résultat p(i 16) devra être équivalente 72, ce qui ne se

peut, puisque aeib étant supposés premiers entre eux, a* et 6* le sont aussi (85) : donc il est impossible que la racine carrée de 72 puisse être exprimée par un nombre entier ou par un nombre fractionnaire ; donc elle n'a aucune mesure commune avec l'unité : car, si elle en avait une, ce ne pourrait être que l'unité elle-même, ou une partie aliquote de l'unité*, et alors l'expression de la racine serait ou un nombre entier ou un nombre fractionnaire; donc cette racine est irrationnelle ou incommensurable.

* C'est-à-dire une des quantités que l'on obtient en parUgeant Tunité en un nombre quelconque de parties égales.

Le raisonnement précédent pouvant s'appliquer à tout nombre entier dont la racine carrée n*est pas un nombre entier, nous en conclurons que, quand la racine carrée (Tun nombre entiern*est pat entière, elle est incommensurable»

104. Occupons-nous maintenant de Tcxlraction de la racine carrée d'un nombre plus grand que 100.

Cette racine devra, comme nousFavons vu (191), renfermer des dizaines et des unités. Il convient donc d'examiner d*abord quelle doit être la composition du carré d*un nombre qui contient des dizaines et des unités.

Concevons le nombre dont il s'agit décomposé en dizaines et en unités, et multiplions-le par lui-môme, ce qui se fera évidemment en multipliant chaque partie du multiplicande successivement par chacune de celles du multiplicateur. Or, en multipliant le nombre proposé par ses unités, nous trouverons évidemment

le carré des unités et le produit des dizaines

par les unités.

Ensuite, en mullîplianl le nombre proposé par ses dizaines, nous obtiendrons d'abord le produit des unités par les dizaines, ou, ce qui est la môme chose,

le produit des dizaines par les unités, puis le carré --^ des dizaines.

Donc le carré d'un nombre qui contient des dizaines et des unités ^e compose du carré des dizaines^ du double du produit des dizaitics par les unités , et du carré des unités*.

iO^. Revenons maintenant à l'extraction delà racine carrée

* On peut encore dire : Représentons les dizaines d'un nombre par a, et ses unités par 5; ce nombre sera représenté par (a + 6); et, pour avoij loa

d*iin nombre plus grand que 100. Sa racine contiendra, comme nous l'avons déjà dit, des dizaines et des unités, et puisqu'un nombre doit toujours être considéré comme le carré de sa racine carrée, nous pourrons regarder te nombre proposé comme composé de trois parties, savoir : du carré des dizaines de sa racine, du double des dizaines multiplié par les unités, et du carré -des unilés de cette racine (194).

Si l'on pouvait détacher du nombre proposé le carré des dizaines de sa racine, en en extrayant la racine carrée, on obtiendrait les dizaines de cette racine. Mais le carré des dizaines de la racine, étant un nombre exact de centaines (34), ne peut se trouver que dans les centaines du nombre proposé, lesquelles peuvent encore contenir quelques centaines qui auraient reflué des deux autres parties du carré de la racine, plus du reste, s'il y en a un : par conséquent, si l'on extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé, on n'obtiendra pas un nombre plus petit que les dizaines de la racine. On ne pourra pas non plus en trouver nn plus grand,, sans quoi cette racine du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé surpasserait, au moins d'une unité, la racine totale*^ c'est-à-dire la racine du plm grand

carré, il faudra multiplier (a + 5) par (a + 5), ce qui donnera lieu au calcul

suivant L - ^

Produit du multiplicande par a. . . a^-\-a.b

Produit du multiplicande par b. . . -f a. b 4- b* *t

Carré a» + 2a.b +6"'

Or a' représente le carré des dizaines, a.b le produit des dizaines par les unités, et b' le carré des unités ; donc le^carré d'un nombre qui contient des dizaines et des unités se compose, etc.

• * Si, par exemple, le nombre des dizaines de la racine étant 2, la racine du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé était 3^ dizaines, il est évident que la racine de ce plus grand carré surpasse-

carré contenu dans le nombre tout entier^ ce qui est absurde. Donc, en extrayant la racine carrée du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre proposé, on trouvera exactement les dizaines de la racine. Maintenant si Ton retranche de ce nombre le carré des dizaines de la racine, le reste ne contiendra plus que le double des dizaines multiplié par les unités, et le carré des unités. Or, si Ton pouvait détacher du reste la première de ces deux parties, il est clair qu'en la divisant par le double des dizaines de la racine, on trouverait les unités. Mais le double produit des dizaines de la racine par les unités étant un nombre exact de dizaines (54), ne peut se trouver que dans les dizaines du reste, lesquelles peuvent contenir en outre des dizaines provenant du carré des unités, et du reste, s*il y en a un ; donc, si Ton divise les dizaines du reste par le double des dizaines de la racine, on ne pourra pas trouver un nombre plus petit que les unités de cette racine, mais on courra le risque d'en trouver un plus grand (on verra d'ailleurs (190) que le reste seul peut contenir autant de dizaines qu'il y en a dans le double de celles de la racine). Pour s'assurer que le chiffre des unités n'est pas trop grand, on l'écrira à la droite du double des dizaines, et Ton multipliera le nombre ainsi formé par les unités, ce qui donnera le double des dizaines multiplié par les unités, plus le carré des unités. Mais, comme ces deux parties doivent être contenues dans le reste, leur somme devra pouvoir s'en retrancher. Si cela ne se peut pas, c'4Bst une preuve que le chiffre qu'on a trouvé est trop grand,' et alors il faudra le diminuer d'une ou de plusieurs unités. On aurait pu encore vérifier le chiffre trouvé pour les unités en élevant la racine totale au carré : car ce carré doit pouvoir se retrancher du nombre proposé.

196. Concluons de là que, pour extraire la racine carrée (Tun nombre plus grand que 100, on extraira d* abord la racine^

rait la racine demandée, qui, dans notre hypothèse, est au plus égale à"

AW UUltcS.

du plus grand carré contenu dans les centaines de ce nombre, ce qui donnera les dizaines de la racine; on retranchera le carré de ces dizaines du nombre proposé, et^ en divisant les dizaines du reste par le double des dizaines de la racine, on obtiendra les unités de cette racine^ ou du moins v/n nombre qui ne sera pas plus petit, Powr vérifier si ce nombre n'est pus plus grand, on técrira à la droite du double des dizaines, on multipliera le nombre ainsi formé par les unités, et le produit devra pouvoir se retrancher du reste,

187. La règle que nous venons d'établir pour extraire la racine carrée d'un nombre exige que Ton sache extraire la racine du plus grand carré contenu dans les centaines de ce nombre. Voyons si nous pouvons y parvenir dans tous les cas. Supposons d'abord que le nombre proposé ne renferme pas plus de quatre chiffres*: ses centaines en contiendront deux au plus ; mais alors on extraira facilement, d'après la règle du n* 192, la racine du plus grand carré contenu dans ces centaines, ce qui donnera les dizaines de la racine, et il sera facile ensuite de trouver les unités.

Si le nombre proposé n'a pas plus de six chiffres, ses centaines n'en contiendront pas plus de quatre; mais alors on pourra déterminer, comme nous venons de le voir, la racine du plus grand carré contenu dans ces centaines, ce qui fera connaître les dizaines de la racine, et par suite les unités.

Ce raisonnement s'étendra successivemeirt aux nombres composés au plus de huit, de dix, de douze, etc., chiffres : de sorte que notre règle pourra s'appliquer à tous les nombres possibles.

198. Gomme les différents chiffres de la racine se détermi* nent, à l'exception du premier, par la division, on sent que la crainte de mettre à la racine un chiffre trop grand expose à en écrire un trop petit. Gomment s'assurer alors que fcchijBfre que l'on a mis à la racine n'est pas trop petU? Supposons que la racine trouvée soit trop faible d'une unité : alors te liombrç

proposé devra contenir Je carré de cette racine augmentée d'une unité, c'est-à-dire, comme il est facile de le voir% le carré de la racine trouvée, plus lë double de cette racine, plus une unité. Mais comme on en a soustrait le carré de la racine trouvée, le reste devra contenir encore le double de cette racine, plus une unité ; on sera donc sûr que le chiffre mis à la racine ne sera pas trop faible lorsque le reste correspondafit sera moindre que le double de la racine trouvée^ plus une unité.

199. Il suit de là que le reste que l'on obtient en extrayant la racine carrée et un nombre entier, vaut au plus le double de cette racine^ et que la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces nombres^ plus une unité.

* Considérons un nombre quelconque, et ajoutons-y une unité : pour former le carré du nombre ainsi obtenu, il faudra le multiplier successivement par ses deux parties; or, en le multipliant par 1, nous aurons

le nombre proposé, plus une unité.

En le multipliant ensuite par son autre partie, c^est-À-dire par le nombre proposé, nous trouverons évidemment

le carré du nombre proposé, plus le nombre proposé.

Donc, le carré d'un nombre plus 1 se compose du carré de ce nombre, plus du double de ce nombre, plw 1 . ' ""

On pourrait dire encore : Représentons la racine trouvée par a : la vraie racine sera donc exprimée par (a -f- 1), de sorte que, pour avoir son carré, il faudra multiplier (a 4- 1) par (a + 1), ce qui donnera lieu au calcul suivant :

Produit du multiplicande par a. t . à* + a Produit du multiplicande par 1 . . . .{. a + 1

Carri.... a*+Sa + l

Donc le carré de la vraie t acine se compose du carré de la racine trouvée plus du double de cette racine, plus d'une unité.

200. Appliquons les principes que nous avons développés à la recherche de la racine carrée du nombre 421861. On disposera les calculs comme ci- dessous :

Le nombre étant phis grand que 100, sa racine contiendra des dizaines et des unités; et, pour avoir les dizaines, il faudra séparer les deux derniers chiffres à droite, et extraire la racine du plus grand carré contenu dans les 4218 centaines qui restent à gauche. Mais ce nombre 4218 est aussi plus grand que 100 : donc sa racine carrée contiendra des dizaines et des unités ; et, pour déterminer ces dizaines, il faudra séparer les deux derniers chiffres à droite, et extraire la racine du plus grand carré contenu dans les 42 centaines qui restent à gauche. Le plus grand carré contenu dans 42 est 36, dont la racine est 6 : ainsi la racine carrée de 4218 contient 6 dizaines, que j'écris à la place réservée pour la racine. Pour obtenir les unités de cette racine, je retranche du nombre 4218 le carré de 6 dizaines, ce qui revient à retrancher 36 centaines de 42 centaines, et à abaisser à la droite du reste la tranche 18, ce qui fait 618; je divise les61 dizaines de ce nombre par 12, double des 6 dizaines de la racine, et le quotient 4 exprime les unités de cette racine. Pour vérifier si ce chiffre 4 n*est pas trop grand, je Técris à la droite du double des dizaines, ce qui fait 124; je multiplie ce nombre par 4, et je retranche le produit 496 de 618, ce qui donne pour reste 122. Ainsi le chiffre 4 n'est pas trop grand ; mais nous pourrions craindre qu'il ne fût trop petit, puisque nous l'avons obtenu en divisant 61 par 12, et que le véritable quotient de celle division est 5. Pour le vérifier, j'ajoute 4 à 124,

ce qui donne 128 pour le double de la racine trouvée; et comme le reste 122 est moindre que 128, et par conséquent que 128 -f- 1> j'en conclus que le chiffre 4 n*estpas trop petit (198). Mais d'ailleurs nous avons vériGé qu'il n*ètait pas trop grand : donc il est exact. Donc 64 est la racine du plus grand carré contenu dans 4218. Ainsi la racine demandée contient 64 dizaines. Il faudra, pour en trouver les unités, retrancher du nombre proposé le carré de ces 64 dizaines ; or, ce carré sera un nombre exact de centaines; donc il sufiira de le retrancher des 4218 centaines du nombre proposé, et d'abaisser à la droite du reste la tranche 61. Hais nous avons précisément retranché le carré de 64 du nombre 4218 : car nous avons d'abord soustrait de ce nombre le carré des 6 dizaines, ce qui a donné pour reste 618, et de ce reste nous avons soustrait 496, qui exprime le produit du double des 6 dizaines par les 4 unités^ plus le carré de ces 4 unités. Abaissons donc à la droite du reste 122 la tranche 61, ce qui donnera 12261, et divisons les dizaines de ce nombre par 128, double des 64 dizaines delà racine : le quotient 9 sera le chfffre des unités. Il est évident qu'il n'est pas trop petit. Pour vérifier qu'il n'est pas trop grande on l'écrira à la droite de 128, ce qui donnera 1289; on multi» pliera ce nombre par 9 ; et, en retranchant le produit 12601 de 12261, on trouvera 660 pour reste, ce qui prouve que le chiffre 9 n'est pas trop grand, et qu'ainsi 649 est la racine carrée de 421861 à moins d'une unité.

201 . Il est facile de dire si cette racine est erronée de plus ou de moins d'une demi-unité. En effet, supposons que la racine trouvée soit trop faible d'une demi-unité; alors le nombre proposé devra contenir le carré de cette racine augmentée d'une demi-unité, c'est-à-dire, comme il est facile de le voir, le carré de la racine trouvée, plus cette racine, plus ^*. Mais comme on

* Soit a la racine trouvée, supposée erronée de ^ : la vraie racine sera représentée pir (o + i) ; et, en raisonnant comme dans la note du n" 104^ on trouvera que son carré est rf* +' a -f- J.

a soustrait de ce nombre le carré de la racine trouvée, le reste devra contenir encore cette racine, plus ^ : donc, puisque ce resie est un nombre entier, on sera sûr que la racine trouvée ne sera pas trop petite d'une demi-unité lorsque le reste ne surpassera pas cette racine; mais, s'il la surpasse, elle sera erronée de plus d'une demi-unité : donc, en forçant Vunité sur son dernier chiffre^ on Vaura encore à moins d'une demir-unité.

Il suit de là que, le calcul de Texemple précédent ayant donné 649 pour racine et 660 pour reste, la racine carrée du nombre 421 861 est 650 à moins d'uire demi-unité.

202. Ce n'est que dans des cas très-rares que l'on obtiendra exactement la racine carrée du nombre proposé; car, dans le premier million par exemple, il n'y a que mille nombres dont là racine carrée soit entière; et nous avons prouvé au n*» 193. que, quand la racine carrée d'un nombre entier n'est pas entière, elle est incommensurable. On n'aura donc alors la racine demandée qu'à moins d'une unité, ou à moins d'une demi-unité (201); mais si l'on a besoin d'un plus grand degré d'approximation, on pourra l'obtenir par la méthode suivante.

Supposons, pai exemple, qu'on demande la racine carrée de 7 à moins de J. J'observe que la racine carrée du produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres; car, pour élever un produit au carré, il suffit de carrer chacun de ses facteurs* ; de sorte que, pour revenir du

* Soit, en effet, proposé de former le carré du produit 3.4.6: il faut pour cela multiplier ce produit par lui-même, ce qui revient à le multiplier successivement par chacun de ses facteurs (38). Ce carré sera donc 3.4.6.3.4.6, ou, en intervertissant l'ordre des facteurs, 3.3.4.4.6.6; or 3.3 est le carré de 3; multiplier ce carré par 4 et ensuite par 4, c'est le multiplier par le carré de 4; enfin, multiplier 3^-4' par 6 et encore par 6, revient à le multiplier par le carré de 6: donc le carré du produit 3.4.6 est bien 3'.4'.6S ce qui démontre le principe énoncé.

Remarquons que cette démonstration convient au cas où les facteurs du produit que Ton veut élever au carré seraient incommensurables, car le principe du n** 38, sur lequel eUe est fondée, ne dépend que de celui du n» 39, et

carré à la racine» il suffira d'extraire la racine carrée de chaque facteur, et de multiplier ces racines entre elles. Si donc on inullipiie le nombre proposé 7 par le carré du dénominateur 5 de la fraction ^, et qu'on extraie la racine carrée du produit 7.5*, la racine que Ton obtiendra sera égale à la racine demandée multipliée par 5 :

donc, en divisant la racine carrée de 7.5* par 5, on aura exactement celle de 7 :

Or 7.5*= 175, et la racine carrée de 175 tombe entre les deux nombres entiers consécutifs 13 et 14; donc la racine demandée est comprise entre ces deux nombres divisés par 5, c'est-à-dire entre -*^ et ^ ; donc elle diffère de chacun d'eux de moins qu'ils ne diffèrent l'un de l'autre, c est-i-dire de moins de J. Donc en prenant -^ou -^ pour la valeur de la racine carrée de 7, l'erreur que l'on commettra sera moindre que |.

Concluons de là que, pour extraire la racine carrée d*un nombre à moins <tune unité fractionnaire donnée^ il faut multiplier le nombre proposé par le carré du dénominateur de cette unité fractionnaire y extraire la racine carrée du produit à moins d'une unités et diviser cette racine par le dénominateur de la fraction proposée*.

203. Il suit de là que, pour extraire la racine carrée d'un nombre à moins de^, j^, j^, etc., il faut multiplier ce

il sera prouvé jplus loin (238) que Von peut intervertir Vordre des facteurs d'un produit, lors même quHls sont incommensurables. * On parviendra encore à cette règle de la manière suivante : Si l'on peut trouver ^eux nombres entiers consécutifs tels qu'en les multipliant par ^ on obtienne deux autres nombres entre lesquels la racine carrée de 7 se trouve comprise, chacun de ces deux derniers nombres satisfera à la question, puisque leur différence étant ^, chacun d'eux différera par consé-

EXTRACTION DES ltAClW£S. 16^

nombre par 10*, 100% 1000', etc., ce qui revient à écrire h su droite deux, quatre, six, etc., zéros; extraire la racine carrée du résultat à moins d'une unité, et diviser celte racine par 10, 100, 1000, etc., ce qui se fait en séparant sur sa droite une, deux, trois, etc., décimales.

Donc, en général, pour obtenir la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité décimale donnée^ il faut écrire à la droite de ce nombre deux fois plus de zéros que l'on ne veut avoir de décimales à la racine, extraire la racine du nombre ainsi formé à moins d'une unité, et séparer sur la droite de cette racine autant de décimales quon en a demandé,

204. Lorsqu'on veut extraire la racine carrée d'un nombre décimal, il faut distinguer deux cas, selon que le nombre des chiffres décimaux est pair ou impair.

r° Si le nombre des chiffres décimaux est pair, extrayez la racine carrée du nombre proposé, abstraction faite de la virgule, et séparez sur la droite du résultat deux fois moins de décimales que n'en contient le nombre proposé.

Eli cU'er, supposons, par exemple, qu'il y ait six dédmale.s

quent de cette racine de moins de \, Soient donc a; et a; + 1 deux nombres entiers tels que Ton ait

a;.-i<v7 et x/7 < (J^+D-i;

si Ton élève au carré les deux membres de chacune de ces inégalités, on.

trouvera (IIO) •

P<7 et 7<4ri; .

et, en multii)Iiant les deux membres de chacune de celles-ci par 5*, il viendra

a;'<7.5» et 7,5»< (a?+ U'f *•

ce qui nous apprend que 7.5' étant plus- grand que le carré de a?, et plus petit que celui de (a; + l), la racine carrée de ce nombre sera comprise entre a; et (a; 4-1), de sorte que x est la racine carrée de 7.5' à moins d'une. Unité. D*où Ton conclut que pour extraire ta racine carrée d'un nombre à moins, etc.

dans le nombre proposé : en faisant abstraction de la virgule, on aura multiplié ce nombre par l*unité suivie de six zéros; donc la racine carrée du résultat sera égale à la racine demandée, multipliée par la racine carrée d'un million (202), c'està-dire par mille : donc on aura Ja racine demandée en divisant la racine trouvée par mille, ce qui se fera en séparant sur la droite de cette racine trois décimales, c*est-à-dire deux fois moins qu'il n'y en avait dans le nombre proposé.

V Si le nombre des chiffres décimaux est impair^ vous ajouterez un zéro à la droite du nombre proposé^ et vous retomberez ainsi dans le cas précédent. Ce qui fait qu'on ajoute un zéro à -la droite du nombre proposé, c'est que ce nombre devant être considéré comme le carré de sa racine, doit contenir deux fois plus de décimales que cette racine (137), c'est-à-dire un nombre pair de décimales.

Exemples : !• Quelle est la racine carrée da 42,1861? Réponse ; 6,49.

2® Quelle est la racine carrée de 2,345?

Réponse ; 1,53.

208. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine carrée d'une fraction.

Si les deux termes de la fraction proposée sont des carrés parfaitSy il suffira^ pour obtenir sa racine, d'extraire séparément les racines carrées de ces deux termes. Il résulte, en effet, de la règle donnée pour multiplier deux fractions l'une par Tautre, que pour former le carré d'une fraction il faut carrer ses deux termes, et que par conséquent on reviendra du carré d'une fraction à sa racine en extra ant séparément les racines carrées de chacun de ses deux termes *. Ainsi yj^= J.

* Bouràxtn a fait observer que cette démonstration ne peut s'appliquer qu'à une fraction dont les deux termes sont des carrés parfaits : car elle repose sur la règle donnée pour multiplier deux fractions entre elles, et le raisonnement qui nous a conduit à-cette règle suppose que la fraction multiplicateur est commensurable 'IIO)

Si les deux termes d'une fraction irréductible -r- ne sont pas des

carrés parfaits, sa racine carrée est incommensurable. Supposons en effet, que cette racine puisse être comniensurable, et re-

présentons-la par la fraction irréductible y* Où devra donc

^voir -j-^zj^. Mais la fraction-r75 est irréductible (85) ; donc il

faut que l'on ail a=-a'^ et 6 = 6'* (103), ce qui est contraire à rhypolhèse.

206. Si des deux termes de la fraction le dénominateur seul €st un carré parfait, Vapplication de la règle précédente donnera la racine dem^andée à moins d'une unité de V ordre marqué par la racine carrée du dénominateur; car, supposons, par exemple, que Ton demande la racine carrée de ^ : si Ton multiplie cette'fraction par son dénominateur 25, et que l'on extraie la racine du produit 12 (97, 3*), la racine que Ton obtiendra

sera égale à celle de jf multipliée par v/25", c'est-à-dire par 5; donc, en divisant la racine carrée de 12 par 5, on aura exactement celle de H. Or la racine carrée de 12 tombe entre 3 et 4 : donc la racine demandée sera comprise entre f et |. Ainsi % «era la valeur de celte racîine à moins de {,

207. Si le dénominateur de la fraction proposée n'est pas un carré parfait, on ramènera ce cas au précédent en multipliant les deux termes de cette fraction par son dénominateur, et alors on :pbtiendra la racine demandée à moins d'une v/nitè fractionnaire de l'ordre marqué par son dénominateur.

Soit proposé, par exemple, d'extraire la racine carrée de la fraction -^ : on multipliera les deux termes de celte fraction par 13, ce qui donnera la fraction équivalente f^. On extraira les racines carrées de ses deux termes, et l'on trouvera ^, valeur exacte à moins de -^ près.

208. Il n'est pas toujours nécessaire de multiplier les deu$ termes de la fraction propotée par son dénoaiinaleur, pour la transformer en une autre dont le dénominateur soit un carré

parfait. Il suffit, pour cela, de décomposer le dénominateur en ses facteurs premiers, et de multiplier les deux termes de la fraction par ceux de ces facteurs premiers dont les exposants sont impairs. On extraira ensuite la racine carrée du nouveau dénominateur, en divisant par 2 les exposants de ses facteurs premiers.

Exemple : Extraire la racine carrée de ^. On trouvera (88) que 360 = 2*. 3*. 5 : ainsi Ton multipliera les deux termes de la fraction ^ par 2.5, ce qui donnera sr^. La racine carrée du numérateur est 13 à moins d'une unité; celle du dénominateur est 2". 3. 5 = 60 : donc v^^ = eo ^ inoins de ^.

209. En rendant le numérateur un carré parfait, on n'aurait également qu'une racine à extraire; mais on ne saurait pas immédiatement sur quel degré d'exactitude on pourrait compter. Si l'on demandait, par exemple, la racine carrée de i^, en rendant le numérateur un carré parfait, on trouverait que cette

> racine tombe entre | et §; qu'ainsi l'erreur commise en prenant f pour sa valeur est moindre que la différence de ces deux fractions, c'est-à-dire moindre que ^.

Remarquons que, dans le cas même où le numérateur de la traction serait un carré parfait, on pourrait commettre une erreur de plus d'une unité, si l'on se bornait à extraire la racine carrée de ses deux termes. Supposons, en effet, que Ton demande la racine de ^ : on trouve ainsi ^= 15, ou ^= 10. Mais ^^ = l^S^ est compris entre le carré de 11 et celui de 12; donc, en prenant l'un des nombres 10 ou 15 pour la racine carrée de ^^, on comniettra une erreur de plus d'une unité.

210. Si Von voulait extraire la racine carrée d'une fraction à moins d'urne unité fractionnaire donnée, on verrait, en raisonnant comme au n® 202, qu'il faudrait multiplier cette fraction par le carré du dénominateur de l'unité fractionnaire donnée^^ extraire la racine carrée du produit à moins d'une unité, et pour cela extraire à moins d'une unité la racine carrée du plus grand nombre entier contenu dans ce produit; enfin diviser cette racine par le dénominateur de Vwnité fractionnaire donnée.

Exemple : Calculer la racine carrée de -^ à moins de ^. Je multiplie -^ par le carré de 20, c'est-à-dire par 400, ce qui donne •^; j'extrais les entiers de ce produit, et je trouve 142, dont la racine est II à moins d'une unité près : c'est donc là aussi la racine carrée de ^^ à moins d'une unité, car le carré de 12 surpasse 142 au moins d'une unité, et est par conséquent plus grand que ^^. Donc fj est, à moins de ^, la racine carrée de -^.

Si l'on demandait la racine d'un nombre quelconque à moins d'une- fraction donnée, on commencerai! parrcndre le numérateur de cette fraction égal à l'unité en divisant ses deux termes par ce numérateur, et on rentrerait ainsi dans le cas précédent.

Veut-on, par exemple, la racine carrée de 20 jy à moins de |? on observera que f =^-; on multipliera'donc 20 {^ par le carré

de f, ce qui donnera ^^ = 58^ ; on extraira laracine carrée du plus grand carré contenu dans 58, et en la divisant par ^ on trouvera ^, qui est le nombre demandé.

21 i. Il suit de ce qui précède que, pour trouver la racine carrée d'une fraction ordinaire à moins d'une unité décimale don-née, on convertira cette fraction en décimales y en ayant soin de continuer le calcul relatif à cette conversion jusqu^à ce qu'on ait deux fois plus de décimales qu'on n'en demande à la racine ; et la racine carrée de la fraction résultante sera.la racine demandée. Ainsi, si l'on veut avoir la racine carrée de-^ à moins d'un centième, on convertira cette fraction -^ en décimales, en poussant Je calcul jusqu'au chiffre des dix-millièmes, ce qui donnera 0,3571 ; et, en extrayant la racine carrée de cette fraction, on trouvera 0,60 pour là valeur de la racine demandée à moins d'un demi-centième.

*2I2. Nous avons vu (91) qu'un nombre a autant de diviseurs qu'il y a d'unités dans le produit des exposants de ses facteurs premiers, augmentés chacun d'une unité. Il suit dé là 1® que tout nombre qui est un carré parfait a un nombre impair de diviseurs ; car les exposants de ses facteurs premiers étant

tous pairs (première note du n"" 202)^ si on les augmente d'une unité, ils deviendront tous impairs, et par conséquent leur produit sera impair (note du n** €6); 2* que tout nombre qui n'est pas un carré parfait a un nombre pair de diviseurs; car l'un au moins des exposants de ses facteurs premiers étant impair, si on l'augmente d'une unité, il deviendra pair, et par suite le produit de ces exposants augmentés chacun d*une unité sera pair.

*2I5. Nous avons donné (73) le moyen de reconnaître si un nombre est premier ; mais il n'est pas nécessaire pour cela d'essayer tous les diviseurs moindres que sa moitié; car on est certain qu'un nombre est premier lorsquey n' étant pas un carré parfaity il n'est divisible par aucun des nombres moindres quesaracine carrée. Si ce nombre, en effet, pouvait étredivîsible par un nom- ' bre plus grand que sa racine carrée, il le serait nécessairement parle quotient de cette division, c'est-à-dire par un nombre plus petit que cette racine, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Il suit de là que, dans Tapplication de la méthode d'Êratosthène à la construction d'une table des nombres premiers (74), il suffit de pointer les nombres à partir seulement du carré du nombre premier dont onveut supprimer les multiples; car tous les nombres qui restent dans la table avant ce carré sontnécessairement premiers. Ainsi, quand, dans la suite des nombres impairs, on a supprimé tous les multiples de 3, les nombres qui précèdent 5*= 25 sont premiers, et par conséquent le plus simple multiple de 5 que renferme cette suite est 25.

214. Lorsqu'on sait extraire la racine carrée d'un nombre, on peut extraire toute racine dont l'indice est une puissance parfaite de 2. En effet, si l'on extrait la racine carrée d'un nombre, puis la racine carrée de cette racine carrée, on obtiendra la racine quatrième de ce nombre ; car la seconde racine carrée est deux fois facteur dans la première; mais cette première est deux fois facteur dans le nombre proposé : donc la seconde racine est deux fois deux fois, c'est-à-dire quatre fois facteur dans ce nombre ; donc elle en est la racine quatrième.-

Si de la racine quatrième d'un nombre on extrait la racine

carrée, on aura la racine huitième de ce nombre; car la racine carrée de la racine quatrième est deux fois facteur dans celte racine quatrième; mais celle-ci est quatre fois facteur dans le nombre proposé : donc la racine carrée de la racine quatrième d'un nombre est quatre fois deux fois, c'est-à-dire huit fois facteur dans ce nombre ; donc elle en est la racine huitième.

En continuant de raisonner ainsi, on verra qu'en extrayant la racine carrée de la racine huitième on aura la racine seizième ; qu'en extrayant la racine carrée de te racine seizième, on aura la racine trente-deuxième, et ainsi de suite.

Concluons de là que si l'on extrait d'un nombre

2 racines carrées successives, on a la racine 4*, c.-à-d. une racine du degré 2*

«^ etc etc.

Ainsi, lorsque Vindice de la racine à extraire sera wnepuissance parfaite de 2, il suffira, pour V obtenir, d'extraire du nombre proposé un nombre de racines carrées successives marqué par Vexposant que 2 a dans l'indice de cette racine,