S II. RACINE CUBIQUE
218. On appelle cube d'un nom^bre le produit de trois facteurs égaux à ce nombre, ou, ce qui revient au même, le produit de ce nombre multiplié par son carré. Ainsi le cube de 6 est 6.6.6 = 216.
On appelle racine cubique d'un nombre le'hombre qui, élevé au cvhe, reproduit le nombre proposé. Ainsi la racine civique de 216 est 6.
Pour indiquer que l'on doit extraire la racine cubique d'un
nombre, on écrit ce nombre (190) sous le signe \/' '~' entre les
branches duquel on place le chiffre 3. Ainsi v^l26 signifie que Ton doit extraire la racine cubique de 126.
216. La racine cubique de 1000 étant 10, on voit que la racine cubique de tout nombre plus petit que 1000 est moindre
que 10, et se trou?e par conséquent exprimée par urt seul chiffre; qu*au contraire, la racine cubique de tout nombre plus grand que 1000 sera plus grande que 10, et renfermera par conséquent des dizaines et des unités.
Nous distinguerons donc deux cas dans V extraction de la racine cubique des nombres entiersy selon que le nombre proposé sera moindre ou plus grand que 1000.
217. Pour extraire la racine cubique dun nombre plus petit que 1000, on formera un tableau contenant sur une première ligne horizontale les neufs premiers nombres^ et au-dessous leurs cubes respectifs :
Cela faity on cherchera dans ce tabkau le plus grand cube contenu dans le nombre proposé^ et sa racine cubique sera la racine demandée j à moins d'une unité.
Si Ton voulait, par exemple, la racine cubique de 400, on dirait : Le plus grand cube contenu dans 400 est 343, dont la racine cubique est 7 '.ainsi 7 est la racine cubique de 400, à moins d'une unité (102).
En raisonnant comme on Ta fait au n* 105, on verra que, quand la racine cubique d^un nombre entier nest pas entière, elle n'est pas non plus fractionnaire, de sorte que, ne pouvant pas ôlre exprimée exactement en nombre, elle est incommensurable. ^
218. Voyons^ maintenant comment on pourra obtenir la racine* cubique d'un nombre plus grand que 1000. Comme elle doifrettfermer des dizaines etdes unités, uousallons auparavant étudier la composition du cube d'un pareil nombre. Représentons par a les dizaines de ce nombre et par 6 ses unités : ce nombre sera représenté par a-j-6. Pour former son cube, nous relèverons d'abord au carré, ce qui donnera (note du n? 104) ;
et il restera à multiplier ce dernier nombre par a +6.
Pour y parvenir, nous mulliplierons chaque partie du multiplicande successivement par chaque partie du muilipUcatcur; et, en observant que ^a.b.a peut s'écrire 2a.a,b=2a\b, que de môme 2a.6.6=2a.6* (58), nous aurons le calcul suivant :
Produit du multiplicande par o. . . a'+2a^^-f- a,6" Produit du multiplicande par 6. . . a^.b+2a.b^+b^
En comparant cette expression à celle (a+5) du nombre proposé, on voit que le cube £un nombre qui renferme des dizaines et des unités se compose de quatre parties^ savoir : du cube des dizaineSy du triple carré des dizaines multiplié par les unités^ du triple des dizaines multiplié par le carré des unités, et du cube des unités.
219. Revenons maintenant à Textraction de la racine cubique d'un nombre plus grand que 1000. Sa racine contiendra, comme nous l'avons vu, des dizaines et des unités; de sorte qu'on pourra considérer le nombre proposé comme formé de quatre parties, savoir : du cube des dizaines de sa racine, du triple carré de ses dizaines par ses unités, du triple de ses dizaines par le carré de ses unités, et du cube de ses unités. ^ *
Gela posé, si nous pouvions détacher du nombre proposé le cube des dizaines de la racine, en en extrayant la raciue cubique, nous obtiendrions les dizaines de la racine demandée. Mais le cube de ces dizaines étant un nombre exact de mill? (34), ne peut se trouver que dans les mille du nombre proposé, lesquels peuvent contenir, en outre, des millgqui auraient reflué des trois autres parties du cube de la racine, plifl du reste, s'il y en a un. Par conséquent, si l'on extrait la racine du jilus gr^nd cube contenu dans les mille du nombre proposé, on n'obtiendra pas un nombre plus petit que les dizaines delà racine. On ne^ pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi cette
radne du plus grand cube coulenu dans les mille du nombre proposé surpasserait au moins d'une unité la racine totale (noie du n« lOB), c'esl-à-dire la racine du plus grand cube contenu dans le nombre tout entier j ce qui est évidemment absurde : donc, en extrayant la racine du plus grand cube contenu dans les mille du nombre proposé, on trouvera exactement les dizaines de la racine demandée.
Si maintenant on retranche du nombre proposé le cube des dizaines de la racine, le reste ne contiendra plus que le triple carré des dizaines delà racine par les unités, le triple des dizaines par le carré des unités, et le cube des unités. Mais la première de ces deux parties, étant un nombre exact de centaines, ne peut se trouver que dans les centaines du reste, lesquelles peuvent contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué des deux autres parties du cube et du reste, s'il y en a un : donc, si Ton divise les cenlaines du reste par le triple carré des dizaines de la racine, on ne pourra pas trouver un nombre plus petit que les unités de cette racine ; mais on courra le risque d'en trouver un plus grand [on verra d'ailleurs (223) que le reste seul peut contenir autant de centaines qu'il y en a dans le triple carré des dizaines de la racine].
Pour vérifier si le chiffre trouvé n'est pas plus grand que celui des unités, on n'aura qu'à élever la racine totale au cube, et ce cube devra pouvoir se retrancher du nombre proposé.
On pourra s'assurer, et même plus simplement, que le chière mis à la racine n'est pas trop grand, de la manière suivante : à la droite du triple des dizaines, écrivez le chiflre des unités ; multipliez le nombre ainsi formé parles unités , ce qui donnera le triple des dizaines par les unités^ plus le carré des unités ; ajoutez ce produit au triple carré des dizaines, ce qui vous donnera le triple carré des dizaines, le triple produit des dizaines par les unités, jet le carré des unités; multipliez cette somme pac les unilés, et vous aurez le triple carré des dizaines par les unités, le triple des dizaines par le carré des unités, et le cube des unités. Comme ces trois parties se trouvent dans le reste, leur somme doit pouvoir s'en retrancher : donc, si la
soustraction n'est pas possible, on sera certain que le chiffre trouvé pour les unités de la racine est trop grand, et par conséquent on devra le diminuer d'une ou de plusieurs unités.
220. Ainsi, pour extraire la racine cubique d'un nombre plus grand que 1000, extrayez la racine du plus grand cube contenu dans les'mille de ce nombre^ ce qui vous donnera les dizaines de la racine demandée; retranchez le cube de ces dizaines du:^rhbre proposé , et divisez les centaines du reste par le triple carré des dizaines trouvées; vous obtiendrez ainsi un nombre qui ne sera pas plus petit que les unités de la racine. Pour vérifier si cenombre n*est pas plus grand, vous pourrez élever la racine totale au cubey et ce cube devra pouvoir se retrancher du nombre proposé. Mais il sera plus simple d'écrire le chiffre des unités à la droite du trifjle des dizaines^ de multiplier le nombre ainsi formé par les unités, d'ajouter le produit au triple carré des dizaines et de mul' tiplier la somme par les unités: le produit devra pouvoir se retrancher du reste.
221. On verra, comme au rv" 197, que la règle que nous venons d'énoncer pourra s'appliquer successivement k des nombres qui ne contiennent pas plus de 6, 9, 12, etc., chiffres, et que par conséquent elle est générale.
222. Gomme le chiffre des unités s'obtient par une division, on sent que la crainte d'écrire à la racine un chiffre trop grand expose à en mettre un trop faible. Comment donc s'assurer que le chiffre qu'on aura écrit ppur les unités n'est pas trop petit?
Représentons la racine trouvée par a : si elle est irop faible d'une unilé, la véritable valeur de la racine i>era a+ 1 ; de sorte que le nombre dont on extrait celte racine doit contenir le cube de a+1, c'est-à-dire (;^ + 3a'+3a+l. Mais on en a retranché le cube de la racine trouvée, c*est-à-dire a* : doncle reste doit encore contenir 3a»+3a + l, c'est-à-dire le triple carré de la racine trouvée, plus le triple de celte racine, plus U
On sera donc certain que le chiffre qu'on aura écrit à la racine ne sera pas trop faible quand le reste correspondant sera
moindre que le triple carré de la racine trouvée, plus trois fois cette racine, plus une unité,
885. Il suit de là que le reste qu*on obtient en extrayant la racine cubique d^un nombre entier vaut au plus le triple carré de cette racine, plus trois fois utte racine, el que la différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale au triple carré du p!us petit, plus le triple de ce plus petit, plus une unité.
884. Appliquons la mélhodc que nous venons de développer à la recherche de la racine cubique du nombre 50 651 889. On disposera les calculs comme ci-dessous :
Le nombre proposé élanl plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra des dizaines et des unités ; et, pour avoir les dizaines de cette racine, il faudra extraire la racine cubique du plus grand cube contenu dans les 50651 mille de ce nombre. Mais 50651 étant plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra des dizaines et des unités :• de sorte que, pour déterminer ces dizaines, il faudra extraire la racine du plus grand cube contenu dans 50 mille. Le plus grand cube contenu dans 50 est 27 , dont la racine est 3: ainsi la racine cubique de 50651 contient 3 dizaines, quej*écris à la place réservée pour la racine, à la droite du nombre proposé. Pour obtenir les unités de cette racine, je retranche du nombre 50651 le cube de 3 dizaines, ce qui revient à retrancher 27 mille de 50 mille, et à abaissera la droite du reste la tranche 651, ce qui fait 23651. Je divise les 236 centaines de ce nombre par 27 centaines, triple carré des 3 dizaines de la racine, et le quotient 6 exprime les unités de cette racine. Pour vérifier si ce chiffre
n'est pas trop grand, je récris à ladroiledu triple des dizaines, ce qui donne 96; je multiplie ce nombre par 6, cl j'ajoute le produit 676 à 27 centaines, triple carré des dizaines de la racine ; je multiplie enfln la somme 3276 par 6, et je retranche le produit 19656 de 23651, ce qui donne pour reste 3995. Ainsi le chiffre 6 n'est pas trop grand ; mais nous pourrions craindre qu'il ne fût trop petit, puisque nous l'avons obtenu en divisant 236 par 27, et que le quotient de cette division est réellement 8. Pour lever tous les doutes à cet égard, nous allons examiner si le reste 3995 est moindre que le triple carré de la racine trouvée 36, plus le triple de cette racine, plus une unité (222). Formons donc le triple carré de 36.
Or. 576 se compose du triple produit
des dizaines de 36 par ses unités, plus du carré de ses unités;
d'un autre côlé 3276 se compose du triple carré des
dizaines de 36, du triple produit de ses dizaines par ses unités, et du carré de ses unités;
si à ces deux nombres
nous ajoutons 36, carré des unités de 36, la
somme 38S8 se composera du triple carré
des dizaines de 36, de six fois le produit de ses dizaines par ses
unités, et du triple carré de ses unités, c'est-à-dire du triple
carré de 36 (104). Si h cette somme nous ajoutons le triple de
36 et encore une unité, le résultat 3997 surpassera le reste
3995 : donc le chiffre 6 n'est pas trop faible ; mais d'ailleurs
nous avons reconnu qu'il n'est pas trop grand; donc il est
exact; donc 36 est la racine du plus grand cube contenu dans
50651. Ainsi la racine demandée contient 36 dizaines. Il faudra,
pour en trouver les unités, retrancher du nombre proposé le
cube de ces 36 (dizaines. Or ce cube est un nombre exact de
mille: donc il suffira de le retrancher des 50651 mille du
nombre proposé, et d'abaisser à la droite du reste la tranche
