Mais nous avons préciscmcnl retranché le cube de 36 de

50651 : car nous avons d'abord soustrait de ce nombre le cube de 3 dizaines, ce qui a donné pour reste 23651 ; et de ce reste nous avons retranché 19656, c'est-à-dire le triple carré des 3 dizaines par les 6 unités, plus le triple produit de ces dizaines par le carré de ces unités, plus le cube de ces unités. Abaissons donc la trancbe 889 à la droite du reste 3995, ce qui donnera 3995889, et divisons les centaines de ce nombre par 3888, triple carré des trente-six dizaines de la racine. Le quotient 9 sera le chiffre des unités. Il est évident qu'il n'est pas trop petit. Pour vérifier s'il n'est pas trop çrand, on l'écrira à la droite du triple des 36 dizaines; on multipliera le nombre ainsi formé 1089 par ce nombre 9 ; on ajoutera le produit 9801 à 3888 centaines; on multipliera la somme 398601 par 9, et, en retranchant le produit 3587409 de 3995889, on trouvera pour reste 408480, ce qui prouve que le chiffre 9 n'est pas trop grand, et qu'ainsi 369 est la racine cubique de 50651889, à moins d'une unité.

S25. Ce n'est que dans des cas très-rares que Ton ob endra exactement la racine cubique du nombre proposé : car dans le premier million, par exemple* il n'y a que cent cubes parfaits. Alors ou trouvera la racine demandée à moins d'une unité; mais si l'on a besoin d'un plus grand degré d'approximation, on pourra l'obtenir par la méthode suivante :

Supposons, par exemple, qu'on demande la racine cubique de 7 à moins de {• J'observe que si Von multiplie un nombre Pfir tm autre, la racine cubique de leur produit s&ra égale au produit de leurs racines cubiques : car, pour élever un produit au cube, il suffit d'y élever chacun de ses facteurs (la démonstration est la même que celle donnée dans la première note du n* 202) ; de sorte que pour extraire la racine cvbique d'un produit, il suffii d'extraire la racine cubique de chaque facteur, et de multiplier ces racines entre elles. Donc, si l'on multiplie le nombre 7 par le cube de 5 et qu'on extraie la racine cubique du produit 7. 5', la racine qu'on obtiendra sera égale à la racine demandée multipliée par 5 :

donc, en divisant la racine cubique de 7. 5* par 5, on aura exactement celle de 7 :

or 7. 5* = 875, et la racine cubique de 875 tombe entre les deux nombres entiers consécutifs 9 et 10; donc la racine demandée tombe entre ces deux nombres divisés par 5, c'est-àdire entre f et J^ ; donc elle diffère de chacun d'eux de moins qu'ils ne diffèrent enlre eux, c'est-à-dire de moins de i; donc, en prenant | pour la racine demandée, on aura cette racine à moins de |.

Concluons de là que, pour extraire la racine cubique d'un nombre à moins (Tune unité fractionnaire donnée^ il faut multiplier ce nombre par le cube du dénominateur de cette unité fractionnaire^ extraire la racine cubique du produit à moins d*une unitéy et diviser cette racine par le dénominateur de la fraction proposée*.

226. Il suit de là que, pour extraire la racine cubique d'un nombre entier à moins d'une unité décimale donnée, il faut écrire à sa droite trois fois plus de zéros qu'on ne veutflvoir de décimales à la racine, extraire la racine cubique du résultat à moins d'une unité, et séparer sur la droite de cette racine autant de décimales qu'on en a demandé (203).

227. Lorsqu'on veut extraire la racine cubique d'un uem^re décimal, on distingue deux cas, selon que le nombre des décimales est ou n'est pas un multiple de 3.

V Si le nombre des chiffres décimaux est un multiple de 3, extrayez la racine cubique, abstraction faite de la virgule ; puis séparez sur la droite de cette racine trois fois moins de décimales qu^U n'y en a dans le nombre proposé. Le raisonnement est le même qu'au n* 204, !•.

* On parviendra encore à cette règle en remplaçant, dans la démonstration qui fait le sujet de la seconde note du n° 202, les mots carré et racine carrée par ceux-ci : cube et racine cubique.

2» Si le nombre des chiffres décimaux riest pas un multiple de 3, écrivez à la droite du nombre proposé un ou deux zèroSy selon qu'il sera nécessaire^ pour rendre le nombre des décimales divisible par 3, et vous retomberez ainsi sur le cas précédent (204, 2%\

Exemples : !• Quelle est la racine cubique de 50,651889? Réponse : 3,69. — 2* Quelle est la racine cubique de 2,6518? Réponse : 1,38.

228. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine cubique d'une fraction.

Si les deux termes sont des cubes parfaits, U suffira, pour avoir la racine cubique, d^ extraire séparément celle de ces deux termes^ Ainsi : __

Oa démontrera, comme au n© 203, que si les deux termes d'une fraction irréductible ne sont pas des cubes parfaits, sa racine cubique est incommensurable,

229. Si des deux termes d'une fraction le dénominateur seul est un cube parfait, l'application de la règle précédente donnera la racine demandée à moins d'une unité de l'ordre marqué par la racine cubique du dénominateur. Car, si Ton demande, par exemple, la racine cubique de j^, on devra extraire la racine cubique de 55 (1!0G), laquelle tombe entre 3 et 4, et celle de 343, q^ est 7 ; de sorte que la racine demandée tombera entre ^ et ^ : donc ^ est la valeur de cette racine à moins de 4*