Si le dénominateur de la fraction proposée riest pas un

. cube, parfait, on ramènera ce cas au précédent en multipliant les

deux termes de cette fraction par le carré de son dénominateur^

et alors on obtiendra la racorni demandée à moins d*une unité frac-

tîonnaire de Tordre marqué par son dénominateur.

Soit proposé, par exemple, d'extraire la racine cubique de la fractiort ^^|. On multipliera les deux termes de cette fraction par le carré dç 528, qui est 278784, ce qui donnera ^^Ui?^^ ; on

extraira les racines cubiques des deux termes de cette fraction ; et comme celle du numérateur tombe entre 403 et 404, on en conclura que ^ est la valeur de la racine à moins

ée^

* 231. Il n*est pas toujours nécessaire de multiplier les deux termes de la fraction proposée par le carré de son dénominateur pour la transformer en une autre dont le dénominateur soit un cube parfait. On observe que, lorsqu'un nombre est un cube exact, les exposants de ses facteurs premiers sont des multiples de 3; en conséquence, on n'aura qu'à décomposer le dénominateur en ses facteurs premiers et multiplier les deux termes de la fraction par ceux de ces facteurs premiers dont les exposants ne sont pas divisibles par 3, et autant de fois par ces facteurs qu'il le faudra pour qu'ils aient dans le nouveau dénominateur des exposants qui soient des multiples de 3. On extraira ensuite la racine cubique de ce nouveau dénominaieur en divisant par 3 les exposants de ses facteurs premiers.

Exemple: Extraire la racine cubique de ^^. On trouve (88) que 4320 = 2'.3*.5 : ainsi on multipliera les deux termes de la fraction y^ par 2.5*, ce qui donnera -^Itti* ^^ racine cubique du numérateur est 9 à moins d'une unité ; celle du dénominateur est 2\3.5 =60 : donc y/jflt-o^iô = û* ^ moins de 1^5.

232. Pour extraire la racine cubique cCvm fractioiv à moins d'une unité fractionnaire donnée, il faudra multiplier cette fraciion par le cube du dénominateur de cette unité fractionnaire^ ^traire à moins d'une unité la racine cubique du ply>s grand nombre entier contenu dans le produit^ et diviser cette racine par le dénominateur de Vunité fractionnaire donnée.

Exemple : Calculer la racine cubique de 5 -Z^, à moiçs de jfe. Je multiplie 5 ^ par le cube de 20, c'est-à-dire par 8000,* ce qui donne 43076 |5; la racine du plus grand* cube contenu dans 43076 est 35 : donc fj = î est la racine cubique de 5 ^ à moins do ^ (210).

233. Il suit de ce qui précède que, pour trouver la racine cubique dCune fraction ordinaire à moins dune unité décimale donnée^ on convertira cette fraction en décimales^ en ayant soin de continuer le calcul relatif à cette conversion jusqu'à ce qu*on ail trois fois plus de décimales que Von n'en demande à la racine, et la racine cribique de la fraction résudtante sera la racine demandée.

Ainsii si l'on veut avoir la racine cubique de |f| à moins de -^9 on réduira cette fraction en décimales en s'arrèlant au chiffre des millièmes, ce qui donnera 0,445; et, en extrayant la racine cubique de cette fraction, on trouvera 0,7 pour valeur de la racine demandée à moins de •^.

254. En raisonnant comme au n* 214, on verra que lorsque Vindice d'une racine à extraire sera une puissance parfaite de 3, U suffira, pour obtenir cette racine^ d'extraire du nombre proposé un nombre de racines cubiques successives marqué par Vexfbsant que 3 a dans Vindice de cette racine.

255. Nous sommes maintenant en état d'extraire d'un nombre toute racine dont l'indice n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 3, et même d'extraire cette racine avec tel degré d'approximation que l'on voudra. Supposons, en efTet pour fixer les idées, que l'on demande d'extraire d'un nombre la racine du degré 2*. 3"= 72. Si nous extrayons d'abord de ce nombre la racine du degré 2* = 8 (214), et que de celte racine nous extrayions la racine du degré 3'= 9 (234), nous obtiendrons la racine Ï2* du nombre proposé : car la racine 9« de la racine 8« entrera 9 fois comme facteur dans cette racine 8'; mais celle-ci est 8 fois facteur dans le nombre proposé r donc la racine 9« de la racine 8" est 9 fois 8 fois ou 72 foisfacteur dans ce nombre; donc elle en est bien la racine 72".

Demande-t-on maintenant la racine sixièms de 7 à moins d'un dixième? on verra, en raisonnant comme au n* 202, que pour l'obtenir, U faut multiplier ce nombre par 10% extraire la racine dixième du produit 7000000 à moins d'une unité, et diviser ensuite cette racine par 10. Extrayons donc la racine

sixième de 7000000, et pour cela extrayons d'abord la racine carrée de ce nombre. Nous trouverons 2645 pour résultai. Extrayons actuellement la racine cubique de 2645. Celle racine est 13, et je dis que 13 est la racine sixième de 7000000 à moins d'une unité. En effet, il est d'abord évident que le carré du cube de 13, c'est-à-dire la sixième puissance de 13, est moindre que 7000000. D'un autre côté, le cube de Usurpasse 2645 au moins d'une unité, et comme le carré de 2646 est plus grand que 7000000; il s'ensuit que le carré du cube de 14, c'est-à-dire la sixième puissance de 14, surpasse aussi 7000000 : donc la racine sixième de ce nombre est comprise entre 13 et \k, et par conséquent la racine de 7 tombe entre 1,3 et 1,4; donc 1^3 est la racine sixième de 1 à moins d*un dixième.

* 236. Nous avons démontré aux n** 57 et 118 que l'on pouvait intervertir l'ordre des facteurs d'un produit sans altérer sa valeur, lorsque ces facteurs étaient incommensuraWes; il convient actuellement d'examiner si ce principe est encore vrai, quand les facteurs que l'on considère sont incommensurables; mais il faut auparavant établir un principe qui est d'une grande importance, et d'abord définir ce qu'on enteiid par Kmite d^xme quantité variable.

On appelle limite d'une quantité varuble une quantité fixe dont elle s'approche indéfinimenty c'est-à-dire de manière que leur différence puisse devenir moindre que toute grandeur donnée, sans cependant se réduire jamais rigoureusement à zéro. Ainsi nous avons vu au n*" 164 que la fraction décimale 0,99999.... différera de l'unité aussi peu que Ton voudra, si on la compose d'un nombre suffisant de chiffres 9, mais qu'elle ne sera jamais rigoureusement égale à 1 tant que le nombre de ces chifl'res sera limité.

*257. Il suit immédiatement de cette définition que si deux quantités variables restent constamment égales entre elles dam tous les états de grandeur par lesquels elles passent^ leurs limites seront égales.

Soient, en eflet, a et & deux grandeurs variables, et A et B les limites vers lesquelles elles tendent respectivement : on pourra assigner à a et par conséquent à b, qu'on suppose lui être constamment égale, une valeur qui diffère de B d'aussi peu qu'on voudra; donc A est aussi limite de 5; donc A égale B, puisqu'il est évident qu'une même quantité ne peut pas tendre en même temps vers deux limites inégales.

* 238. Nous pouvons maintenant démontrer que la valeur éfun produit de facteurs incommensurables ne change pas si l'on intervertit tordre de ces facteurs. Je fais d'abord observer que Ton peut toujours trouver une quantité commensurable qui diffère d'aussi peu que Ton veut d'une grandeur incommensurable donnée; en second lieu, que la définition du n"" 23 n'ayant aucun sens si le multiplicateur est incommensurable, oi} doit regarder un produit de facteurs incommensurables comme la limite vers laquelle tendent les produits que Von obtient^ lorsqu'on rem* place les facteurs irrationnels par des facteurs rationnels qui en approchent indéfiniment. Or, ces produits successifs de facteurs commensurables ne changent pas de valeur lorsqu'on intervertit l'ordre de leurs facteurs : donc il en est de même du produit des facteurs incommensurables proposés, puisque les limites de deux quantités égales sont égales (237); ainsi, aetb désignant deux nombres commensurables variables qui s'approchent indéfiniment de deux quantités incommensurables A et B, on aura constamment a.b = b.a; donc les limites A.B et B.A de ces deux produits sont égales (237); donc A.B=B.A.

CffiPITRE XII.

ilAPPORTS ET PROPORTIONS.