Nous avons prouvé que dans toute équidifférence la

somme des extrêmes est égale à celle des moyens. Réciproquement, lorsque quatre nombres sont tels que la somme des extrêmes est égale à celle des moyens^ ces quatre nombre forment une équidifférence.

11 surfit pour le démontrer de faire voir que, si quatre nombres ne forment pas une équidifférencCy la somme des extrêmes n*est pas égale à celle des moyens.

Considérons, en effet, quatre nombres 15, 5, 12 et 3, tels que le rapport des deux premiers ne soit pas égal à celui des deux derniers : si à chaque conséquent on ajoute la raison du premier rapport, le premier conséquent deviendra égal à son antécédent; mais il n'en sera pas de môme du second, puisque les raisons des deux rapports sont supposées différentes. Donc, après cette addition, la somme des extrêmes ne sera pas égale à celle des moyens, car elles auront une partie commune et une partie différente.

Mais, en ajoutant laraison du premier rapport à chaque conséquent, on a augmenté la somme des extrêmes et celle des moyens chacune de cette raison : donc, puisque après cette augmentation ces deux sommes sont inégales, elles Tétaient nécessairement auparavant ; donc, lorsque quatre nombres ne forment pas une équidifférence, la somme des extrêmes n'est pas égale à celle des moyens ; donc, lorsque quatre nombres sont tels que la somnie des extrêmes est égale à la somme des moyens, ces quatre nombres forment une équidifférence.

248. Il suit de là qu'on pourra toujours faire subir aux termes d'une équidifférence tous les changements qui n'altéreront pas Vé^ égalité entre la somme des extrêmes et celle des moyens : ainsi on pourra intervertir' V ordre des extrêmes ou celui des moyens^ mettre les moyens à la place des extrêmes et réciproquement^ augmenter ou diminuer d'une même quantité un extrême et un moyen.