on aura

En effet, si chaque conséquent élaît égal à son antécédenf, le principe serait évident de lui-môme : car le produit des extrêmes et celui des moyens seraient composés des mêmes facteurs. Or, si l'on multiplie chaque conséquent par la raison^ chacun d'eux deviendra égal à son antécédent (243) : ainsi on aura

et alors le produit des extrêmes sera égal à celui des moyens. Mais, en multipliant chaque conséquent par la raison, nous avons multiplié le produit des extrêmes et celui des moyens chacun par cette raison (59) : donc, puisque après cette multiplication ces deux produits sont éganx, ils Tétaient nécessairement auparavant; donc, dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Donc, si quatre nombres sont tels que le produit des extrêmes ne soit pas égal à celui des moyens, ces quatre nombres ne formeront pas une proportion, sans quoi le produit des extrêmes serait égal à celui des moyens.

250. Il suit de ce principe que, si Ton veut calculer l'un des extrêmes d'une proportion dont on connaît les trois autres termes^ il suffira de diviser le produit des moyens par l'extrême connu.

En effet, si l'on divisait le produit des extrêmes par l'extrême connu, on aurait évidemment l'autre ; mais, comrçe le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, en divisant le produit des moyens par l'extrême connu, on trouvera le même résultat.

Exemple: Calculer le quatrième terme de la proportion 15:5:: 12 :x. On aura : a?=*-r^=4.

On verra de môme que, peur calculer un des moyens^ il n'y a qu'à diviser le produit des extrêmes par le moyen connu.

251. Si la proportion est continue, le produit des extrêmes est égal au carré du terme moyen : donc ce terme est égala la racine carrée du produit des extrêmes; donc, pour prendre une moyenne proportionnelle entre deux nombres, il faut extraire la racine carrée de leur produit. Ainsi, pour trouver une moyenne proportionnelle entre 4 et 9, nous multiplierons 4 par 9, ce qui donnera 36; nous extrairons la racine carrée de 36, et le résultat 6 de cette opération sera la moyenne proportionnelle demandée.

252. Si quatre nombres sont tels que le produit des deux moyens est égal au produit des deux extrémeSy ces quatre nombres forment une proportion.

Il suffit, pour démontrer ce principe, de faire voir que, si quatre nombres ne forment pas une proportion, le produit des extrêmes n*est pas égal à celui des moyens. Considérons donc quatre nombres 15, 5, 12 et 3, tels que le rapport des deux premiers ne soit pas égal à celui des deux derniers. Si l'on multiplie chaque conséquent par la raison du premier rapport, le premier conséquent deviendra égal à son antécédent; mais il n'en sera pas de même du second, puisque les raisons des deux rapports sont supposées différentes : donc, après cette multiplication, le produit des extrêmes ne sera pas égal à celui des moyens, car les deux produits auront un facteur commun et un facteur différent. Mais, en multipliant chaque conséquent par la raison du premier rapport, nous avons multiplié le produit des extrêmes et celui des moyens chacun par celte raison : donc, puisque après cette multiplication ces deux produits sont inégaux, ilsFétaient nécessairement auparavant; donc, lorsque quatre nombres ne forment pas une proportion, le produit des extrêmes n'est pas égal à celui des moyens ; donc, si quatre

nombres sont tels que le produit des extrêmes soit égal à celui des moyens, ces quatrcs nombres formeront une proportion.

283. Il suit de là qu*on peut faire svMr aux termes cCu/ne proportion tom les changements qui n*altèrent pas Végalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens. Ainsi, on pivurra intervertir l'ordre des extrêmes et celui des nwyens, mettre les extrêmes à la place des moyens et réciproquement, multiplier ou diviser par un mime nombre un extrême et un n)Dyen.

Ce principe permet de faire évanouir les dénominateurs qui pourraient se trouver dans une proportion. Que Ton ait, par exemple, la proportion

on multipliera d'abord les antécédents par leur plus petit dénominateur commun 12, ce qui donnera