io:a

284. Owand deux proportions ont un rapport commun^ les d&ux autres rapports forment une proportion.

Car ces deux autres rapports, étant égaux au rapport commun, sont égaux entre eux. Ainsi les proportions

: 7 :: 15 : 21 | donnent 15 : 21 :: 10 : 14.

:7::io:i4 )

288. Lorsque deux proportions ont les mimes antécédents ou les mimes conséquents, les quatre autres termes forment une proportion, •

Cette propriété se déduit de la précédente en intervertissant

dans chaque proportion l'ordre des moyens. Ainsi, des proportions

''\V'VV. [on tire (285) (^•'^••^^•21 :io::7:i4 i ^ ^ \ 5:7::io:i4,

et comme ces deux dernières proportions sont liées par un rapport commun, elles donnent 15 : 21 :: 10 : 14.

266. Dans toute proportion^ la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers comme le premier est au troisième, ou comme le second est au quatrième.

C'est-à-dire que la proportion

donnera I0dz5: I2dz6 :: 10: 12:: 5:6.

En effet, si Ton augmente ou si Ton diminue chaque antécédent de son conséquent, les nouveaux antécédents contiendront les conséquents primitifs une fois de plus ou de moins : donc les raisons des deux rapports seront chacune augmentées ou diminuées d'une unité (243). Mais elles étaient d'abord égales : donc elles le seront encore; donc il y aura proportion entre les nouveaux antécédents et les conséquents primitifs; donc on aura la proportion

I0zfc5:5:: I2zh6:6, ou, en intervertissant l'ordre des moyens,

I0zfc5: I2it6::5:6.

Mais si Ton change aussi l'ordre des moyens dans la proportion proposée, elle deviendra

10: 12:: 5: 6, ce qui montre que le rapport de 5 à 6 est le môme que celui de

RAPPOUTS ET PROPORTIONS. 193

10 à 12 : donc le rapport 10ii:5 : 12dze, qui csl égal au rapport 5 : 6, le sera aussi au rapport 10: 12; donc on aura enfin

io±5:i2±6::io:i2::5:6,

ce qu'il fallait démontrer.

287. Il est facile de déduire de là que, dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers est à leur différence.

288. Dans toute proportion, la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou à la différence des conséquents commue un antécédent est à son conséquent.

C'est-à-dire que la proportion

donnera I2±i0:6d=5:: 10:5:: 12:6.

En effet, si dans la proportion proposée on intervertit Tordre des moyens, on aura

io:i2::5:6.

Mais on sait que, dans toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers comme le premier est au troisième, ou comme le second est au quatrième (286) ; donc la proportion précédente donnera

i2dzio:6db5:: 10: &:: 12:6.

2(50. Dans une suite de rapports égaux, la somme d'un certain nombre d'antécédents est à la somme de leurs conséquents cêmme un antécédent quelconque est à son conséquent.

C'est-à-dire (juc, si Ton a la suite de rapports égaux