S I. PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES
280, On appelle logarithmes une suite de nombres en pro^ gression par différence commençant par zérOj qui correspondent terme pour terme à une pareille suite de nombres en 'progression par quotient commençant par Vunitè,
Le logarithme dun nombre est donc le terme de la progression par différence qui correspond au nombre que ton considère dans la progression par quotient.
Ainsi, soient les deux progressions
^ 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 etc.,
■J . 3 . 6 . 9 . 12 . 15 : 18 etc.;
les nombres 0, 6, 15, 18 sont les logarithmes des nombres respectifs 1, 4, 32, 64.
Il semble résulter de cette déflnition que les nombres moindres que Tunilé n'ont pas de logaritbmes, si la progression géométrique est croissante, comme dans Texemple ciMiessu3, et que ce seraient au contraire les nombres > 1 qui n auraient pas de logarithmes, si elle était décroissante. Alors, pour com-* prendre à la fois les nombres plus petits et plus grands que l'unité dans la progression par quotient, on u*aura qu*à la prolonger vers la gauche, en divisant Tunité par la raison, puis divisant le terme ainsi obtenu par la raison, et ainsi de suite.
Pour obtenir les logarithmes de ces nombres, on prolon* géra de même la progression arithmétique vers la gauche, en retranchant d'abord la raison du premier terme «ero; mais comme cette soustraction ne peut s'effectuer, on Tindiquera en écrivant le signe — devant cette raison; on retranchera
flO LOGARITHMES.
encore la raison de ce terme, ce qui donnera un second terme équivalent à moins la raison moins la raison, c'est^-à-^dire à moins deux fois la raison, et ainsi de suite.
De cette manière, on aura les deux progressions indéfinies dans les deux sens :
et les termes de la seconde seront les logarithmes des termes correspondants de la première.
S81. Il résulte des principes établis aux n"" 267 et 273 que, dans une progression par quotient commençant par Tunilé, un terme quelconque est égal à la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent, et qu'un terme quelconque d'une progression par différence commençant par zéro est égal à la raison répétée autant de fois qu'il y a de termes avant lui.
Donc, autant de fois la raison est facteur dans un terme quelconque de la progression par quotient, autant la raison de la progression par différence est contenue de fois dans le terme correspondant de cette progression : par#conséquent, si l'on multiplie entre eux plusieurs termes de la progression par quotient, et qu'on ajoute les termes correspondants de la progression par différence, autant de fois la raison de la progression par quotient entrera comme facteur dans le produit, sAitant de fois la raison de la progression par différence sera contenue dans la somme. Donc le produit et la somme feront partie de ces deux progressions ; car Tun sera une puissance de la raison de la première progression, et l'autre un multipTe décolle de la deuxième, et de plus ils s'y correspondront mutuellement : donc la somme sera le logarithme du produit* Mais les nombres additionnés sont les logariQimes de ceux qii'on a multipliés : donc, le logarithme (Tun produit de plusieurs facteurs est égala la sommé des logarithmes de ces facteurs* .
•^mr^^m/wr^'^m
Ce principe suppose e&sentiellcment que les detuc' progressions géoirU^
Cette démonstration suppose que les facteurs dont il s'agit sont tous situés dans la progression par quotient d'un même côté de l'unité*.
Elle s'étend également bien à un produit de facteurs situés d'une manière quelconque dans celte progression, en regardant un terme quelconque delà partie descendante, dans la progression géométrique, comme égal au quotient de l'unité divisée par une puissance de la raison marquée par le nombre de termes qui le précèdent, à partir de 1, et un terme quelconque de la partie à gauche de zéro, dans la progression arithméli-
ifique et arithmétique commencent respectivement par Vunité et par zéro; et comme c'est sur ce théorème et sur les conséquences qui en découlent qu'est fondé l'usage des logarithmes, yoilà pourquoi nous avons introduit cette restriction dans la définition du n« 280.
En effet, il suit du n" 273 que, si le premier terme de la progression par quotient n'est pas l'unité, le produit de deux termes quelconques de cette progression sera égal au carré du premier terme multiplié par une certaine puissance de la raison : donc ce produit ne pourra faire partie de la progression qu'autant qu'elle commencera par une puissance de la raison. On verra de même que, pour que la somme de deux termes de la progression par différence soit un terme de cette progression, il faut qu'elle commence par un multiple de la raison. Maintenant je dis que pour que le produit et la somme puissent se correspondre, il faut que la raison de la progression arithmétique ^oit contenue, dans son premier terme, autant de fois que la raison de la progression géométrique sera facteur dans le premier terme de cette progression : de sorte que ces deux termes pourront être considérés comme deux termes correspondants de deux progressions par quotient et par différence , commençant l'une par l'unité et l'autre par zéro.
Représentons, en effet, par q et par r les raisons dos deux progressions géométrique et arithmétique; supposons qu9 q soit m Xuis facteur dans le premier terme de la première, et que r soit contenu n fois dans le premier terme de la seconde. Les («+!)**" et (t + 1)**^ termes de la progression par quotient seront q^*', q***, et leur produit .sera ç"+*-»«+', ou, ce qui re- Tient au même , q". q«"+*+' : donc ce produit aura (m + « + 1) termes avant lui. Les (* + l/*~' et (*+l)**" termes de la progression par différence seront nr + sr et nr + Ir, et leur somme sera nr + nr + «r + fr, ou, ce qui revient au môme, nr-h (» +« + 0» *"> donc cette somme a (n+f + termes avant elle; donc,- pour qu'elle corresponde au produit, il faut que m + s + t^n+s + t, ■c'est-à-dire que m=ii; ce quïl fallait démontrer.
* Pour ajouter deux quantités vègatiyes (on appelle ainsi celles qui sont précédées du signe — , tandis qu'on nomme positives celles qui n'ont pas de signe ou que l'on regarde comme affectées du signe + ), on fait la somme de ces 4cux quantités sans s'occuper du signe, et on met le signe " devant la somme.
que, comme égal à moins autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui, à partir de zéro. Considérons, en effet, le 12* terme à gauche et le 7* à droite de 1 dans la progression par quotient : le premier de ces termes sera égal à Tunité divisée par la 11' puissance de la raison, et le second sera égal à la 6» puissance de cette raison ; donc leur produit serale quotient de la 6* puissance de la raison divisée par la 1 1* (iië), c'est-àdire qu'il sera égal au quotient de Funité divisée par la 5' puissance de cette raison (90, 2«); donc il est le 6« terme, à partir de 1, dans la partie descendante de la progression géométrique. On verra de même que la somme du 12' terme à gauche et du 7* à droite de zéro, dans la progression par différence, est égale au 6* terme à gauche dans cette progression*, et qu'ainsi celte somme et ce produit se correspondent encore dans les deux progressions.
282. Il suit de là que le logarithme du quotient de la division de deux nombres est égal au logarithme du dividende^ moins le logarithme du diviseur.
Eu effet, le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, son logarillmie est la somme des logariihmcs du diviseur et du quotient : par conséquent, si du logarithme du dividende on retranche celui du diviseur, on aura le logagarilhme du quotient.
fi85. Le logarithme d'une puissance quelconque d*unnombre est égal au logarithme de ce nombre^ multiplié par l'exposant de la puissa7ice.
En effet, une puissance d'un nombre est le produit d'autant de facteurs égaux à ce nombre qu'il y a d'unités dans l'exposant de celle puissance : par conséquent, le logarithme d'une
, * Pour ajouter une quanlilé positive avec une quantité négaiivej on retranche la plusrpetite de lapins grande, sans faire attention aux signes, puis on donne au reste le signe de la plus grande.
puissance d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre répété autant de fois qu'il y a d'unités dans l'exposant de cette puissance (281).
284. Le logarithme dCune racine d^un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par l'indice de cette racine.
En effet, le nombre dont on demande la racine peut être considéré comme une puissance de sa racine d'un degré mar que par l'indice de cette racine : donc, d'après ce que nous venons de voir, le logarithme du nombre dont on demande la racine est égal au logarithme de sa racine multiph'é par l'indice de cette racine; par conséquent, on obtiendra le logarithme de la racine d'un nombre en divisant le logarithme de ce nombre par Tindice de cette racine.
285. Il suit des quatre principes que nous venons d'élablir que, si parmi les termes de la progression par quotient se trouvaient tous les nombres entiers possibles (je dis entiers, car le Jogarithme d'une quantité fractionnaire est égal (282) à la ^différence des logarithmes de deux nombres enliers), on pourrait au moyen de ces principes changer les multiplications, divisions, élévations aux puissances et extractions de racines, respectivement en additions, soustractions, multiplications et divisions, ce qui simplifierait considérablement les calculs.
Mais les nombres 1, 2, 3, 4, etc., forment une progression par différence : comment donc les faire entrer dans une progression par quotient? tel est l'objet de la conslruclion des tables de logarithmes.
