S H- SOUSTRACTION

9. La SOUSTRACTION est une opération qui a pour but de dé" iompoer un nombre donné en deux parties^ dont Vune est connue. Le résultat se nomme reste, excès ou différence.

Il est évident d'après cela^ que, pour soustraire un nombre d'un autre,'il suffit d'ôter successivement du plus grand toutes les unités du plus petit. Veut-on, par exemple, retrancher quatre de neuf; on dira, en comptant sur ses doigts jusqu'à ce que l'on soit arrivé au quatrième : neuf moins un, huit; moins un, sept; moins un, six; moins un, cinq. Ainsi, en soustrayant quatre de neuf, on trouve dnq pour reste. On dit aussi que ce nombre cinq exprime Vexcès de neuf sur quatre , ou la di/férence de quatre à neuf.

AO. Si le nombre à soustraire était très-grand, l'opération effectuée de la manière précédente deviendrait presque impossible. Or il est évident que, si des unités, dizaines, centaines, etc., du plus grand nombre, on soustrait respectivement les unités, dizaines, centaines , etc. , du plus petit , on aura soustrait du plus grand nombre toutes les parties du plus petit et par conséquent ce plus petit lui-même. L'opération d'ailleurs ne présentera pas de difficulté, puisqu^on n'aura ainsi à sous-

traire que des nombres d*un seul chiffre (10). Mais il peut

arriver que quelques-uns des chiffres du nombre à soustraire ^

surpassent ceux qui expriment des unités de même ordre dans

le nombre dont on soustrait.

Si, par exemple^ on voulait soustraire 29 de 67, on serait conduit à soustraire 9 de 7, ce qui ne se peut pas. On rendra évidemment la soustraction possible en ajoutant dix imités à 7, ce qui fera 17; mais on aura ainsi augmenté le nombre dont on soustrait, et par conséquent le reste, de dix unités : il faudra donc diminuer ce reste d'autant. On y parviendra en ajoutant dix unités au nombre à soustraire (ce qui revient à ajouter une unité au chiffre 2) : car ayant retranché une dizaine de plus, il restera une dizaine de moins. Ainsi, après avoir augmenté le reste d'une dizaine, on l'aura diminué d'une dizaine; donc il n'aura pas changé de valeur. On dira donc : 9 ôlé de 17, il reste 8, et je retiens 1 ; et 2 fonts, ôté de 6, il reste 3; le reste est donc 38.

'Si . Concluons de ce qui précède la règle générale suivante : "^Pour soustraire tm nombre d'un autre, écrivez le plus petit sous le plus grand, de manière que les unités de même ordre se cor-i^ > ^v^respondent; soulignez le plus petit nombre, pour le séparer du '"^^ reste, que vous écrirez au-dessous; soustrayez successivement , en commençant par la droite, chaque chiffre du nombre inférieur de celui qui lui correspond dans le nombre supérieur; si Vune de ces soustractions partielles ne peut pas s'effectuer^ augmentez de dix unités le chiffre dont vous voulez soustraire, mats retenez une unité pour V ajouter au chiffre h gauche de celui que vous avez

dû soustraire.

Exemple. Soustraire 4028 de 32106. On dispose Topération

ainsi qu'il suit :

Reste. . . . 28078 puis, appliquant la règle, on dit : 8 de 6, cela ne se peut pas,

j'ajoate 10, ce qui fait 1 6; 8 de l'^, il restée 8, qne j'éms, «t je retiens 1 ; et 2 font 3, de 0, C6(a ne Pb |»e«t pas; j'ajoote 10; 8 de 10, il reste 7 , que j'écris, et je refliens 1 ; de 1, il reste 0; 4 de 2, cela ne se peut pas; j'ajoute IH), <ee qui favt il; 4 de 18, il reste 8, et je retiens I ; de 3, il reste 2. Le veste demandé est ainsi 28678.

22. Pour faire ta prmve d» la m^wirae^vn^ ^(Mtvommz le reste avec fe vwmbre à tmx^ravny «{ mus idmrez rett&u\>er le plus grand nombre : car, d'après la définition de la soustraction, le plus grand nombre doit être la somme da plos petit et du reste.

S m. MULTfiPLICATIOTT.

25. La MULTiPLiCAriON est une opération qui a pour but de composer un nombre nommé . produit avec un nombre nommé MULTIPLICANDE, commc un autre nombrt appelé multiplicateur est composé avec Vunité : de sorte que si le multiplicateur contient 2, 3, 4... fois l'unité, le produit devra contenir 2, a, 4... fois le multiplicande.

Il suit de là que, pour obtenir le produit de deux nombres^ il faut répéter le multiplicande autant de fois qu^U y a d'unités dans le multivlicateur^ et faire la somme : ainsi

24. Remarquons, 1» que le multiplicateur est un nombre abstrait^ puisqu'il indique combien de fois le produit contient le multiplicande (6); 2* que le produit est de même espèce que le multiplicande : car l'un est une partie de l'autre, et un tout et ses parties sont nécessairement de même espèce.

25, En réfléchissant sur la nature du procédé que nous avons indiq% pour multiplier deux nombres entre eux (23),

on sent que, si le muUiplicateur était composé de plusieurs chiffres» l'opération deviendrait impraticable. On a donc cherché une méthode plus abrégée, à laquelle on a donné le nom de multiplication.

26. Avant d'exposer cette méthode, nous ferons observer que, pour multiplier un nombre quelconque par VunUé mime de plusieurs zéros, U suffit décrire à la droite de ce nombre autant de zéros qu'il s'en trouve à la svfUe de Vunitè: car y si l'on écrit, par exemple, deux zéros à la droite d*un nombre, il est clair que chacun de ses chiffres aura reculé de deux rangs vers la gauche, et représentera ainsi des unités cent fois plus grandes (ii); donc toutes les parties du nombre proposé étant devenues cent fois plus grandes, ce nombre est lui-même devenu cent fois plus grand, c'est-à-dire qu'il a été multiplié par cent. Ainsi 286 X 100 = 28600. ^

27. On démontrerait de la même manière que, 9i un nombre est terminé par des zéros, on le rendra 10, 100, 1000, etc., fois plus petit en supprimant sur sa droite un, deux, trois, etc., zéros. Ainsi le nombre 27&0 est cent foisiplus petit que 275000.

28. n peut se présenter trois cas dans la multiplication : ou le multiplicande et le multiplicateur sont des nombres exprimés par un seul chiffre; ou le premier est un nombre composé de plusieurs chiffres et le second wn nombre représenté par un seul; ou le multiplicateur est un nombre qui contient plusieurs chiffres. Nous examinerons successivement ces trois cas.

La multiplication de deux nombres exprimés pat uniseul chiffre s'effectue d'après la règle du n» 25. Mais comme la multiplication de deux nombres quelconques dépend, ainâ que nous le verrons bientôt (51, 55), de celle de detix nombres représentés par un seul chiffre, on a construit une table qui renferme les produits des neuf premiers nombres multipliés deux à deux, produits qu'il est très-important de graver dans sa mémoire.

CALCUL DÉS NOMBRES ENTlEaS,

TABLE DE MULTIPUCATION.

Voici la méthode que l'on suit pour former cette table, qui porte vulgairement, mais à tort, le nom de Table de Pytliagore.

20. On écrit les neuf premiers nombres sur une ligne horizontale, de sorte que cette ligne contient les produits des neuf premiers nombres roulliplic's par 1. On ajoute chacun de ces nombres à lui-môme, et Ton écrit les sommes sur une seconde ligne horizontale, qui contient ainsi deux fois chacun des neuf premiers nombres, c'est-à-dire leurs produits par 2. On ajoute chacun des nombres de cette seconde ligne avec ceux qui leur correspondent dans la première, et on écrit les résultats sur , une troisième ligne, qui est par conséquent composée des p produits de chacun des neuf premiers nombres par 3; car la première ligne contenant une fois les neuf premiers nombres, et la seconde lea contenant deux fois, la somme de ces deux lignes les contiendra évidemment trois fois. En continuant ainsi

d'ajouter les nombres de la dernière ligne obtenue avec ceux de la première, on est arrivé à la neuvième ligne qui renferme les produits de chacun des neuf premiers nombres multipliés par 9.

30. Pour trouver, au moyen de cette table, le produit de deux nombres représentés chacun par un seul chiffre^ cherchez le nombre qui se trouve à la fois dans les deux lignes verticale et horizontale portant respectivement entête le multiplicande et le multiplicateur. Ainsi le produit de 5 par 3 est le nombre 15, qui se trouve à la fois dans la cinquième ligne verticale et dans la troi" sième ligne horizontale.

y 51. Pour multiplier un nombre composé de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre, il suffit de répéter suc^ cessivement les unités, dizaines, centaines, etc., du multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur : car, ayant ainsi répété toutes les parties du multiplicande chacune autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, il est clair qu'on aura répété le multiplicande ce même nombre de fois. Mais lorsque ces différents produits partiels surpasseront 9, on n'écrira que leurs unités, et l'on retiendra leurs dizaines pour lea ajouter au produit partiel suivant. Donc, pour multiplier un nombre composé de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre , il faux multiplier successivement les unités, dizaines j centaines, etc., du multiplicande par le mul~ tiplicateur, n*écrire que les unités de chaque produit partiel, et retenir les dizaines pour les ajouter au produit suivant, à V exception de celtes du dernier produit que Von écrira tel qu'on Vaura

trouvé.

D'après cela, pour multiplier 327 par 3, on dira : 3 fois 7 font 21, j'écris 1 et je retiens 2; 3 fois 2 font 6, et 2 de retenue, 8, j'écris 8 ; 3 fois 3 font 9, j'écris 9. Ainsi le produit est 981. On dispose l'opération comme ci-dèssous :

52. Passons enfln au cas où le multiplicateur est un nombre composé de plusieurs chiffres, et supposons que l'on veuille multiplier 327 par 405.

Multiplier 327 par 405, c'est composer un nombre qui contienne 405 fois le multiplicande 327: si donc on répète ce multiplicande successivement 5 fois et 400 fois , il est clair qu'en additionnant ces deux produits partiels on aura le produit demandé. Il sera facile de répéter 5 fois le multiplicande 327 : car il suffira pour cela d'appliquer la règle du n^ 51. En effectuant cette multiplication, on trouvera 1635 pour produit.

Pour répéter 400 fois le nombre 327, il n'y aura qu'à le répéter d'abord 4 fois, ce qui donnera 1308, puis à répéter 100 fois ce produit : car il est évident que le nombre ainsi obtenu contiendra 100 fois 4 fois, c'est-à-dire 400 fois, le multiplicande 327. Or, pour répéter 100 fois le produit 1308 de 327X4, il suffira d'écrire deux zéros à sa droite (26) ; mais alors son premier chiffre exprimera des centaines : de sorte que Ton pourra se dispenser d'écrire ces deux zéros, pourvu que l'on place le produit 1308 de 327 X 4 sous le produit 1635 de 327 x 5, de manière que son premier chiffre à droite se trouve au-dessous des centaines de celui-ci (16). En effectuant ensuite Faddition des deux produits partiels, on aura le produit total demandé. On dispose les calculs de la manière suivante :

Remarquons que nous avons multiplié successivement le multiplicande par le premier et par le second chiffre significatif du multiplicateur; que le premier chiffre de chaque produit parfiel a été écrit sous le chiffre correspondant du multiplicateur, et qu'enfin on a additionné ces produits. Concluons donc la règle générale suivante :

5. Pour multiplier un nombre quelconque par un nombre composé de plusieurs chiffres^ (multipliez successivem^nty ^ après les règles des n^' 50 et 5i,\fe multiplicande par chaque chiffre SIGNIFICATIF du multiplicateur ^ en ayant soin d'écrire les produits partiels les uns au-dessous des autres , de manière que le premier chiffre de chacun soit placé sous le chiffre du multiplicateur qui a donné ce produit; ^ulignez le dernier produit partiel^ et additiour nez tous les produits^

54. Si le multiplicande et le multiplicateur sont terminés par des zéros, on en fera abstraction dans la formation des produits partiels; maw il faudra écrire à la droite du produit total autant de zéros qu'il y en a à la droite des deux facteurs ( le multiplicande et le multiplicateur concourant ensemble à la formation Am produit 9 en sont appelés les facteur^. Supposons, en effet, qu'il y ait trois zéros à la droite du multiplicande, et deux à celle du multiplicateur. Si nous faisons abstraction des trois zéros qui terminent le multiplicande, nous le rendrons mille fois plus petit (27), et le produit deviendra aussi mille fois plus petit, car il contiendra toujours le même nombre de parties, mais ce seront des parties mille fois plus petites. Si nous supprimons de même les deux zéros qui sont à la droite du multiplicateur, nous rendrons ce multiplicateur cent fois plus petit ; le produit deviendra donc aussi cent fois plus petit, car il contiendra cent fois moins des mêmes parties. Or, c'est après avoir rendu le produit mille fois plus petit que nous le rendons encore cent fois plus petit qu'il ne Tétait déjà : donc nous l'aurons rendu cent fois mille fois, ou cent mille fois, plus .petit ; donc, pour restituer au produit sa valeur , il faudra le rendre cent mille fois plus grand, ce qui se fera en ajoutant dnq zéros à sa droite (26), précisément autant qu'il y en avait dans les deux facteurs (voy. n' 58).

55. Le produit de deux nmibres se compose au plus d'autant <de chiffres quHl y en a dans ces deux nombres , et il en contient

au moins autant quHl y a de chiffres moins un dans ces mêmes nombres.

1* Le produit de deux nombres composés chacuu d*un ecr* tain nombre de chiffres est évidemment le plus grand possible quand ses deux facteurs ne renferment que des 9; mais alors même il est moindre que le produit du multiplicande par Tunité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans le multiplicateur; et comme alors le produit contient précisément au tant de chiffres qu'il y en a dans les deux nombres proposés (26), la première partie de notre théorème est démontrée.

2* Il est évident que notre produit sera le plus petit possible quand chacun de ses facteurs sera formé de l'unité suivie d'autant de zéros moins un qu'il doit contenir de chiffres ; mais alors il sera exprimé par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il s'en trouve dans chaque facteur; donc il renfermera un chiffre de moins qu'il n'y en a dans les deux nombres proposés , ce qui démontre la seconde partie de notre théorème.

'56. Le produit de deux nombres ne change pas lorsqu*oninter^ ''vertu r ordre de ses facteurs; je dis par exemple que

En effet, multiplier 5 par 3, c'est répéter cinq unités trois fois : si donc nous écrivons cinq unités sur une ligne horizontale et que nous répétions cette ligne trois fois, ce qui formera

le tableau suivant :

nous aurons écrit autant d'unités qu'en contient le produit de 5. par 3. Mais si l'on considère ces unités comme rangées par lignes verticales , on verra que chaque ligne contient 3 unités et qu'il y a cinq de ces lignes : donc notre tableau renfermera cinq fois trois unités, c'est-à-dire autant d'unités que le produit 3X5. Or, de quelque manière que l'on compte les unités de ce tableau, on doit en trouver toujours le même nombre : donc, puisque d'une part on a trouvé autant d'unités que dans le produit 5 X 3 , et d'autre part autant que dans le produit

3x 5, il faut en conclure que ces deux produits sont égaux, et qu'ainsi 5X3 = 3X5.

La démonstration que nous venons de donner est générale : car on peut toujours concevoir autant d'unités dans chaque ligne horizontale qu'il y en a dans le multiplicande, et autant de ces lignes que le multiplicateur renferme d'unités. Donc on peutt dans toutemuUiplication de deux facteurs^ intervertir F ordre de ces facteurs sans altérer la valeur du produit.

J^^» Le produit de plusieurs nombres ne change pas, dans queU /que ordre qu^on effectue les miUtiplications *. yj

Nous allons d'abord prouver que Fon peut intervertir Vordre des deux derniers facteurs sans altérer la valeur du produit,Soit, en effet, le produit

effectuons le produit 48 des facteurs 2, 6, 4, qui précèdent les deux derniers, et nous aurons, en conséquence, à multiplier 48 par 3, puis le produit par 5. Or, multiplier 48 par 3, c'est répéter ce nombre 3 fois : donc

Pour multiplier ce produit par 5, il n'y a qu'à multiplier chacune de ses parties par 5 : donc

mais, répéter trois fois le produit 48.5, c'est le multiplier par 3; donc , *

* Pour obtenir le produit de plusieurs nombres, on multiplie d*abord le piemier par le deuxième, puis leur produit par le troisième, puis le nouveau produit par le quatrième, et ainsi de suite jusqu'au dernier facteur.

OU bien> en mettant à la place de 48 la quantité équivalenle 2.6.4, on aura

ce qu'il fallait démontrer *.

Je dis maintenant que, dam \m produit de plusieurs facteurs^ on peut intervertir l'ordre de deux facteurs consécutifs quelcon^ guesj sans altérer la valeur du produit.

. Soit, en effet, le produit

et supposons que l'on veuille intervertir Tordre des facteurs 3 et 5. Nous considérerons d'abord le produit 2.6.4.3.5, qui finit par le dernier de ceux que nous voulons changer de place, et nous pourrons intervertir Tordre de ses deux derniers facteurs, ce qui donnera

Or il est clair que, si Ton mulUplie deux quantités égales par une même quantité, les produits seront égaux : donc, en multipliant les deux produits précédents par 8 et ensuite par 9, on aura

ce qu'il fallait démontrer.

Il suit de ce dernier principe qu'en permutant un facteur successivement avec son voisin, on pourra l'amener à telle place que Ton voudra, et par conséquent intervertir, comme on le jugera convenable, Tordre de tous les facteurs, sans altérer pour cela la valeur du produit.

* Si l'on applique le principe que nous venons d'établir à un produit de' trois facteurs dont le premier serait l'unité, on en conclura immédiatement celui^du n» 36: car on aura, par exemple, 1.5.3=1.3.5, c'est-à-dire 5.3 — 3.5.

58. ?o\ir multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, il suffit de le multiplier successivement par chaown des facteurs de ce produit.

Ainsi je dis que pour multiplier 7 par 24, produit des nombres 2, 3 et 4, il suffit de multiplier 7 successivement par ces nombres 2, 3 et 4. En effet le produit 7.24=24.7 (56) : mais dans ce second produit on peut remplacer 24 par 2.3.4, puisque, avant de multiplier par 7, il aura fallu effectuer le produit 2.3.4; donc 7.24, qui est égal à 24.7, Test aussi à 2.3.4.7. Or dans ce dernier produit on pourra faire passer le facteur 7 à là première place (57), et Ton aura ainsi

ce qu'il fallait démontrer.

Il sera facile de déduire de ce principe une seconde démonstration de celui du n*" 54. Supposons, en effet, qu'on ait 800 à multiplier par 70; comme le multiplicande est égal à 8.100 et le multiplicateur à 7. 10, on aura, d'après ce qui précède, 800X70 = 8.100.7.10 = 8.7. 100.10 =8.7.1000 (38) = 56000-

59. Il suit de là et du n® 57 que, pour midtiplier un produit par un certain nombre, il suffit de multiplier im de ses facteurs par ce nombre m conservant les autres facteurs. Supposons que l'on veuille multiplier par 5 le produit 24 des facteurs 4 et 6 : je dis qu'on pourra multiplier par 5 le multiplicande 4 ou le multiplicateur 6, en conservant l'autre facteur. En effet, on a évidemment

ou

40. On appelle multiples d'un nombre les divers produits de ce nombre multiplié par 2, ou par 3, ou par 4, etc. Ainsi 20, produit de 4 par 5, est un multiple de 4.