I. On appelle puissance d^un nombre le produit de plusieurs

24 CxLCUL DES NOUBRES ENTIERS.

fadeurs égaux à ce nombre. Quand un nombre se trouve 2, 3, 4, etc., fois facteur dans un produit, on dit qu'il est élevé à la deuxième, troisième, quatrième, etc., puissance.

On indique cette opération en écrivant au-dessus du nombre dont il s*agit, et un peu à droite, un chiffre nommé exposant, qui indique combien de fois ce nombre est facteur. Ainsi

2'=: 2.2 = 4, est la deuxième puissance de 2 ; 2' = 2.2.2 = 8, est la troisième puissance de 2;

2^ = 2.2.2.2= 16, est la quatrième puissance de 2; etc.

,42. Il suit du n* 34 que Von formera une puissance quelconque de 10 en écrivant à la droite de V unité autant de zéros qu'il est marqué par l'exposant de cette puissance.

Ainsi la cinquième puissance de 10 est l'unité suivie de cinq zéros, c'est-à-dire 100000.

43. Pour faire la preuve de la mulUplicationy multipliez le y/multiplicateur par le multiplicande, et si votis retrouvez le même / produity vous pourrez en conclure que votre opération a été biefi f

faite (36). J- S IV. DIVISION.

^4, La DIVISION est une opération qui a pour but, lorsque Von ^ " connaît un produit nommé dividende et Vun de ses facteurs ap» pelé DIVISEUR, de trouver Vautre facteur nommé quotient*.

y4». II suit de cette définition et du n" 24, !• que, si le diviseur est un nombre concret de même nature que le dividende on devra le regarder comme remplissant les fonctions de multiplicande, et alors le quotient remplira celles de mullipllca-

* Cette opération se nomme division parce qu'elle sert à diviser ou à partager un nombre donné en plusieurs parties égales. Si l'on voulait par exemple partager 48 en 12 parties égales, il faudrait chercher un nombre qui, n'pcté 12 fois, produisît 48 : on regarderait donc 48 comme un produit ayant pour facteurs 12 et Tune des parties cherchées.

CALCUL DES KOMOHES ENTIEUS. 25

teur : donc, quand le dividende et le diviseur sont deux nombres concrets de même nature^ le quotient est un nombre abstrait; 2* que si, au contraire, le dividende étant concret, le diviseur est abstrait, on devra regarder celui-ci conime un multiplicateur; par conséquent le quotient sera le multiplicande : donc le quotient est un nombre concret de même nature que le dividende, si le diviseur est abstrait.

16. Le dividende étant le produit du diviseur multiplié par lé quotient, on voit que le quotient exprime le nombre de fois que le dividende contient le diviseur (25), et c'est de là que lui vient son nom.

C'est aussi pour cela que Ton définit quelquefois la division : une opération qui a pour but de trouver combien de fois un nombre en contient un autre.

Or, si Ton retranche le diviseur du dividende autant de fois qu'il sera possible, le nombre des soustractions indiquera combien de fois le dividende contient le diviseur, et sera par conséquent la valeur du quotient: d'après cela, si l'on veut diviser le nombre 48 successivement par 12 et par 13, on fera les calculs suivants:

V* soustraction. 36. 35

2* soustraction. 24 22

Z^ soustraction. 12 9

4* soustraction.

Uans la première opération nous avons fait quatre soustract tigns: donc le quotient de 48 divisé par 12 est 4. Dans la seconde nous n'avons pu effectuer que trois soustractions: donclequo-w

tient est 3 ; mais la division donne pour reste 9; d'où Ton voit que le dividende 48 est égal à trois fois le diviseur 13, plus le reste 9. Donc, quand la division laisse un reste^ lequel est nécessairement moindre que le diviseur, le dividende est égal au produit du diviseur multiplié par le quotient, plus ce restô'.

17. Lorsque le diviseur est un nombre exprimé par un seul Chiffre, et que le dividende est moindre que dix fois le diviseur, on peut trouver le quotient au moyen de la table de multiplica^ tion. Il suffit pour cela de descendre dans la colonne verticale qui porte en tête le diviseur, jusqu'à ce que Ton arrive au plus grand multiple de ce diviseur qui soit contenu dans le dividende. Le numéro d'ordre de la ligne horizontale où se trouvera ce plus grand multiple sera le quotient cherché. Ainsi le quotient de 39 divisé par 7 est 5 : car, en descendant dans la septième ligne verticale, on trouve que le plus grand multiple de 7 qui soit contenu dans 39 est 35, et 35 appartient à la cinquième ligne horizontale.

48. Si le dividende devait contenir un grand nombre de fois le diviseur, on voit que l'opération effectuée d'après le procédé indiqué au n* 46 pourrait devenir très-longue : il faut donc recourir à une méthode plus abrégée. Soit proposé par exemple de diviser 79461 par 327: effectuer cette division, c'est chercher par quel nombre il faut multiplier 327 pour obtenir au produit 79461 : en comparant le diviseur au dividende, on reconnaît que le quotient contiendra,

1* des unités simples, car. . 327 X 1 = 327 < 79461;

2*» des dizaines, car 327 X là = 3270 < 79461;

3* des centaines, car ... . 327 x 100 = 32700 < 79461;

4* qu'il ne contiendra pas d'unités d'un ordre plus élevé que les centaines, car pour qu'il pût renfermer seulement un mille, il faudrait que le dividende ne fût pas plus petit que 327 X 1000 =327000, et c'est ce qui a lieu ici. Le quotient contiendra donc en général des centaines, des dizaines et des unités, et par conséquent le dividende se composera des produits

CALCUL D£S NOMBRES EMTI£R$. 27

partiels du diviseu/r muliplié par les centaineSy dizaines et imités du quotient.

Gela posé, cherchons à déterminer le nombre des centaines du quotient. Si nous pouvions détacher du dividende le produit du diviseur multiplié par les centaines du quotient, en divisant ce produit par le diviseur nous trouverions les centaines du quotient. Or tout nombre de centaines est terminé par deux zéros: donc le produit du diviseur par les centaines du quo-tient sera aussi terminé par deux zéros (34) ; donc il sera un nombre exact de centaines ; donc il ne pourra se trouver que dans les 794 centaines du dividende. Mais 794 peut contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué delà multiplication du diviseur par les dizaines et unités du quotient^ plus du reste, s'il y en a un; donc, en divisant 794 par 327, on n'obtiendra pas un nombre moindre que celui des centaines du quotient ; on ne pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi ce nombre surpasserait le quotient total*, ce qui est absurde : car il est clair qu'en divisant une partie du dividende par le diviseur, on ne doit pas trouver un nombre plus grand qu'en divisant le dividende tout entier par ce même diviseur**; donc en divisant les 794 centaines du dividende par le diviseur 327, on obtiendra exactement le nombre des centaines du quotient; il s'agit donc d'effectuer cette division, c'est-à-dire de trouver par quel nombre^ il faut multiplier 327 pour obtenir au prodwit 794.

* Si par exemple, le chiffre des centaines du quotient étant 2, la division de 794 centaines par 327 donnait 3 centaines, il est évident que ce nombre surpasserait le quotient qui dans notre hypothèse ne peut pas être plusgrand que 299.

** On peut encore démontrer ce principe de la manière suivante :

Pour qu'en divisant 794 par 327, on pût trouver une centaine de plus que le quotient n'en renferme, il faudrait que 794 centaines continssent, outre le produit du diviseur par les centaines du quotient, au moins 327 centaines qui auraient reflué de la multiphcation du diviseur par les dizaines et les unités du quotient, plus du reste, s'il y en a un (A©); car, pour que le quotient augmente de cent unités, il faut que le dividende augmente de cent fois le

Le produit des 3 centaines du diviseur par le quotient est un nombre exact de centaines : donc il ne pourra se trouver que dans les 7 centaines du dividende 794, lesquelles pourront contenir encore quelques centaines qui auraient reflué de la multiplication des dizaines et unités du diviseur par le quotient, plus du rest^ s'il y en a un ; donc, en divisant les 7 centaines du dividende par les 3 centaines du diviseur, on sera certain de ne pas trouver un nombre moindre que le quotient cherché, mais on pourra eu trouver un plus grand, car le reste peut contenir 3 centaines.

Pour vérifier si le nombre trouvé n'est pas trop grand, on multipliera le diviseur par ce nombre, et l'on retranchera le produit du dividende 794; si la soustraction est possible, le chiffre que l'on a trouvé est exact; sinon, il est trop grand, de sorte qu'il faudra le diminuer successivement de 1, de 8, etc., unités jusqu'à ce que la soustraction puisse s'effectuer. Divisons donc 7 centaines par 3 centaines: en 7 combien de fois 3? - â fois. Je multiplie le diviseur 327 parle quotient 2 ; et comme le produit 654 peut se retrancher de 794, j'en conclus que 2 €St bien le chiffre des centaines du quotient total. Il s'agit maintenant d'en trouver les dizaines.

Le dividende étant la somme des produits partiels du divi* scur par les centaines, dizaines et unités du quotient, si Ton en soustrait le produit du diviseur par les centaines du quotient, le reste sera composé des produits partiels du diviseur parles dizaines et unités du quotient: ce sera donc un nouveau dividende sur lequel on pourra faire les mêmes raisonnements

diviseur. Le cas le plus défavorable serait celui où les dizaines et unités du quotient formeraient le plus grand nombre possible, c'est-à-dire 99; mais en multipliant le diviseur 327 par 99, on le répète 99 fois, et en y ajoutant le reste, qui vaut au plus 326, on voit qu'il s'en faudra au moins d'une unité que l'on ne trouve cent fois 327, c'est-à-dire 327 centaines; donc il ne peut pas avoir reflué 327 centaines de la multiplication du diviseur par les dizaines et unités du quotient, plus du reste, s'il y en a un ; donc, en divisant 794 par 327, on ne peut pas trouver un nombre plus grand que celui des centaines du quotient.

que sur le premier, et mérne avec cet avantage que Ton sait déjà que les plus hautes unités du quotient correspondant sont de Tordre des dizaines. Ces raisonnements conduiront à la dé« termination des dizaines; et ensuite, de même que Ton aura passé du calcul des centaines à celui des dizaines, on pourra passer du calcul des dizaines à celui des unités, ett)btenir ainsi le quotient demandé.

Retranchons donc du dividende 79461 les 654 centaines qui proviennent de la multiplication du diviseur 327 par les 2 centaines du quotient, et nous aurons pour reste 14061 : or, de même que nous avons obtenu les centaines du quotient en divisant les centaines du premier dividende par le diviseur, nous trouverons ses dizaines en divisant les dizaines du deuxième dividende par le diviseur. Il s'agit donc de diviser 1406 par 327 ; mais pour diviser 794 par 327, nous avons divisé 7 centaines par 3 centaines : donc nous diviserons 1406 par 327 en divisant 14 centaines par 3 centaines. En 14, combien de fois 3? il y est 4 fois. Je multiplie le diviseur 327 par le quotient 4; et comme le produit 1308 peut se retrancher de 1406, j*en conclus que 4 est bien le chifTre des dizaines du quotient total; il n'y a plus qu'à chercher les unités. Or, pour trouver les dizaines, nous avons retranché du premier dividende le produit du diviseur par les centaines, et divisé ensuite les dizaines du reste par le diviseur; donc, pour calculer les unités du quotient, nous retrancherons du deuxième dividende 14061 le produit 1308 dizaines du diviseur 327 multiplié par les 4 dizaines du quotient, et nous diviserons le reste 981 par 327. Nous dirons donc : en 9 combien de fois 3? il y est 3 fois. Comme le produit de 327 par 3 est 981, on voit que 3 est bien le chiffre des unités, et que le quotient demandé est par conséquent 243. Remarquons que l'on peut avoir le premier dividende partiel 794, en séparant sur la gauche du dividende 79461 autant de chiffres qu'il en faut pour obtenir un nombre plus grand que le diviseur 327 ; que pour former le deuxième dividende partiel 1406, il aurait suffi de retrancher du premier le produit du diviseur par le premier chiffre du quotient , et d'abaisser à

la droite du reste UO le premier des chiffres suivants du dividende; que l'on aurait obtenu de même le troisième dividende parUel 981 en retranchant du deuxième le produit du diviseur par le deuxième chiffre du quotient, et en abaissant à la droite du reste 98 le second des chiffres suivants du dividende. En conséquen(«, on dispose les calculs comme ci-dessous :

49. En généralisant ce que nous venons de dire, on en conclura la règle suivante : Pour diviser un nombre par un autre^ écrivez le diviseur à la droite du dividende^ séparez -les par un trait vertical y soulignez le diviseur, et placez le quotient au-dessous. Cela fait , prenez sur la gauche du dividende assez de chiffres pour que le nombre qu'ils expriment j considéré comme représentant des unités simples , puisse contenir le diviseur; vous aurez ainsi un premier dividende partiel, que vous diviserez par le diviseur, ce qui vous donnera le chiffre des plus hautes unités du quotient. Soustrayez du premier dividende partiel le produit dû diviseur par le premier chiffre du quotient, et abaissez sur la droite du reste le premier des chiffres séparés dans le dividende : vous aurez ainsi un second dividende partiel que vous diviserez par le divisevr, ce qui vous donnera le second chiffre du quotient; vous récrirez à la droite du premier, et vous agirez sur le second dividende partiel et sur le second chiffre du quotient, comme vous avez fait sur le premier dividende partiel et sur le premier chiffre du quotient ; et vous continuerez cette série d^opéraiions jusqu'à ce que vous ayez abaissé le dernier chiffre du dividende, en ayant soin à chaque opération cTd-

cnre le quotient que vous obtenez à la droite du précédent. Si Vun des dividendes partiels était moindre que le divUeur, ce serait un signe que le quotient n'a point d'unités de V ordre correspondant; on écnraitdonc un zéro au quotient, et Von abaisserait à la droite de ce dividende partiel le chiffre suivant du dividende total, ce qui donnerait un nouveau dividende partiel que Von diviserait par le diviseur r

Pour diviser un dividende partiel par le diviseur, il faut diviser par le chiffre des plus hautes unités du diviseur le nombre des unités du même ordre que contient ce dividende partiel. On vérifisra que le quotient ainsi trouvé n'est pas trop grand, en examinant si le produit du diviseur par ce quotient peut se retrancher du dividende partiel.

SO. liE division d'un dividende partiel par le diviseur ne s'effectuant que par tâtonnements, on sent que la crainte d'écrire au quotient un chiffre trop grand peut conduire à en mettre un trop petit. On reconnaîtra qu'il en sera ainsi lorsque le reste, obtenu en retranchant du dividende partiel le produit du diviseur par le chififre dont il s'agit, contiendra le diviseur. On augmentera donc ce chififre d'une, deux, trois, etc., unités, jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste moindre que le diviseur.

Il y a toutefois une précaution qui diminuera le nombre des tâtonnements : c'est de regarder le premier chiffre à gauche du diviseur comme augmenté d'une unité lorsque le second surpassera 5 (on appelle cela forcer V unité sur ce chiffre), et d'augmenter aussi d'autant le nombre des unités de même ordre que Tenferme le dividende partiel. Ainsi, si l'on avait à diviser 27249 par 3628, au lieu de dire : en 27 combien de fois 3? on dirait : en 28 combien de fois 4? Le chififre 7 ainsi obtenu est effecti* vementle quotient de la division de 27249 par 3628. On conçoit en efifet que, le diviseur 3628 étant plus près de 4 mille que de 3 mille, on a plus de chance de trouver le quotient cherché en prenant pour diviseur 4 mille plutôt que 3 mille. Mais aussi on court le risque d'écrire au quotient un chififre trop faible : car le quotient devient plus petit quand le diviseur augmente. C'est

pour diminuer cette chance d'erreur qu*on augmente d'une unité le nombre des mille du dividende partiel.

M. On peut enfin effectuer la division d'un dividende partiel par le diviseur sans tâtonnements, par un procédé que Ton emploie avec avantage quand le quotient total doit contenir un grand nombre de chiffres. On forme le tableau des neuf premiers multiples du diviseur, et l'on y cherche quel est le plus grand de ces multiples qui soit contenu dans le dividende partiel. Le numéro d'ordre de ce multiple est le chiffre cherché du quotient. Ainsi, dans l'exemple du n"" 48, nous verrons que le premier chiffre du quotient est 2 : car/ en consultant le tableau des multiples du diviseur :

1" mulliple....* 327