S IL CONSTRUCTION D'UNE TABLE DE LOGARITHMES

1286. Une table de logarithmes est un tableau à deux colonnes mrticales : dans la première se trouve la suite naturelle des nom^ bres 1, 2, 3, 4, etc. <, jusqu'à une certaine limite^ et à célèj dans la seconde^ leurs logarithmes^ c'est-à-dire les termes correspondants

d'une progression par différence commençant par zéro. Voyons comment on a dû s'y prendre pour construire une pareille table.

Parmi le nombre inOni de progressions par quotient commençant par l'unité et de progressions par différence commençant par zéro, on a choisi les deux suivantes :

«H 1 : 10 : 100 : looo : etc., •f • K 2 • 3 • etc.

Cela poséy si entre tous les termes de la première progrèssion on insère le même nombre de moyens proportionnels, et qu'entre tous les termes de la progression par différence on insère autant de moyens différentiels, on formera deux nouvelles progressions (269 et 27S), dont les termes jouiront des propriétés énoncées précédemment. Or, si le nombre des moyens insérés est très-considérable, on s'élèvera de 1 àlO, delO àlOO^ de 100 à 1000, etc., par degrés très-resserrés, et d'autant plu& resserrés que le nombre de ces moyens sera plus grand . On conçoit même que si ce nombre était infini, les termes de la nou- velle progression géométrique présenteraient toutes les nuances de la grandeur, à partir de Tunité (553) : de sorte que tous les nombres plus grands que l'unité seraient compris dan& cette progression ; et comme on en peut dire autant des nombres moindres que 1 en considérant la progression t^-^I Tuïï • 7oSô9 ^^c., on conclut que tout nombre a un logarithme*^

* Il suit de là qu'un nombre a une infinUé de logarithmes, car on peut fairecorrespondre à la progression géométrique qui renferme tous les nombres une^ infinité de progressions arithmétiques commençant par zéro. Toutefois, le système que Ton considère est déterminé à l'instant où Ton fixe le logarithme d'un nombre donné ; car on peut le regarder comme formé en partant de deux progressions par quotient et par différence qui auraient respectivement pour raison le nombre donné et son logarithme.

On est convenu d'appeler basr d'un système de logarithmes le nombre qui a l'unité pour logarithme; de sorte que ce système est défini par sa base, La^

Cela posé, si les nombres

etc.,

ne se trouvent pas parmi les moyens proportionnels qu'on am*t insérés, du moins il y aura parmi ces moyens des nombres qui en différeront très-peu : de sorte qu'en prenant pour logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc., ceux des moyens qui en approcheront le plus, l'erreur que Ton commettra sera moindre que la raison de la progression par différence; et comme celte raison est d'autant plus petite que le nombre des moyens différentiels qu'on aura insérés sera plus grand (2G8), on voit qu'on pourra toujours déterminer de cette manière les logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc., avec tel degré d'approximation qu'on voudra. Cela fait, on écrira dans une colonne verticale successivement tous les nombres entiers .1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., jusqu'à la limite convenue ; puis, dans une autre colonne verticale^ et à côté, les logarithmes correspondants qu'on aura trouvés, et la table de logarithmes sera construite.

Voyons maintenant comment on pourra effectuer Tinsertion des moyens proportionnels et différentiels.

L'insertion des moyens différentiels n'offre aucune difficulté; car, pour trouver la raison de la progression qu'ils doivent former, il suffit de diviser la raison de la progression donnée par le nombre de ces moyens plus un (268). Mais il n'en est pas ainsi du calcul des moyens proportionnels : nous avons vu, en effet, que pour trouver la raison de la progression dont ils feront partie, il faut extraire de la raison de la progression donnée

base du système que nous considérons ic% est 10. Le système de logarilhines dont la base est 7 serait donné par les deux progressions :

•H-m:49:343, etc.,