Si l'on voulait calculer seulement le logarithme d'un

LOGARITIL^JES. 217

nombre dt^^erminé, on pourrait y parvenir bien pins sîm|)Icment de la manière suivante :

Supposons, pour fixer les idées, que l'on demande le logarithme de 7 à moins d'un ccnliôme. Ce nombre étant compris entre 1 et 10, son logarithme se trouvera entre et 1 CiSO), de sorte qu'en prenant zéro pour sa valeur, on commettra une erreur moindre qu'une unité. Pour en approcher davantage, on cherchera une moyenne proportionnelle entre 1 et ÎO, et une moyenne différenliellc entre et 1 (îiiSI et 246). La première est 3,162, et la seconde est 0,5; d'où il suit que, comme 7 tombe entre 3, 162 et 10, son logarithme est compris entre 0,5 et 1, de sorte que 0,5 esl sa valeur à moins de 0,5 près. On prendra ensuite une moyenne géométrique 5,623 entre 3,162 et 10, et une moyenne arithmétique 0,75 entre 0,5 et 1. Comme 7 est compris entre 5,623 et 10, son logarithme tombera entre 0,75 et 1, et 0,75 sera ainsi sa valeur à moins de 0,25. On continuera ainsi jusqu'à ce que Ton ait trouvé deux moyens proportionnels, l'un plus grand, l'autre plus petit que 7, et tels que les deux moyens ditïércntiels correspondants diffèrent de moins de 0,01. Alors, en rejetant les décimales d'un ordre inférieur aux centièmes, on aura résolu la question :

7,499 moyenne proporlionnelle entre 5,623 et 10.

0,875 différentielle ^ 0,75... 1.

6,494 proportionnelle 5,623.. 7,499.

0,812 différentielle 0,75... 0,875.

6,978 proporlionnelle 6,49^.. 7,499.

0,843 différentielle 0,812.. 0,875.

7,234 proportionnelle 6,>73.. 7,499

0,859 différentielle .0,843.. 0,875.

7,105 proporttonnjîlle 6,978.. 7,234.

0,851 diirérentielle 0,843.. 0,859.

On voit parla que? tombe entre les deux moyens géométriques 6,978 et 7,105, etqu'ainsi son logarithme esl compris entre les deux moyens arithmétiques correspondants 0,843 et 0,851; et comme ces deux derniers moyens diffèrent de moins d'uncen-

tième, en prenant l'un d'eux pour le logarithme de 7, on résoudra le problème.

Remarquons que pour être sûr du chiffre des centièmes, on ne devra s*arriter que quand on aura obtenu deux moyens arithmétiques dont les deux premières décimales seront les mêmes. Ainsi, dans notre exemple, il faudrait prendre encore une moyenne proportionnelle entre 6,978 et 7,105, laquelle est 7,041, et une moyenne différentielle entre 0,843 et 0,851, laquelle est 0,847; donc les deux premières décimales du logarithme de 7 forment 0,84.

Si Ton calcule Je cette manière les logarithmes de tous les nombres premiers moindres que 10 000, il sera facile ensuite d'obtenir les logarithmes de tous les autres nombres entiers inférieurs à cette limite : car il suffira pour cela d'additionner les logarithmes des facteurs premiers de ces nombres (28i), et alors la table de logarithmes sera construite.

Mais si les logarithmes des nombres premiers n'étaient calculés qu'à moins d'un centième, ceux des nombres composés pourraient ètra erronés de plus d'un centième : avec quelle approximation faudrait-il donc déterminer les logarithmes des nombres premiers? y ohser\e que la puissance de 2, qui est immédiatement supérieure à 10 000, est la quatorzième, de sorte qu'un nombre moindre que 10 000 renferme au plus 13 facteurs; donc, pour que son logarithme ne soit pas erroné d'un centième, il suffira que ceux de ses facteurs premiers ne le soient pas de /j de centième, c'est-à-dire d un demi-millième.