Il résulte du choix des deux progressions
"HX : 10:100; loooretc,
V 0-. 1 ..2 . 3^. etc., que, parmi les nombres entiers, les nombres 1, 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire les Uules puissances de 10, ont pour logarithme des nombres entiers, et que ces logarithmes se corn-
LOGARITIJMES. 219
posent (fautant (Tunités qu'il y a de zéros dans les nombres auxquels ils appartiennent.
Si, de plus, on observe que tout nombre est compris entre l'unité suivie d'autant de zéros qu'il a de chiffres moins un et l'unité suivie d*au(ant de zéros qu'il a de chiffres, on verra que son logarithme tombe entre deux nombres entiers consécutifs^ dont le plus petit indique combien le nombre proposé contient de chiffres moins un. Ainsi la caractéristique, c'est-à-dire la partie entière du logarithme d'un nombre entier quelconquey renftrme autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans ce nombre. Nous pourrons, d'après cela, déterminer, à l'inspection d'un nombre, quelle sera la caractéristique de son logarithme; et réciproquement, à l'inspection du logarithme d'im nombre, dire d^ combien de chitTres entiers ce nombre est composé. C'est pour cela que la partie entière du logarithme d'un nombre a été appelée caractéristique^ et que dans les tables de logarithmes on peut se dispenser d'écrire la caractéristique.
289. Un principe fondamental dans l'usage des tables de logarithmes, c'est que, quand deux nombres plus grands que Vunité sont composés des mêmes chiffres écrits dans le même ordre, et qu'ils ne diffèrent ainsi que par la position de la vir^ gule, leurs logarithmes ont la même partie décimale et ne diffèrent que par la caractéristique.
En effet, supposons, pour fixer les idées, que le plus grand des deux nombres renferme trois chiffres entiers de plus que l'autre; ce plus grand nombre sera égal au plus petit multiplié par 1000 : par conséquent, son logarithme est égal à celui de ce plus petit augmenté de celui de 1000, c'est-à-dire de 3 unités. Donc la partie décimale des logarithmes des deux nombres proposés est la même, et la différence de leurs caractéristiques contient autant d'unités qu'il y a de chiffres entiers de plus dans l'un que dans l'autre.
200. Il faut savoir résoudre les d^eux problèmes suivants pour pouvoir se servir des tables de logarithmes : !• Un nombre
étant donné, trouver son logarithme; 2» étant donné le logarithme d'un nombre, trouver ce nombre. »
Occupons-nous d'abord de résoudre le premier problème, cl supposons que nous ayons une table qui, comme celle de Lalande, renferme les logarithmes des dix mille premiers nombres entiers, chacun à moins d'un demi-ccnt-millième. Si le nombre proposé est moindre que 10 000, on le cherchera dans la table, et on trouvera la partie décimale de son logarithme à côté. Ainsi la partie décimale du logarithme de 9485 est 97704, et comme d'ailleurs la caractéristique est 3, puisque ce nombre est composé de quatre chiffres (280), il s'ensuit quelog 9485 = 3,97704.
Supposons maintenant que le nombre proposé excède la limite des tables, c'est-à-dire qu'il soit plus grand que 10 000, et prenons, pour fixer les idées, le nombre 721367. Nous voyons d'abord que la caractéristique est 5 : quant à la partie décimale du logarithme, elle est la même que celle du logarithme du nombre 7213,67, formé en séparant par une virgule les quatre premiers chiffres à gauche du nombre proposé. Tâchons donc de déterminer celle-ci. Le nombre 7213 a pour partie décimale de son logarithme 85812; de sorte qu'il s'agit de trouver de combien cette partie décimale doit augmenter lorsqu'on augmente le nombre correspondant de 0,67. Or on démontre dans l'algèbre que les différences des nombres sont à moins d'un cent-millième près proportionnelles à celles de leurs logarithmes, lorsque les différences des nombres ne surpassent pas ïunité et que ces nombres sont plus grands que 1000; mais nous avons ici trois nombres : 7213, 7213,67 et 7214, qui se trouvent dans le cas dont il s'agit; ainsi nous pourrons leur appliquer le principe que nous venons d'énoncer, et poser la proportion suivante :
1 (différence des Jeux nombres extrêmes) : 0,67 {différence des deux premiers nombres) :; 6^ent^iliîèmes {différence deshga^ rithmes-des deux nombres extrêmes) : x {différence des logarithmes des deux premiers). ^, .
La valeur de x tirée de cette proportion exprimera donc de
combien il faut augmenter le Jog-arilhme de 7213 pou;* avoir celui de 7213,67.
On en tire a?= 6X0,67=4,02 = 4 cent-millièmes, en négligéant les décimales du produit (on forcerait Tunité s'il y avait lieu).
Le logarithme de 7213,67 a donc pour partie décimale 85812 4- 4= 85816 cent-millièmes: doncenfinlog 721367 = 5,85816.
Remarquons que le calcul qui a fourni la valeur de x revient à multiplier la différence tabulaire 6 cent-millièmes par la fraction décimale qui reste sur la droite du nombre proposé quand on a séparé les quatre premiers chiffres à gauche par une virgule : ainsi on pourra calculer la valeur de x sans poser de proportion,
*291.Nous avons dit qu'on démontre dans l'algèbre que les différences des nombres sont, à moins d'un cent-millième, proportionnelles à celles de leurs logarithmes, quand les différences des nombres ne surpassent pas l'unité et que ces nombres sont plus grands que 1000; mais on peut facilement concevoir la vérité de ce principe par les considérations suivantes.
En effet, les différences des logarithmes des nombres 1, 10, 100, 1000, etc., sont exactement égales à l'unité : or, de 1 à 10, cette différence 1 est répartie entre 9 nombres ; de 10 à 100, elle l'est entre 90 nombres ; de 100 à 1000, entre 900 ; et enfin de 1000 à 10000, entre 9000 ; de sorte que la différence des logarithmes de deux nombres consécutifs est d'autant plus petite que ces nombres sont plus grands. On conçoît, d'après cela, qu'il doit arriver un point à partir duquel les diffôrenq^s des différences entre les logarithmes de plusieurs nombres consécutifs seront moindres qu'un cent-millième, et seront par conséquent constantes, puisque nous supposons (pi'on a négligé les unités décimales de l'ordre^infémeuç aux cent-millièmes. C'est ce qu'on peut vérifier en consultant la colonne intitulée différence, dans la partie de la tabla, qui s'étend de 1000 à 10 000. Si donc on considère trois nombres dont les deux
exlrêmes ne diffièreiit que d'une unité, on pourra concevoir que la différence des logarilhmes de ces deux extrêmes soit répartie proportionnellement sur les logarithmes des nombres intermédiaires : par conséquent, les différences de nos trois nombres seront, à moins d'un cent-millième, proportionnelles aux différences de leurs logarithmes.
292. Proposons-nous maintenant de trouver le logarithme d'un nombre décimal, de 72,1367 par exemple. La caractéristique est l ; quand à la partie décimale, nous séparerons, pour la déterminer, quatre chiffres sur la gauche du nombre proposé, ce qui nous ramènera à chercher la partie décimale du logarithme de 7213,67, et nous venons de résoudre cette question tout à l'heure (290) : donc le logarithme demandé
sera 1,85816.
Ainsi, pour trouver le logarithme dun nombre décimal^ on déplace la virgule de manière à séparer quatre chiffres sur la gauche de ce nombre, ce qui ramène au cas du numéro précédent ; quant à la caractéristique, on la détermine à l'inspection seule de la partie entière du nombre proposé.
293. Supposons actuellement que Von veuille trouver le logarithme d'une fraction décimale^ et prenons pour exemple la fraction 0,00721367. Si Ton porte la virgule adroite du premier chiffre dgnificalif, et qu'on cherche le logarithme du nombre résultant 7»213ô7, on trouvera 0,85816. Or, en avançant la virgule de 3 rangs, nous avons multiplié le nombre proposé par l'unité suivie de 3 zéros, et par conséquent nous avons augmenté son logarithme de 3 unités, c*ést-à-dire d'autant d^unités qu'il est marqué par le rang du premier chiffre décimal significatif, il faut donc le diminuer d'autant. Mais comme la caractéristique est zéro, nous ne pourrons qu'indiquer la soustraction i» ces 3 unités, et nous le ferons en plaçant le signe — au-dessus de 3, pour marquer que ce signe ne porte que sur 3 et non sur la partie décimale ; de sorte que le logarithme demandé ser* 3,85816, c'est-à-dire qu'il sera composé de moins 3 unités, plus la fraction décimale 0,85816.
On voit donc que la caractéristique du logarithme d'une frac* tion décimale se c(ympose d'autant d'unités négatives qu'il est rnar' que par le rang du premier chiffre décimal significatif,
204. Proposons -nous actuellement de trouver le logarithme d'une fraction ordinaire, par exemple, de t^VW* Comme une fraction exprime la division de son numérateur par son dénominateur, nous trouverons le logarithme de cette fraction en retranchant le logarithme du dénominateur de celui du numérateur, ce qui nous donnera le calcul suivant :
log 215 = 2,33244 log 7213B7=: 5,85816
Ainsi le logarithme demandé est 4,47428, c'est-à-dire qu'il se compose de moins 4 unités, plus la fraction décimale 0,47428. Telle est la manière la plus commode d'employer les logarithmes des fractions dans le calcul; cependant on peut encore obtenir ces logarithmes en retranchant le logarithme du numérateur de celui du dénominateur ; mais comme la soustraction devrait être effectuée dans un ordre inverse, on affecte le reste du signe moins^ de sorte que le logarithme de la fraction est entièrement négatif^. Calculons ainsi le logarithme de la fraction précédente :
log 721367= 5,85816 log 215= 2,33244
log T2¥|g7 =-3,52572
