Lorsqu'on veut appliquer le calcul logarithmique à

*0n peut encore observer que la fraction j^YlVîy P*^ exemple, est 'vi^ demment égale à 1: 2^^ (186), et qu'ainsi son logarithme est égal \ log l - log '^f' (283) , c'est-à-dire à— log ^^^y puisque log 1=0. ,

224 LOGARlTHMEi.

rextractîon des racines des fractions, il arrive souvent que la caractéristique négative du logarithme de celte fraction n'est pas exactement divisible par Tindice de la racine à extraire. On ajoute alors à cette caraclèrislique autant d'unités qu'il est nécessaire pour rendre la division possible, mais on retient le même nombre d'unités pour les ajouter à la partie décimale. De cette manière, la difficulté est éludée, et le logarithme n'a pas été altéré puisqu'on a ajouté le même nombre d'unités à la partie positive et à la partie négative de ce logarithme. Ainsi, si nous voulons extraire la racine cubique de la fraction 7^3^, il faudra d'abord chercher son logarithme, et l'on trouveia 4,47428, qu'on doit diviser par 3; pour cela, on ajoute 2 unités négatives à la caractéristique 4, ce qui fait 6; on divise — 6 par 3 et on a pour quotient — S:; maintenant on ajoute à la fraction décimale 2 unités positives qui valent 20 dixièmes, et Ton trouve ainsi que

10gV^;Â^^7= ^,82476.

296, Cherchons maintenant à résoudre le second des deux problèmes que nous avons énoncés au n"" 290, c'est-à-dire proposons-wus de revenir d*un logarithme au nombre auquel il correspond^ et prenons pour exemple le logarithme 2,56526. Puisque la caractéristique ne fait qu'indiquer le nombre des chiffres entiers du nombre correspondant au logarithme donné, nous ne nous en occuperons pas ; seulement, lorsque nous aurons trouvé les chiffres qui entrent dans l'expression de ce nombre, nous en séparerons sur la gauche autant qu'il y a d'unités plus une dans la caractéristique, et le problème sera résolu.

Cherchons donc la partie décimale 56526 dans nos tables. Si nous considérons la première série, qui s'étend de 1 à 10, nous voyons que cette partie décimale toilibe entre les logarithmes de 3 et de 4; et comme le nombre demandé doit avoir trois chiffres entiers, il s'ensuit qu'il est compris entre 300 et 4bOO, et que par conséquent la première série des tables ne donne ce nombre qu'à moins d'une centaine près.

En cherchant 56526 dans la seconde série, qui s*étend de 10 à 100, on voit que le nombre demandé tombe entre 36 dizaines et 37 dizaines, et qu'ainsi cette seconde série ne donne ce nombre qu'à moins d'une dizaine près.

£o cherchant 56526 dans la troisième série, c'est-à-dire de 100 à 1000, on voit que le nombre demandé est compris entre 367 et 368, et qu'en conséquence cette troisième série ne donne ce nombre qu'à moins d'une unité près.

Enfin, si nous cherchons 56526 dans la quatrième série, c'est-à-dire de 1000 à 10 000, nous trouverons que cette partie décimale correspond exactement à 3675, et que par conséquent le nombre demandé est 367,5.

Ainsi la considération de la quatrième série nous a donné exactement le nombre demandé; mais cela n'arrivera qu'autant que le logarithme donné se trouvera dans la table. Cependant il y aura toujours de l'avantage à chercher le logarithme dans la quatrième série : car nous trouverons ainsi les quatre premiers chiffres à gauche du nombre demandé, tandis que par les autres séries nous n'en trouverions qu'un, deux ou trois.

207. Soit encore proposé de trouver le nombre correspondant au logarithme 5,85816. Nous chercherons la partie décimale 85816 dans la quatrième série, c'est-à-dire entre les logarithmes de 1000 et de 10 000, et nous verrons qu'elle tombe entre Jes logarithmes des nombres 7213 et 7214, et qu'elle surpasse le logarithme du premier de 4 cent-millièmes. Nous obtiendrons donc le nombre demandé si nous pouvons calculer la différence qui existe entre 7213 et le nombre dont le logarithme est 3,85016 (289). Or, si nous appelons x cette différence, les trois nombres 7213, 7213 -f a? et 7214 sont plus grands que 1000, et la différence des deux extrêmes ne surpasse pas l'unité; nous pourrons donc appliquer le principe que tes différences des nombres sont proportionnelles aux di/férences de leurs logarithmes^ et établir la proportion :

1 {di/férence des deux nombres extrêmes) : x {différence des

deux premiers) :: 6 cent-millièmes (différence des logarithmes des^ deux nombres extrêmes) : 4 cent^millièmes (différence des logarithmes des deux premiers nombres).

On lire de cette proportion a? =|= 0,7 (en forçant Tunilé) ; d'où l'on voit que, pour avoir la différence entre 7213 et le nombre correspondant au logarithme 3,85816, il faut diviser la différence des logarithmes de ces deux nombres par la différence tabulaire quicorrespond au logarithme donné.

Ainsi le nombre qui a pour logarithme 3,85816 est 7213,7; et par conséquent le nombre demandé, devant être composé de six chiffres entiers, sera 721370. Telle est sa valeur, à moins d'une dizaine : car la différence x a été calculée seulement à moins d'un dixième, et nous l'avons multipliée par 100. Nous avons vu en effet, au u? 290, que 5,85816 était le logarithme de 721367, de sorte que Terreur est de 3 unités, et par conséquent moindre qu'une dizaine.

S 98. Si la caractéristique du logarithme est négative, on agira comme dans l'exemple précédent, c'est-à-dire qu'on cherchera les chiff'res qui composent tous les nombres cor^ respondant à la partie décimale du logarithme, et l'on pla^ cera .ensuite la virgule de manière que le premier chiff're significatif décimal soit dé Vordre marqué par la caractérisatique.

Exemple. Quel est le nombre qui a pour logarithme 2,82476? La partie décimale répond à tous les nombres dont les cinq premiers chiffres sont 66797 ; mais la caractéristique étant T, le premier chiffre significatif doit être du second ordre décimal (S95), c'est-à-dire de l'ordre des centièmes, de sorte que la fraclion décimale correspondant au logarithme donné est 0,066797, à moins d'un millionième.

En effet, en ajoutant deux unités au logarithme donné (autant qu'il y en a dans la caractéristique^), il devient 0,82476, et le nombre correspondant esl6,6797; mais, en ajoutant deux unités à la caractéristique, on a multiplié le nombre correspondant par l'unité suivie de deux zéros : donc il faut reculer la virgule de

deux rangs vers là gauche, ce qui donne bien 0,066797. Telle est donc la racine cubique de la fraction rirh^ (295).

299. Si le logarithme est entièrement négatif, on cherefie le nombre correspondant à ce logarithme pris positivement^, et Von fait de ce nombre le dénominateur d'une fraction dont VwnM est le numérateur^ ce qui donne la fraction ordinaire correspondant au logarithme négatif proposé.

En effet, le produit de deux termes situés à égale distance de l'unitéy dans la progression géométrique, est évidemment égal à une unité : donc si un certain nombre, 15 j par exemple, se trouve à une certaine distance de 1 dans la partie ascendante

de celte progression, le nombre j^ occupera le même rang

dans la partie descendante ; donc les logarithmes sont égaux

et de signes contraires, c'est-à-dire que log TTâ=— log ISj.

Donc enfin un logarithme négatif appartient à une fraction qui a pour numérateur l'unité, et pour dénominateur le nombre correspondant au logarithme donné, abstraction faite du signe moins.

Exemple. Quel est le nombredont le logarithme est — ,352572? Je fais abstraction du signe — ,etie cherche le nombre correspondant au logarithme 3,52572. Ce nombre est 3355,2 ; par conséquent le nombre correspondant au logarithme— 3,52572 est 5^2) ou bien 3^^ = ^577^, en multipliant les deux termes de cette fraction par 10.

500. Si Von voulait obtenir en décimales la valeur de la fraction qui correspond à un logarithme négatif donné, on ajouterait à ce logarithme autant d unités plus une quil y en a dans la caractéristique; on chercherait le nombre correspondant au loga^^ rithme résultant, et Von reculerait la virgule d'autant de rangs vers la gauche qu'on aurait ajouté d'unités au logarithme donné.

Reprenons, eneffet, le logarithme— 3,52572; j y ajoute 4 unités, ce qui fait 4— 3,52572=0,47428. Le nombre correspon-

dant à ce logarithme est 2^9804. Mais en ajoutant quatre unités au logarithme proposé, nous avons multiplié le nombre correspondant par 10000, de sorte qu'il faudra diviser le nom- /jrc trouvé par 10000, ce qui se fera en reculant la virgule de quatre rangs vers la gauche. Ainsi la fraction décimale équivalente au logarithme négatif proposé est 0,00029804.

Siy au contraire^ on voulait obtenir en fraction ordinaire la valeur de la fraction correspondant à un logarithme dont ta ca^ ractèristique est négative^ on commencerait par prendre la diffé^ rence entre la caractéristique, abstraction faite de son signe^ et la partie décimale; on affecterait cette différence du signe — , et on chercherait enfin la fraction ordinaire qui correspond à ce logarithme entièrement négatif Ç299).

Soit, par exemple, le logarithme 2^82476. En vertu de la règle posée dans la note du n» 281, page 212, ce logarithme est égal à — (2— 0,82476)= — 1,17524= log xôri : ainsi la fraction ordinaire qui correspond au logarithme proposé

pet J"Q£-

501 . Il arrive souvent que Ton a à retrancher un logarithme d'un autre : les calculateurs ont trouvé le moyen de changer cette soustraction en une addition. Supposons, en effet, que Ton veuille soustraire 36 de 584 ; il est clair que, si j'ajoute à 584 l'excès 64 de 100 sur 36, la somme 648 surpassera la différence demandée de 100 unités; de sorte qu'en en retranchant une centaine, j'obtiendrai cette différence. Le reste est donc 548. Cet excès de 100 sur 36 se nomme le complément arithmétique de 36 ; et, en général, on appelle complément arithmétique d*u7i nombre la différence entre ce nombre et l'unité suivie d autant de zéros qu'il a de chiffres. Ainsi, pour soustraire un nombre d'un autre^ on ajoutera son complément à cet autre^ mais on retranchera de la somme une unité de F ordre de celle qui a fourni le .complément.

Exemple^ Élever la fraction^ à la troisième puissance. En suivant le procédé ordinaire, il faudait d'abord retrancher le logarithme de 376 de celui de 79 ; au lieu d'opérer ainsi, je

prends le complément du logarithme de 376 à 10 unités, et je l'ajoute au logarithme de 79 :

log 79=1,89763 COmpl. log 376 = 7,4248 1

somme 9,32244

Je multiplie cette somme par 3, ce qui donne 27,96732; mais, comme elle surpassait le logarithme de ^de 10 unités, ce produit surpasse le logarithme du cube de celte fraction de 30 unités; donc il faudra diviser le nombre correspondant par l'unité suivie de 30 zéros; mais ce nombre correspondant aura 28 chifTres entiers (288) : donc le premier chiffre significatif décimal du cube demandé sera du troisième ordre. On trouve pour résultat 0,0092751 .

502. On ne prend pas toujours, pour complément d'un nombre, la différence entre ce nombre et l'unité suivie d'autant de zéros qu'il a de chiffres, parce que, dans certains cas, on serait ainsi conduit à des calculs bien plus longs que ceux que l'on veut éviter en faisant usage des compléments. Supposons, par exemple, que l'on ait à calculer la racine cubique de la cinquième puissance de ^. Si l'on suivait la méthode précédente, on devrait ajouter au logarithme de 2 le complément du logarithme de 13, et multiplier la somme par§; mais, comme cette somme surpasserait le logarithme de ^ de 10 unités, on voit que le produit devrait être diminué de lOxt=-3^, ^^ sorte qu'il faudrait diviser le nombre correspondant parle nombre qui a ^ pour logarithme, c'est-à-dire par la racine cubique' de la cinquantième puissance de 10"^, calcul extrêmement laborieux. La difficulté tient à ce que la quantité dont le logarithme final est trop grand n'est pas un nombre entier (SOI) : on l'éludera donc en prenant le complément du logarithme du dénominateur 13, relativement au muUiple de Tindice 3 qui est

* Comme le logarithme de 10 est 1, celui de^io^est par oonséquenlT^ (282 et 288).

immédiatement supérieur à ce logarithme, c'esl-à-dirc à 3 dans notre exemple. Ainsi on exécutera le calcul suivant :

log 2=0,30103 compl. log 13=1,88606

somme...... 2,18709

Multipliant cette somnoe par f, il viendra 3,64515; mais, comme elle surpassait le logarithme de -f^ de 3 unités, ce produit surpasse le logarithme de \/{-^y de 3X^ = 5 : donc, en divisant par 100000 le nombre correspondant, le problème

sera résolu. On trouvera ainsi que ^(1^)»= 0,044172.